Vyhledávání úloh

astrofyzika (46)biofyzika (13)chemie (11)elektrické pole (46)elektrický proud (52)gravitační pole (49)hydromechanika (84)jaderná fyzika (27)kmitání (32)kvantová fyzika (19)magnetické pole (25)matematika (63)mechanika hmotného bodu (150)mechanika plynů (70)mechanika tuhého tělesa (141)molekulová fyzika (41)geometrická optika (56)vlnová optika (35)ostatní (102)relativistická fyzika (25)statistická fyzika (20)termodynamika (90)vlnění (31)

(6 bodů)6. Série 29. Ročníku - S. závěrečná

 

  • Najděte v tabulkách nebo na internetu, jak se změní entalpie a Gibbsova energie při reakci

$$2\mathrm{H}_2 + \mathrm{O}_2 \longrightarrow 2\mathrm{H}_2\mathrm{O}\, ,$$ kde jde o přeměnu plynů na plyn a odehrává se při standardních podmínkách. Vypočítejte také, jak se změní entropie při takovéto reakci. Výsledky udávejte vztažené na jeden mol.

  • Pro fotonový plyn platí, že tok energie skrze plochu je dán vztahem

$$j=\frac{3}{4}\frac{k_{\mathrm{B}}^4 \pi^2}{45 \hbar^3 c^3}cT^4\, .$$ Dosaďte hodnoty konstant a porovnejte výsledek se Stefanovým-Boltzmannovým zákonem.

  • Vypočítejte vnitřní energii a Gibbsovu energii fotonového plynu. Dále pomocí vnitřní energie vypočítejte závislost teploty fotonového plynu na objemu při adiabatickém rozpínaní, tedy při procesu s $\delta Q=0$.

Nápověda: Zákon pro adiabatický děj s ideálním plynem jsme odvodili v druhém dílu seriálu.

  • Vezměme si fotonový plyn. Ukažte pro $\delta Q/T$, že pokud ho vyjádříme jako

$$\delta Q / T = f_{,T} \;\mathrm{d} T + f_{,V} \mathrm{d} V \, ,$$ tak funkce $f_{,T}$ a $f_{,V}$ splňují nutnou podmínku na existenci entropie, tedy že $$\frac{\partial f_{,T}(T, V)}{\partial V} = \frac{\partial f_{,V}(T, V)}{\partial T} $$

Janči se pokusil vymyslet jednodušší úlohu než posledně.

(2 body)5. Série 29. Ročníku - 1. už to teče

Tenký drát s odporem $R=100\;\mathrm{mΩ}$ a délkou $l=1\;\mathrm{m}$, který je připojen ke zdroji stejnosměrného napětí $U=3\;\mathrm{V}$, obsahuje ve svém objemu $N=10^{22}$ volných elektronů, kterými přispívá k toku elektrického proudu. Určete, jak velkou průměrnou (přesněji střední) rychlostí se elektrony v drátu pohybují.

Mirek už zase slyšel, že částice ve vodiči tečou rychlostí světla.

(2 body)5. Série 29. Ročníku - 2. mnohočásticová

Mějme nádobu, která je pomyslně rozdělena na dvě shodné disjunktní oblasti $\mathrm{A}$ a $\mathrm{B}$. V nádobě je $n$ částic, z nichž se každá nachází s pravděpodobností $50\; \%$ v části $\mathrm{A}$ a s pravděpodobností $50\; \%$ v části $\mathrm{B}$. Určete, s jakou pravděpodobností bude v části $\mathrm{A}$ $n_{\mathrm{A}}=0,\! 6 n$, resp. $n_{\mathrm{A}}=1+n/2$ částic. Řešte pro $n=10$ a $n=N_{\mathrm{A}}$, kde $N_{\mathrm{A}}≈6 \cdot 10^{23}$ je Avogadrova konstanta.

Mirek má rád zákon velkých čísel.

(6 bodů)5. Série 29. Ročníku - S. přirozeně proměnná

 

  • Použijte vztah pro entropii ideálního plynu $S(U,V,N)$ z řešení třetí seriálové úlohy

$$S(U,V,N) = \frac{s}{2}n R \ln{\left( \frac{U V^{\kappa -1}}{\frac{s}{2}R n^{\kappa} } \right)} nR s_0$$ a vztah pro změnu entropie $$\mathrm{d} S = \frac{1}{T}\mathrm{d} + U \frac{p}{T} \mathrm{d} V - \frac{\mu}{T} \mathrm{d} N$$ a vypočítejte chemický potenciál jako funkci $U$, $V$ a $N$. Upravte dále na funkci $T$, $p$ a $N$.
Pomůcka: Přečtěte si o derivacích a malých změnách v druhém díle seriálu. Nyní by už mělo být zřejmější, že koeficienty jako $1/T$ před $\mathrm{d}U$ spočítáte jako parciální derivaci $S(U,V,N)$ podle $U$. Nezapomeňte na užitečný vztah $\ln{(a/b)}=\ln{a}-\ln{b}$ a že $n=N/N_{A}$.
Bonus: Vyjádřete tímto způsobem i teplotu a tlak jako funkce $U$, $V$ a $N$. Eliminujte závislost tlaku na $U$, abyste dostali stavovou rovnici.

  • Je chemický potenciál ideálního plynu kladný, nebo záporný ($s_{0}$ považujte za zanedbatelné)?
  • Co se bude dít s plynem v pístu, pokud je plyn napojený na rezervoár s teplotou $T_{\mathrm{r}}?$ Píst se může volně pohybovat a z druhé strany na něj nic nepůsobí. Popište, co se bude dít, pokud dovolíme jen kvazistatické procesy. Kolik práce takto dokážeme extrahovat? Platí, že se takto minimalizuje volná energie?

Pomůcka: Na výpočet práce se vám může hodit vztah $$\int _{a}^{b} \frac{1}{x} \;\mathrm{d}x = \ln \frac{b}{a}.$$

  • Entalpii jsme definovali jako $H=U+pV$, Gibbsovu energii jako $G=U-TS+pV$. Jaké jsou přirozené proměnné těchto potenciálů? Jaké termodynamické veličiny dostaneme derivacemi těchto potenciálů podle svých přirozených proměnných?
  • Vypočítejte změnu grandkanonického potenciálu $\textrm{d}Ω$ z jeho definičního vztahu $Ω=F-μN$.

Janči se snažil představit si chemický potenciál.

(6 bodů)4. Série 29. Ročníku - S. pracovní

 

  • Z nerovnosti

$$\Delta S_{\mathrm{tot}} \geq 0 $$ ze seriálu vyjádřete $W$ a odvoďte tak nerovnost pro práci $$W \leq Q \left( 1 - \frac {T_\textrm{C}}{T_\textrm{H}} \right) \, .$$

  • Vypočítejte účinnost Carnotova cyklu bez použití entropie.

Pomůcka: Napište si 4 rovnice spojující 4 vrcholy Carnotova cyklu: $$p_1 V_1 = p_2 V_2, \;\; p_2 V_2^{\kappa} = p_3V_3^{\kappa}, \;\; p_3V_3 = p_4V_4, \;\; p_4V_4^{\kappa} = p_1V_1^{\kappa}$$ a vynásobte je všechny čtyři spolu. Po úpravě dostanete $$\frac {V_2}{V_1} = \frac {V_3}{V_4}\, .$$ Následně stačí použít vzorec na práci při izotermickém procesu: když přechází proces z objemu $V_{\textrm{A}}$ do $V_{\textrm{B}}$, práce vykonaná na plyn je $$nRT\;\ln{\left(\frac{V_\textrm{A}}{V_\textrm{B}}\right)}\, .$$ Teď už si stačí jen uvědomit, že práce při izotermickém ději je rovná teplu (se správným znaménkem) a vypočítat získanou práci (vzpomeňte si, že adiabatické procesy nepřispívají) a odebrané teplo. Na řešení stačí doplnit detaily tohoto postupu.

  • Minule jste pracovali s $pV$ a $Tp$ diagramem. Udělejte stejné cvičení s $TS$ diagramem, tedy nakreslete tam izotermický, izobarický, izochorický a adiabatický proces. Nakreslete do diagramu také cestu plynu v Carnotově cyklu a označte správně směr a vrcholy, aby souhlasily s obrázkem v seriálu.
  • V seriálu jsme se zmínili, že někdy je třeba dávat pozor na přijaté a odebrané teplo. Někdy se totiž to, jestli teplo přijímáme nebo odevzdáváme, mění v průběhu procesu. Jeden z příkladů je proces

$$p=p_0\;\mathrm{e}^{-\frac{V}{V_0}}\, ,$$ kde $p_{0}$ a $V_{0}$ jsou konstanty. Určete, pro jaké hodnoty $V$ (při rozpínání) proudí teplo do plynu a kdy z plynu.

(6 bodů)3. Série 29. Ročníku - S. entropická

 

  • Všechny stavy ideálního plynu umíme nakreslit jako digramy: $pV$ diagram, $pT$ diagram a tak dále. Na svislou osu se vynáší první veličina, na vodorovnou osu se vynáší druhá veličina. Každý bod tedy určuje dva parametry. Načrtněte do $pV$ diagramu 4 děje s ideálním plynem, které znáte. Udělejte to stejné pro $Tp$ diagram. Jak by vypadal $UT$ diagram? Vysvětlete, jak se nevhodnost těchto dvou proměnných jeví na tomto obrázku.
  • Jaké jednotky má entropie? Jaké jiné veličiny s těmito jednotkami znáte?
  • V seriálu jsme rozebrali případ nárůstu entropie, když plyn přijímal teplo. Proveďte podobnou úvahu pro plyn odevzdávající teplo.
  • Víte, že při adiabatickém ději se entropie nemění. Proto entropie jako funkce objemu a tlaku $S(p,V)$ může obsahovat jen takovou kombinaci objemu a tlaku, která se také při adiabatickém procesu nemění. Jaký je to výraz? Nakreslete na $pV$ diagram (svislá osa je $p$, vodorovná $V$) křivky, na kterých je entropie konstantní. Souhlasí výsledek této úvahy se vzorcem, který jsme pro entropii odvodili?
  • Vyjádřete entropii ideálního plynu jako funkci $S(p,V)$, $S(T,V)$ a $S(U,V)$.

(8 bodů)2. Série 29. Ročníku - E. je mi to šumák

Kupte si v lékárně šumivý celaskon nebo cokoliv, co se podává v tabletách určených k rozpuštění ve vodě. Změřte, jak dlouho trvá rozpuštění jedné tablety v závislosti na teplotě vody, do které ji hodíte. Diskutujte příčiny a vymyslete, proč je pozorovaná závislost taková.

Aleš Podolník umíral na rýmu.

(6 bodů)2. Série 29. Ročníku - S. procesní

 

  • Které ze skupiny procesů (izobarický, izochorický, izotermický a adiabatický) můžou být vratné?
  • Vezměte vztah $T=pV / (nR) $ s $n=1\;\textrm{mol}$, $p=100\;\textrm{kPa}$ a $V=22\;\textrm{l}$. O kolik se změní $T$, když $p$ i $V$ zvětšíme o $10\;\%$, $1\;\%$ a $0,\! 1\; \%$? Spočítejte to dvěma způsoby: přesně a pomocí vztahu $\mathrm{d}T=T_{,p}\mathrm{d}p + T_{,V} \mathrm{d}V$. Jak se tyto výsledky liší?
  • d gymnastika:
    • Ukažte, že $\mathrm{d} \left[ C f(x) \right] = C \mathrm{d} [f(x)]$, kde $C$ je konstanta.
    • Vypočítejte $\mathrm{d} (x^2)$ a $\mathrm{d} (x^3)$
    • Ukažte, že $\mathrm{d} \left( 1/x \right)= - dx/x^2$ z definice, tedy $\mathrm{d} \left(\frac{1}{x}\right)= \frac{1}{x+ \mathrm{d} x} - \frac{1}{x}$. Může se vám hodit: $(x + \mathrm{d} x)(x-\mathrm{d} x) = x^2 - (\mathrm{d} x)^2 = x^2$.
    • Bonus: Platí $\sin{(\mathrm{d} \vartheta)} = \mathrm{d} \vartheta$ a $\cos{\mathrm{d} \vartheta} = 1 $. Také máte součtový vzorec $\sin{(\alpha + \beta)}= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$, dokažte $\mathrm{d}\left( \sin{\vartheta} \right)=\cos{\vartheta} \mathrm{d}\vartheta$
    • Bonus: Podobně ukažte $ \mathrm{d} \left( \ln{x} \right) = \mathrm{d}x/x $ s pomocí $\ln (1 + \mathrm{d}x) = \mathrm{d}x$
  • Vysvětlete fyzikálně, proč je izobarická tepelná kapacita větší než izochorická.

3. Série 22. Ročníku - 3. zachraňte hélium

Na pouti v Dolním Dvoře mají novou atrakci, héliem plněné mýdlové bubliny, které se téměř nehybně vznášejí ve vzduchu. Co je těžší? Hélium v bublině, nebo její stěna?

Z maďarské přípravy na FO od Dalimila vybral Aleš.

1. Série 17. Ročníku - E. absolutní nula

S experimentálním vybavením dostupným v době Lorda Celsia změřte teplotu absolutní nuly (v Celsiově stupnici). Poradíme vám, že pro měření můžete využít například vlastností ideálního plynu.

Vymyslel Pavel Augustinský.

1. Série 17. Ročníku - P. led a kyselina

Na jeden kilogram ledu o teplotě $0\, \jd{^{o}C}$ nalijeme $900\, \jd{g}$ 66% kyseliny sírové, taktéž o teplotě $0\, \jd{^{o}C}$. V jakém stavu se systém ustálí, pokud víte, že teplo tání ledu je větší než teplo uvolněné při smísení použité kyseliny a jednoho litru vody?

Úloha pochází od doc. Obdržálka.

6. Série 16. Ročníku - 3. tekoucí sklo

Na starých zámcích bývají originální tabulky skla v oknech u spodního okraje širší než u horního díky tečení. Za sto let se tabulka o rozměru $0,5\,\jd{m} \times 0,5 \jd{m}$ tlustá $5\,\jd{mm}$ rozšíří $0,1\,\jd{mm}$. Odhadněte z těchto údajů viskozitu skla a určete, kolikrát těžší by musela byt Země, aby toto tečení probíhalo turbulentně.

6. Série 16. Ročníku - 4. pevnost nosníku

Uvažujte pružný nosník délky $l$. Energie potřebná k prohnutí jednotky délky tohoto nosníku na poloměr křivosti $R$ je $E =\alpha R^{2}$, kde $\alpha$ je známá konstanta. Jakou maximální silou můžeme tlačit na tento nosník, aby se neprohnul do strany?

6. Série 16. Ročníku - E. sušení prádla

Změřte časovou závislost množství vody v prádle při sušení. Nezapomeňte podrobně popsat všechny důležité podmínky, za kterých jste prováděli měření.

6. Série 16. Ročníku - P. elektromagnetický paradox

Na dielektrický disk volně se otáčející kolem své osy přilepíme závit supravodivého drátu v němž teče proud $I_{0}$. Dále kolem tohoto závitu symetricky přilepíme elektricky nabité kuličky o náboji $q$. Celý disk poté začneme pomalu zahřívat. V jistém okamžiku přestane být drát supravodivý, takže v něm přestane téct proud a změní se magnetický tok přes závit. V důsledku toho vznikne podle Faradayova zákona okolo tohoto závitu elektrické pole, které bude působit na přilepené náboje, takže se celý disk začne otáčet. Na druhou stranu musí zůstat podle zákona zachování hybnosti v klidu. Tak kde je v předcházejících úvahách chyba?

4. Série 16. Ročníku - 1. rámus ve vesmíru

 

  • Hustota mezihvězdného prostředí je asi 10 až 10000 částic na metr krychlový. Tvoří ho převážně vodík. Vzdálenost mezi částicemi je tak velká, že se toto prostředí chová jako ideální plyn. Na vás je rozmyslet, zda se v takovém „vakuu“ může šířit zvuk a pokud ano, jaká může být jeho frekvence?
  • Jaká je maximální frekvence zvuku, který se může šířit ve vzduchu za normálních podmínek?

4. Série 16. Ročníku - E. od medvídka Pú

Výzkumný ústav medvídka Pú při AV ČR vypsal grant ve výši osmi (výjimečně více) bodů na změření závislosti viskozity medu na teplotě. Nezapomeňte uvést druh medu, který používáte.

4. Série 16. Ročníku - S. diferenciální rovnice

 

  • Organizátor FYKOSu vypil velmi rychle láhev tvrdého alkoholu. Alkohol se z žaludku vstřebává do krve rychlostí úměrnou jeho množství (v žaludku) s konstantou úměrnosti $\alpha$ a z krve je odbouráván játry podle stejného vztahu, tentokrát však s konstantou úměrnosti $\beta$. Sestavte diferenciální rovnici popisující tyto děje, určete závislost množství alkoholu v krvi na čase, určete čas, ve kterém je koncentrace maximální a vypočítejte ji.
  • Šnek plazící se rychlostí $1\,\jd{mm.s^{-1}}$ se v čase $t_{0}$ postaví na začátek gumového lana dlouhého $1\, \jd{m}$ a začne se plazit. Ve stejném okamžiku se lano začne napínat rychlostí $1 \,\jd{m.s^{-1}}$ (je nekonečně pružné takže nikdy nepraskne). Rozhodněte, zda šnek dosáhne konce lana v konečném čase a pokud ano, spočítejte, za jak dlouho se tak stane.
  • Takzvaná redukovaná Gaussova rovnice má tvar

$$xy''+(\gamma -x)y'-\alpha y = 0$$ Předpokládejte řešení ve tvaru Taylorova polynomu, určete vztah pro jeho koeficienty a vyšetřete asymptotické chování řešení (tj. určete jakou funkcí by se dalo vystihnout jeho chování pro velká $x$). Určete pro jaké hodnoty koeficientů $\gamma$ a $\alpha$ je konečný tento integrál $$\int ^{\infty} e^{x/2}F(\alpha, \gamma, x) \d x\,$$ kde $F(\alpha, \gamma, x)$ značí řešení Gaussovy rovnice (takzvaná redukovaná hypergeometrická funkce).

Poznámka: Pokud označíme $E=-\frac{1}{\alpha^{2}}$, dostaneme z poslední rovnice pro $E$ zajímavou podmínku. A pokud se vám při pohledu na ni začíná vybavovat vzorec pro možné hodnoty energie elektronu v atomu vodíku, pak vězte, že podobnost s vaším výsledkem není vůbec náhodná.

3. Série 16. Ročníku - 4. rychlá smrt

V modulu Apollo letí astronauti na Měsíc, skrz okno jim proletí meteorit a udělá v něm dírku o poloměru $r=1\;\jd{mm}$. Jak se bude měnit teplota a tlak v kabině o objemu $V=60\,\jd{m^{3}}$, pokud původní podmínky jsou $t= 20 \jd{^{\circ}C}$ a normální tlak. Jako bonus se pokuste odhadnout, za jak dlouho začnou mít astronauti vážné problémy.

3. Série 16. Ročníku - E. balónek

Změřte tlak vzduchu, který je při nafukování uvnitř balónku těsně před tím, než balónek praskne. Alespoň jednu metodu zrealizujte a několik dalších navrhněte. Nezapomeňte uvést typ použitých „balónků“.

2. Série 16. Ročníku - E. difúze

Jak je známo, kapka roztoku v čisté vodě začne difundovat a zvolna se rozplývat. Svůj experimentální um můžete prokázat tím, že naměříte závislost koncentrace roztoku v určitém bodě nádoby na čase. Můžete též proměřit, jak se změní tvar použité nádoby tak, že se roztok může šírit jen v jednom nebo dvou směrech (tj. nádoba bude buďto úzká a podlouhlá, nebo v ní bude jen tenká vrstva vody).

3. Série 15. Ročníku - 3. rampouch

Zimní sezóna se blíží, ale než vyrazíte lyžovat, zamyslete se nad tím, jaký tvar mají rampouchy rostoucí na otáčejícím se kole lyžařského vleku. Rovina kola svírá s vodorovnou rovinou úhel $\alpha$, kolo se otáčí úhlovou rychlostí $\omega $ a rampouch roste ve vzdálenosti $r$ od osy otáčení.

Úlohu vymyslel Pavel Augustinský.

5. Série 14. Ročníku - 2. dělo na lodi

Děla na bitevních lodích se nabíjejí následujícím způsobem: do hlavně se dá střela o hmotnosti $M$ a za ní určitý počet balíku s výbušninou (objem jednoho balíku je $V_{0})$, podle toho jak daleko chceme střílet. Kolikrát se zvětší dostřel takového děla, když nabijeme dvojnásobné množství výbušniny? Výbuch si představujte tak, že najednou se místo výbušniny objeví dvouatomový plyn o teplotě $T_{0}$ a tlaku $p_{0}$. Ráže děla je deset palců. Odpor vzduchu zanedbejte.

Nápad Karla Kouřila, když přemýšlel, co zadáme do FYKOSu.

4. Série 14. Ročníku - 1. vesmírná stříkačka

Představte si, že ve vakuu mimo gravitační pole stříkáme vodní paprsek. Kromě tohoto paprsku je zde kolmo (mimoběžně) k jeho původnímu směru umístěn nabitý nekonečný drát s délkovou hustotou náboje $\lambda$. Voda je stříkána z velmi velké vzdálenosti s počáteční rychlostí $v$. Vzdálenost přímky, ve které je stříkána voda (ve které se na začátku pohybuje vodní paprsek) a drátu je $d$. Spočtěte úhel, o který se odchýlí vodní paprsek od původního směru. Molekuly vody si představte jako elektrické dipóly, jejich vzájemné působení zanedbejte a také zanedbejte jejich moment setrvačnosti (tj. představte si, že všechna hmotnost molekuly je soustředěna uprostřed mezi náboji, které jsou nehmotné).

Zadal Karel Kouřil unešen odchylováním vody tekoucí z kohoutku pomocí nabitého hřebínku.

3. Série 14. Ročníku - 3. dnem vzhůru

Ve velké nádobě s vodou je částečně ponořena dnem vzhůru válcová sklenice. Hladina vody v nádobě i ve sklenici je stejná a je vzdálena $l=10\jd{ cm}$ ode dna sklenice. Teplota vzduchu je $t_{0}=20\jd{^{\circ}C}$ a atmosférický tlak je $p_{0}=100\jd{ kPa}$. O jakou výšku $h$ stoupne hladina vody ve sklenici, jestliže se teplota sníží o $\Delta t=10\jd{^{\circ}C}$ a tlak stoupne o $\Delta p=2,0\jd{ kPa}$?

Počítalo se na cvičení k přednášce Fyzika I, zadal Honza Houštěk.

3. Série 14. Ročníku - 4. výpar vody

Za jak dlouho se vypaří voda ze sklenice o výšce $h=10\,\jd{cm}$ za normálních podmínek? Předpokládejte, že vlhkost vzduchu těsně nad hladinou je neustále $99\%$

Úlohu navrhl Karel Kouřil.

2. Série 14. Ročníku - P. problémovka z vody

O prázdninách byli někteří organizatoři FYKOSu sjíždět Vltavu a při této příležitosti je napadlo několik problémků, se kterými by od vás potřebovali poradit.

  • Za jak dlouho doteče voda z Českého Krumlova do Prahy?
  • Na jakou stranu alumatky (hliníkové karimatky, která má z jedné strany hliníkovou fólii a z druhé izolační pěnu) je výhodné si lehnout?
  • Jak se v makarónech dělají díry?

Autor Lenka Zdeborová, inspirace: jak jinak než prázdninová Vltava.

1. Série 14. Ročníku - E. natahování špaget

Určete Youngův modul pružnosti v tahu uvařených špaget.

Bláznivý nápad Honzy Houšťka.

5. Série 12. Ročníku - 1. jehla na vodě

Určete maximální průměr ocelové jehly, která se ještě udrží na vodní hladině. Jehla je pokryta tenkým olejovým filmem, aby ji voda nesmáčela. Znáte hustotu oceli, vody a povrchové napětí vody. Pokud řešení problému závisí na délce jehly, pokládejte ji za známou a diskutujte její vliv.

1. Série 11. Ročníku - E. meření difúze ve sklenici vody

figure

Námětem první experimentální úlohy je jev difúze v kapalině. V kádince je přepážkou $P$ oddělena voda $V$ od roztoku elektrolytu $E$ (např. roztok kuchyňské či jiné soli), viz obrázek. V čase $t_{0}=0 \,\jd{s}$ přepážku odstraníte a ohmmetrem budete sledovat pokles elektrického odporu s časem. Po měření vysvětlete kvalitativně a kvantitativně pozorované změny.

1. Série 11. Ročníku - P. je narušen druhý termodynamický princip?

figure

Mějme aparaturu, jejíž schéma je na obrázku. Molekuly opouštějící nádobu s plynem $A$ (teplota $T_{A}$, střední kvadratická rychlost molekul $v_{A})$ tvoří molekulární svazek, jež dále prochází rychlostním filtrem $F$. Pouze částice s rychlostí $v_{F}$ proletí až do nádoby $B$. V prostoru mezi deskami filtru je vakuum, střední volná dráha molekul je větší než rozměr aparatury. Při vhodné volbě rychlosti $v_{F}$ ($v_{F}$ > $v_{A})$ bude teplota nádoby $B$ vyšší než nádoby $A$. Tudíž teplo z tělesa chladnějšího ($A)$ bude přecházet na těleso teplejší ($B)$, což je ve sporu s druhým principem termodynamiky. Vaším úkolem je vysvětlit (ne)správnost této úvahy.

3. Série 10. Ročníku - 4. cirkus

Artista padá na silně napnutou plachtu z výšky $h=1\;\mathrm{m}$. Jaký bude maximální průhyb plachty, je-li průhyb s artistou v klidu $Δy=2\;\mathrm{cm}?$ Považujte všechny výchylky za malé.

2. Série 10. Ročníku - 3. jarový tryskáč

figure

Matouš si vystřihl z tvrdého papíru lodičku, která je nakreslena na obr. 3 při pohledu shora. Do místa $A$ pak kápl kapičku jaru a loď spustil na vodní hladinu. Nemálo se podivil, když loď sama od sebe vyrazila prudce vpřed. Umíte pohyb lodi vysvětlit? Platí pro něj zákon zachováni energie?

1. Série 10. Ročníku - P. balónek

figure

Jak moc můžete nafouknout pouťový balónek, dokud nepraskne? Předpokládejte, že balónek má tvar koule. Nenafouknutý nechť má poloměr $r_{0}$. Je z gumové blány, která má v přiblížení následující elastické vlastnosti.

Roztahujeme-li kruh vyříznutý z této blány na okraji tak, že síla na jednotku délky obvodu je $f$, bude poloměr kruhu $r$ přímo úměrný $f$, $r=r_{0}(1+af)$, $a$ je konstanta úměrnosti (viz obrázek). Materiál praskne při maximální síle na jednotku délky $f_{max}$. Na jedno nadechnutí naberete do plic objem $V_{fuk}$ vzduchu a ten pak fouknete do balónku. Kolikrát můžete do balónku fouknout, než praskne, a jaký bude mít rozměr?

3. Série 8. Ročníku - E. grant strýčka Skrblíka

Vašim milovaným strýčkem vám byl zadán úkol zjistit, zda jeho památeční rodinná lžička jest skutečně z ryzího hliníku. Vaše experimentální vybavení je však poněkud skromné: kromě uvedené lžíce dostanete k dispozici závaží o známé hmotnosti, dlouhé pravítko, provázek a dva hřebíky, které můžete zatlouct do zárubně dveří. Navíc zde ještě stojí kbelík plný vody. Navrhněte, výpočty podložte a hlavně proveďte měření, při kterém co nejpřesněji s pomocí jmenovaných pomůcek určíte hustotu materiálu lžičky. Uskutečněte dostatečné množství měření a na základě alespoň nějakých kalkulací také odhadněte věrohodnost vámi obdrženého výsledku.

Nápověda: Pokuste se srovnat hmotnost lžíce a závaží zavěšováním na provázek, který jste (s mírným průvisem) natáhli mezi zárubní dveří.

1. Série 8. Ročníku - 3. disk

Franta vytáhl dva stejné skleněné disky o průměru $10\; \textrm{cm}$ a tloušťce $4\; \textrm{cm}$ z vodní lázně a přiložil je k sobě (souose) jejich zcela vyhlazenými podstavami. Mezi nimi zůstane souvislá vrstvička vody o tloušťce $0.5\; \textrm{mm}$. Odhadněte (alespoň řádově) velikost síly, jakou musí vynaložit na odtržení disků od sebe, působí-li kolmo na jejich podstavy.

Poté disky osušil a znovu přiložil k sobě, přičemž k jejich dokonalému přilnutí mezi ně vložil list velmi tenkého hedvábného papíru. Jakou silou je potřeba působit nyní?

1. Série 8. Ročníku - E. bungee-jumping

Zajisté jste slyšeli o novém druhu zábavy lidí, kteří si potřebují dokázat, jak snadné je překonat vlastní strach. Z vlastní vůle skočit z výšky třeba $50\; \textrm{m}$ přivázán jen za nohy, není to lákavé? Vaším úkolem by mělo být: laboratorně zkoumat dynamiku tohoto nového sportu (kdy se asi dostane do olympijských her?) a na základě pokusů domácky provedených učinit závěry z toho plynoucí pro člověka přivázaného na takovém laně.

Nejprve si obstaráte kus gumy přiměřené délky. Pak můžete měřit:

  • závislost maximální hloubky $h$ na délce gumy $l$, do níž se závaží hmotnosti $m$ klesne
  • závislost hloubky $h$ na hmotnosti závaží $m$ pro dvě různé délky gumy $l_{1}$, $l_{2}$. Pozor abyste nepřekročili kritickou hmotnost $M_{K}$ z bodu $c$!
  • jaká je kritická hmotnost $M_{K}$ závaží, při němž se guma délky $l$ přetrhne (tento úkol předpokládá, že máte dost experimentálního materiálu a máte též vhodnou gumu – zachovává pružné vlastnosti až do přetržení)

Pro člověka vysícího na takovém laně má značný význam maximální zrychlení na něj působící po čas letu. Pokuste se toto zrychlení určit na základě změřených výsledků.

Přejeme Vám mnoho úspěchů při řešení a hodně zábavy s praskající gumičkou!

3. Série 7. Ročníku - 4. velikost atomu

Odhadněte velikost atomu, resp. molekuly látky, znáte-li koeficient povrchového napětí, hustotu a měrné výparné teplo. Porovnejte s tabelovanými hodnotami, např. pro rtuť či vodu.

1. Série 2. Ročníku - S. zeměměřiči

figure

Za devatero horami v Severním království pod vládou moudrého krále žijí dva národy – denní a noční lidé. Pro potřeby obou národů zde pracují dva velcí zeměměřiči. Denní zeměměřič měří vzdálenosti k východu od středu náměstí hlavního města v metrech (označme $x$) a vzdálenosti v severním směru, který je zde považován za posvátný, měří v severských mílích ($y$). Sever určuje podle magnetky kompasu. Noční zeměměřič určuje sever podle Polárky a vzdálenosti od středu náměstí k východu opět měří v metrech ($x′$) a k severu v severských mílích ($y′$). Jednoho dne chtěli porovnat své výsledky. Ocitli se však před velkým problémem. Vzhledem k tomu, že směr k Polárce není shodný se směrem k magnetickému pólu, tak se jejich údaje liší.

  • Pomozte jim a odvoďte vztahy mezi údaji $x$, $y$ a $x′$, $y′$.
  • Jak by vztahy mezi $x$, $y$ a $x′$, $y′$ vypadaly, kdyby oba zeměměřiči neměřili vzdálenosti ze stejného místa?

2. Série 1. Ročníku - P. balónek

figure

Model balónku

Jak moc můžete nafouknout pouťový balónek, než praskne? Předpokládejme, že balónek má tvar koule. V nenafouknutém (nebo velmi slabě nafouknutém) stavu nechť má poloměr $r_{0}$ (třeba $5\; \textrm{cm}$). Je z gumové blány, jejíž elastické vlastnosti i pevnost známe. Na obrázku je znázorněn kruh vystřižený z materiálu, z něhož je balónek. Tučně vyznačená délka obvodu je jednotková. Pro jednoduchost předpokládejme, že kdybychom kruh z této blány roztahovali na okraji (viz obrázek) tak, že by síla na jednotku délky obvodu kruhu byla $f$, byl by poloměr kruhu přímo úměrný $f$.

$R=R_{0}(1+αf)$. Maximální síla na jednotku délky (při níž materiál balónku praskne) nechť je $f_{max}$.

Předpokládejme dále, že na jedno nadechnutí naberete do plic objem $V_{fuk}$ vzduchu a ten pak fouknete do balónku. Kolikrát můžete do balónku fouknout, než praskne, a jaký bude mít rozměr? (Zkuste též odhadnout reálné hodnoty veličin v problému vystupujících a diskutovat oprávněnost předpokladů.)

1. Série 1. Ročníku - P. píst

V nádobě uzavřené pohyblivým pístem je ideální plyn. Píst stlačíme z jeho rovnovážné polohy o malou vzdálenost $x$ ($x$ je mnohem menší než výška nádoby $h)$ a pak jej pustíme. Následný děj považujeme za izotermický.

  • Ukažte, že píst bude vykonávat harmonické kmity kolem rovnovážné polohy a najděte jejich frekvenci. (Návod: Uvažte síly působící na píst a jejich analogii se silami působícími na hmotný bod zavěšený na pružině.)
  • Diskutujte oprávněnost předpokladu o izotermičnosti uvažovaného děje.
Tato stránka využívá cookies pro analýzu provozu. Používáním stránky souhlasíte s ukládáním těchto cookies na vašem počítači.Více informací

Partneři

Pořadatel

Mediální partner

Partner


Created with <love/> by ©FYKOS – webmaster@fykos.cz