Vyhledávání úloh podle oboru

Databáze všech úloh FYKOSu za posledních 32 let jeho existence.

astrofyzika (65)biofyzika (16)chemie (18)elektrické pole (56)elektrický proud (60)gravitační pole (64)hydromechanika (119)jaderná fyzika (34)kmitání (37)kvantová fyzika (25)magnetické pole (29)matematika (74)mechanika hmotného bodu (205)mechanika plynů (79)mechanika tuhého tělesa (184)molekulová fyzika (58)geometrická optika (64)vlnová optika (45)ostatní (131)relativistická fyzika (32)statistická fyzika (22)termodynamika (116)vlnění (40)

molekulová fyzika

(6 bodů)6. Série 29. Ročníku - S. závěrečná

 

  • Najděte v tabulkách nebo na internetu, jak se změní entalpie a Gibbsova energie při reakci

$$2\mathrm{H}_2 + \mathrm{O}_2 \longrightarrow 2\mathrm{H}_2\mathrm{O}\, ,$$ kde jde o přeměnu plynů na plyn a odehrává se při standardních podmínkách. Vypočítejte také, jak se změní entropie při takovéto reakci. Výsledky udávejte vztažené na jeden mol.

  • Pro fotonový plyn platí, že tok energie skrze plochu je dán vztahem

$$j=\frac{3}{4}\frac{k_{\mathrm{B}}^4 \pi^2}{45 \hbar^3 c^3}cT^4\, .$$ Dosaďte hodnoty konstant a porovnejte výsledek se Stefanovým-Boltzmannovým zákonem.

  • Vypočítejte vnitřní energii a Gibbsovu energii fotonového plynu. Dále pomocí vnitřní energie vypočítejte závislost teploty fotonového plynu na objemu při adiabatickém rozpínaní, tedy při procesu s $\delta Q=0$.

Nápověda: Zákon pro adiabatický děj s ideálním plynem jsme odvodili v druhém dílu seriálu.

  • Vezměme si fotonový plyn. Ukažte pro $\delta Q/T$, že pokud ho vyjádříme jako

$$\delta Q / T = f_{,T} \;\mathrm{d} T + f_{,V} \mathrm{d} V \, ,$$ tak funkce $f_{,T}$ a $f_{,V}$ splňují nutnou podmínku na existenci entropie, tedy že $$\frac{\partial f_{,T}(T, V)}{\partial V} = \frac{\partial f_{,V}(T, V)}{\partial T} $$

Janči se pokusil vymyslet jednodušší úlohu než posledně.

(2 body)5. Série 29. Ročníku - 1. už to teče

Tenký drát s odporem $R=100\;\mathrm{mΩ}$ a délkou $l=1\;\mathrm{m}$, který je připojen ke zdroji stejnosměrného napětí $U=3\;\mathrm{V}$, obsahuje ve svém objemu $N=10^{22}$ volných elektronů, kterými přispívá k toku elektrického proudu. Určete, jak velkou průměrnou (přesněji střední) rychlostí se elektrony v drátu pohybují.

Mirek už zase slyšel, že částice ve vodiči tečou rychlostí světla.

(2 body)5. Série 29. Ročníku - 2. mnohočásticová

Mějme nádobu, která je pomyslně rozdělena na dvě shodné disjunktní oblasti $\mathrm{A}$ a $\mathrm{B}$. V nádobě je $n$ částic, z nichž se každá nachází s pravděpodobností $50\; \%$ v části $\mathrm{A}$ a s pravděpodobností $50\; \%$ v části $\mathrm{B}$. Určete, s jakou pravděpodobností bude v části $\mathrm{A}$ $n_{\mathrm{A}}=0,\! 6 n$, resp. $n_{\mathrm{A}}=1+n/2$ částic. Řešte pro $n=10$ a $n=N_{\mathrm{A}}$, kde $N_{\mathrm{A}}≈6 \cdot 10^{23}$ je Avogadrova konstanta.

Mirek má rád zákon velkých čísel.

(6 bodů)5. Série 29. Ročníku - S. přirozeně proměnná

 

  • Použijte vztah pro entropii ideálního plynu $S(U,V,N)$ z řešení třetí seriálové úlohy

$$S(U,V,N) = \frac{s}{2}n R \ln{\left( \frac{U V^{\kappa -1}}{\frac{s}{2}R n^{\kappa} } \right)} nR s_0$$ a vztah pro změnu entropie $$\mathrm{d} S = \frac{1}{T}\mathrm{d} + U \frac{p}{T} \mathrm{d} V - \frac{\mu}{T} \mathrm{d} N$$ a vypočítejte chemický potenciál jako funkci $U$, $V$ a $N$. Upravte dále na funkci $T$, $p$ a $N$.
Pomůcka: Přečtěte si o derivacích a malých změnách v druhém díle seriálu. Nyní by už mělo být zřejmější, že koeficienty jako $1/T$ před $\mathrm{d}U$ spočítáte jako parciální derivaci $S(U,V,N)$ podle $U$. Nezapomeňte na užitečný vztah $\ln{(a/b)}=\ln{a}-\ln{b}$ a že $n=N/N_{A}$.
Bonus: Vyjádřete tímto způsobem i teplotu a tlak jako funkce $U$, $V$ a $N$. Eliminujte závislost tlaku na $U$, abyste dostali stavovou rovnici.

  • Je chemický potenciál ideálního plynu kladný, nebo záporný ($s_{0}$ považujte za zanedbatelné)?
  • Co se bude dít s plynem v pístu, pokud je plyn napojený na rezervoár s teplotou $T_{\mathrm{r}}?$ Píst se může volně pohybovat a z druhé strany na něj nic nepůsobí. Popište, co se bude dít, pokud dovolíme jen kvazistatické procesy. Kolik práce takto dokážeme extrahovat? Platí, že se takto minimalizuje volná energie?

Pomůcka: Na výpočet práce se vám může hodit vztah $$\int _{a}^{b} \frac{1}{x} \;\mathrm{d}x = \ln \frac{b}{a}.$$

  • Entalpii jsme definovali jako $H=U+pV$, Gibbsovu energii jako $G=U-TS+pV$. Jaké jsou přirozené proměnné těchto potenciálů? Jaké termodynamické veličiny dostaneme derivacemi těchto potenciálů podle svých přirozených proměnných?
  • Vypočítejte změnu grandkanonického potenciálu $\textrm{d}Ω$ z jeho definičního vztahu $Ω=F-μN$.

Janči se snažil představit si chemický potenciál.

(6 bodů)4. Série 29. Ročníku - S. pracovní

 

  • Z nerovnosti

$$\Delta S_{\mathrm{tot}} \geq 0 $$ ze seriálu vyjádřete $W$ a odvoďte tak nerovnost pro práci $$W \leq Q \left( 1 - \frac {T_\textrm{C}}{T_\textrm{H}} \right) \, .$$

  • Vypočítejte účinnost Carnotova cyklu bez použití entropie.

Pomůcka: Napište si 4 rovnice spojující 4 vrcholy Carnotova cyklu: $$p_1 V_1 = p_2 V_2, \;\; p_2 V_2^{\kappa} = p_3V_3^{\kappa}, \;\; p_3V_3 = p_4V_4, \;\; p_4V_4^{\kappa} = p_1V_1^{\kappa}$$ a vynásobte je všechny čtyři spolu. Po úpravě dostanete $$\frac {V_2}{V_1} = \frac {V_3}{V_4}\, .$$ Následně stačí použít vzorec na práci při izotermickém procesu: když přechází proces z objemu $V_{\textrm{A}}$ do $V_{\textrm{B}}$, práce vykonaná na plyn je $$nRT\;\ln{\left(\frac{V_\textrm{A}}{V_\textrm{B}}\right)}\, .$$ Teď už si stačí jen uvědomit, že práce při izotermickém ději je rovná teplu (se správným znaménkem) a vypočítat získanou práci (vzpomeňte si, že adiabatické procesy nepřispívají) a odebrané teplo. Na řešení stačí doplnit detaily tohoto postupu.

  • Minule jste pracovali s $pV$ a $Tp$ diagramem. Udělejte stejné cvičení s $TS$ diagramem, tedy nakreslete tam izotermický, izobarický, izochorický a adiabatický proces. Nakreslete do diagramu také cestu plynu v Carnotově cyklu a označte správně směr a vrcholy, aby souhlasily s obrázkem v seriálu.
  • V seriálu jsme se zmínili, že někdy je třeba dávat pozor na přijaté a odebrané teplo. Někdy se totiž to, jestli teplo přijímáme nebo odevzdáváme, mění v průběhu procesu. Jeden z příkladů je proces

$$p=p_0\;\mathrm{e}^{-\frac{V}{V_0}}\, ,$$ kde $p_{0}$ a $V_{0}$ jsou konstanty. Určete, pro jaké hodnoty $V$ (při rozpínání) proudí teplo do plynu a kdy z plynu.

(6 bodů)3. Série 29. Ročníku - S. entropická

 

  • Všechny stavy ideálního plynu umíme nakreslit jako digramy: $pV$ diagram, $pT$ diagram a tak dále. Na svislou osu se vynáší první veličina, na vodorovnou osu se vynáší druhá veličina. Každý bod tedy určuje dva parametry. Načrtněte do $pV$ diagramu 4 děje s ideálním plynem, které znáte. Udělejte to stejné pro $Tp$ diagram. Jak by vypadal $UT$ diagram? Vysvětlete, jak se nevhodnost těchto dvou proměnných jeví na tomto obrázku.
  • Jaké jednotky má entropie? Jaké jiné veličiny s těmito jednotkami znáte?
  • V seriálu jsme rozebrali případ nárůstu entropie, když plyn přijímal teplo. Proveďte podobnou úvahu pro plyn odevzdávající teplo.
  • Víte, že při adiabatickém ději se entropie nemění. Proto entropie jako funkce objemu a tlaku $S(p,V)$ může obsahovat jen takovou kombinaci objemu a tlaku, která se také při adiabatickém procesu nemění. Jaký je to výraz? Nakreslete na $pV$ diagram (svislá osa je $p$, vodorovná $V$) křivky, na kterých je entropie konstantní. Souhlasí výsledek této úvahy se vzorcem, který jsme pro entropii odvodili?
  • Vyjádřete entropii ideálního plynu jako funkci $S(p,V)$, $S(T,V)$ a $S(U,V)$.

(8 bodů)2. Série 29. Ročníku - E. je mi to šumák

Kupte si v lékárně šumivý celaskon nebo cokoliv, co se podává v tabletách určených k rozpuštění ve vodě. Změřte, jak dlouho trvá rozpuštění jedné tablety v závislosti na teplotě vody, do které ji hodíte. Diskutujte příčiny a vymyslete, proč je pozorovaná závislost taková.

Aleš Podolník umíral na rýmu.

(6 bodů)2. Série 29. Ročníku - S. procesní

 

  • Které ze skupiny procesů (izobarický, izochorický, izotermický a adiabatický) můžou být vratné?
  • Vezměte vztah $T=pV / (nR) $ s $n=1\;\textrm{mol}$, $p=100\;\textrm{kPa}$ a $V=22\;\textrm{l}$. O kolik se změní $T$, když $p$ i $V$ zvětšíme o $10\;\%$, $1\;\%$ a $0,\! 1\; \%$? Spočítejte to dvěma způsoby: přesně a pomocí vztahu $\mathrm{d}T=T_{,p}\mathrm{d}p + T_{,V} \mathrm{d}V$. Jak se tyto výsledky liší?
  • d gymnastika:
    • Ukažte, že $\mathrm{d} \left[ C f(x) \right] = C \mathrm{d} [f(x)]$, kde $C$ je konstanta.
    • Vypočítejte $\mathrm{d} (x^2)$ a $\mathrm{d} (x^3)$
    • Ukažte, že $\mathrm{d} \left( 1/x \right)= - dx/x^2$ z definice, tedy $\mathrm{d} \left(\frac{1}{x}\right)= \frac{1}{x+ \mathrm{d} x} - \frac{1}{x}$. Může se vám hodit: $(x + \mathrm{d} x)(x-\mathrm{d} x) = x^2 - (\mathrm{d} x)^2 = x^2$.
    • Bonus: Platí $\sin{(\mathrm{d} \vartheta)} = \mathrm{d} \vartheta$ a $\cos{\mathrm{d} \vartheta} = 1 $. Také máte součtový vzorec $\sin{(\alpha + \beta)}= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$, dokažte $\mathrm{d}\left( \sin{\vartheta} \right)=\cos{\vartheta} \mathrm{d}\vartheta$
    • Bonus: Podobně ukažte $ \mathrm{d} \left( \ln{x} \right) = \mathrm{d}x/x $ s pomocí $\ln (1 + \mathrm{d}x) = \mathrm{d}x$
  • Vysvětlete fyzikálně, proč je izobarická tepelná kapacita větší než izochorická.

(8 bodů)4. Série 28. Ročníku - E. lahvované povrchové napětí

Máme válcovou nádobu, ve které vytvoříme z boku kruhový otvor. Nalijeme do ní vodu. Voda bude postupně vytékat, ale v nějaké výšce nad otvorem se výtok vody z nádoby zastaví. Určete povrchové napětí vody na základě změřené výšky nad otvorem, ve které se hladina zastaví. Pokus několikrát opakujte, a to alespoň se třemi různě velkými otvory. Jako válec může posloužit vhodná PET lahev.

Karel se inspiroval tím, co říkal Vojta Žák, že dělá na kroužku fyziky.

(2 body)3. Série 28. Ročníku - 2. bubliny

Určete rozdíl potenciální povrchové energie blány kulaté bubliny a bubliny ve tvaru pravidelného čtyřstěnu. Oba útvary mají stejný vnitřní objem $V$.

Karel si vzpomněl na čtyřstěnné bubliny z Eureky!

Tato stránka využívá cookies pro analýzu provozu. Používáním stránky souhlasíte s ukládáním těchto cookies na vašem počítači.Více informací

Partneři

Pořadatel

Mediální partner

Partner


Created with <love/> by ©FYKOS – webmaster@fykos.cz