Vyhledávání úloh

astrofyzika (46)biofyzika (13)chemie (11)elektrické pole (46)elektrický proud (52)gravitační pole (49)hydromechanika (84)jaderná fyzika (27)kmitání (32)kvantová fyzika (19)magnetické pole (25)matematika (63)mechanika hmotného bodu (150)mechanika plynů (70)mechanika tuhého tělesa (141)molekulová fyzika (41)geometrická optika (56)vlnová optika (35)ostatní (102)relativistická fyzika (25)statistická fyzika (20)termodynamika (90)vlnění (31)

(3 body)1. Série 32. Ročníku - 2. ohňostroj

Jáchym odpaloval ohňostroj, který si můžeme představit jako světlici, která je v určitý čas vystřelena rychlostí $v$ směrem svisle nahoru, a poté za nějaký čas vybuchne. Jáchym stál ve vzdálenosti $x$ od místa odpalu, když uslyšel zvuk výstřelu. Za čas $t_1$ uviděl výbuch a za čas $t_2$ po zpozorování výbuchu ho i uslyšel. Spočítejte rychlost $v$.

(12 bodů)4. Série 31. Ročníku - E. tíha struny

Změřte délkovou hustotu struny, která vám měla přijít poštou společně se zadáním. Strunu ale nesmíte vážit.

Nápověda: Zkuste strunu rozkmitat.

Mišo přemýšlel o strunách na ÚTF.

(8 bodů)0. Série 31. Ročníku - 5. Elza cestuje, aneb Mišova pomsta

Elza ráda cestuje vlakem. Při tom si všimla, že ihned po zastavení vlak mírně cukne dozadu. Elza nemá tušení, proč tomu tak je, pomozte jí to tedy objasnit. Uvažujte vlak s lokomotivou (hmotnost $m_r = \mathrm{82 t}$) a čtrnácti vagóny (hmotnost každého z nich je $m_v = \mathrm{48 t}$). Lokomotiva má brzdící váhu $p_r = \mathrm{113 t}$ a každý z vagónů má $p_v = \mathrm{99 t}$.$^1$ Dále uvažujme, že po zabrzdění se brzdící impulz šíří s konstantní rychlostí od lokomotivy na konec vlaku, přičemž poslední vagón začne brzdit za čas $\Delta t = \mathrm{12 s}$ po mašině.

Pro úplnost uvažujme, že spřáhla vozů jsou z části volná a umožňují pohyb. Sílu, kterou působí, můžeme v závislosti na výchylce $x$ popsat jako $x < 0 \Rightarrow F = -x k  ,$

$x = 0 \Rightarrow F = 0  ,$

$x > 0 \Rightarrow F = A \mathrm{sgn} \(x - x_v\)  ,$

kde kladný směr je tehdy, pokud se vozy od sebe vzdalují. Dále $k$ je tuhost nárazníku, $x_v$ je nezáporná konstanta a $A$ je tuhost spřáhla, přičemž $A \gg k$.

  1. Analyticky vyšetřete průběh brzdění vlaku.
  2. Najděte vlastní frekvenci kmitů pro $n$-tý vagón.
  3. Najděte parametry $k$, $A$ a $x_v$ tak, aby kmitání vozů bylo vzhledem k brzdění kriticky tlumené.
  4. Splňuje tento model to, co Elza pozorovala? Udělejte Elze radost a najděte lepší model chování vlaku.
  5. Numericky řešte tento nový model.

Bonus: Řešte případ, ve kterém bude jeden z vozů vypojený, tedy nebude brzdit.

1.) Brzdící váha označuje poměrnou schopnost vozidla brzdit. Je to absolutní jednotka a můžeme jí lineárně přeškálovat na brzdící sílu.

(8 bodů)5. Série 30. Ročníku - 4. na provázku

Dvě závaží zanedbatelných rozměrů o hmotnosti $m=100\; \mathrm{g}$ spojíme pružným nehmotným provázkem o klidové délce $l_{0}=1\;\mathrm{m}$ s tuhostí $k=50\;\mathrm{kg}\cdot\mathrm{s}^{-2}$. Jedno závaží držíme na místě a druhé kolem něj necháme rotovat s frekvencí $f=2\;\mathrm{Hz}$. První závaží se přitom může volně otáčet kolem své osy. V jednu chvíli držené závaží uvolníme. Na jakou minimální vzdálenost se k sobě závaží přiblíží? Neuvažujte vliv gravitačního pole a předpokládejte platnost Hookeova zákona.

(3 body)3. Série 29. Ročníku - 3. kdy vyskočí?

Mějme nehmotnou pružinu o tuhosti $k$. Na jednom jejím konci je připevněno závaží o hmotnosti $m$, na jejím druhém konci je připevněno druhé závaží o hmotnosti $M$. Tuto sestavu položíme na vodorovnou desku tak, že závaží o hmotnosti $M$ bude ležet na desce a závaží o hmotnosti $m$ bude trčet na pružině přímo nad prvním závažím. Soustava je v rovnovážném stavu (tj. první závaží nekmitá) a délka pružiny v tomto stavu je $l$. Určete, jak moc musíme pružinu stlačit, aby po jejím uvolnění závaží o hmotnosti $M$ nadskočilo. Uvažujte pouze vertikální pohyb.

Michalovi byla zima, a tak hrál pružinky.

(8 bodů)1. Série 29. Ročníku - E. malé gé

Změřte místní tíhové zrychlení alespoň dvěma odlišnými metodami. Tyto metody následně zevrubně porovnejte.

Viktor slyšel námitku řešitelů, že je nebaví se pořád čvachtat ve vodě.

5. Série 23. Ročníku - 2. Lukášovo péro

Ve starém gauči našel Lukáš pružinu o tuhosti $k$, poloměru závitu $r$, délky $l$ a počtem závitů $n$. Protože se nudil, připojil ji ke stabilnímu zdroji elektrického proudu $I$. Jak se změnila její tuhost?

vymyslel Lukáš, když mu Aleš řekl, aby něco vymyslel

2. Série 23. Ročníku - 2. rušit krok

Jak rychle máme jít po visutém mostě, abychom jej co nejvíce rozkmitali? Úlohu vhodně parametrizujte a následně vyřešte.

Připomněl rotmistr Byrot.

2. Série 23. Ročníku - 3. brnkačka

Prodává se váleček, na kterém jsou malé výstupky. Váleček otáčeje se brnká o hranu ocelové destičky, která je nařezaná na proužky rozdílné délky. Ve skladbě na válečku se vyskytují všechny noty v daném neprázdném rozsahu (dejme tomu stupnice C dur). Dokážete zjistit tvar funkce konců nařezaných proužků?

navrhl hudební guru Jakub M.

2. Série 23. Ročníku - 4. Márovy pružiny

figure

Kutil Mára si doma sestavil takovouto hračku: Na dřevěný kruh do jedné přímky procházející středem disku přimontoval dvě zarážky (stejně daleko od středu), mezi které na dvou pružinách o tuhosti $k$ napnul závaží o hmotnosti $m$. Závaží může bez tření klouzat po disku. Mára hračku položil na stůl a roztočil okolo osy disku úhlovou rychlostí $ω$, přičemž závaží mírně vychýlil z rovnovážné polohy. Kvalitativně popište pohyb závaží, a pokud si věříte, vypočítejte jej (za bonusové body).

aniž by viděl náboj na soustředění, vymyslel Mára

1. Série 22. Ročníku - 1. klouzání a kmitání

figure

Dvě závaží o hmotnostech $m$ a $M$ jsou spojena pružinou o tuhosti $k$ a leží na hladké podložce (tření můžeme zanedbat). Tělesu $m$ udělíme rychlost $v$ (viz obrázek). Jaká bude nejkratší vzdálenost mezi tělesy a kdy jí dosáhnou?

V ročenkách kanadské FO našel Honza Prachař.

1. Série 22. Ročníku - 3. už mě nehoupej

Kačenka se rozhoupává na houpačce následujícím způsobem. Při největší výchylce houpačky se přikrčí, a když je houpačka v nejnižším bodě, opět se postaví. Tyto pohyby neustále opakuje. Poměr vzdálenosti těžiště Kačenky od osy otáčení při pokrčení a při stání je $2^{1⁄12} ≈ 1,06$. Kolikrát se Kačenka zhoupne, než se amplituda houpání zdvojnásobí?

Z asijské olympiády přinesl Honza Prachař

3. Série 20. Ročníku - 1. obložený létající talíř

Na zámořském parníku připravuje pro posádku jídlo kuchař Thomas. Na podávání talířů má šikovné zařízení. Pružinový držák udržuje vrchní talíř pořád ve stejné výšce. Vzdálenost mezi talíři je 1 cm. A protože je moře bouřlivé, sloupec 25 talířů pěkně kmitá. Jaká je frekvence těch kmitů?

Úlohu navrhl Jan Hradil.

4. Série 18. Ročníku - P. rezonující sklenička

Kroužením mokrým prstem po hraně broušené skleničky (například na víno) lze vyloudit poměrně intenzivní zvuk. Pokud se do skleničky nalije voda, pak frekvence vyluzovaného tónu klesá se vzrůstající výškou hladiny. Sami si to vyzkoušejte a pokuste se tento jev vysvětlit.

Robin

4. Série 17. Ročníku - 2. záhadné kyvadélko

Kovová palička může kmitat okolo koncového bodu. Její druhý konec se stále dotýká kovového oblouku. Bod závěsu je přes kondenzátor kapacity $C$ zapojený na střed kovového oblouku (t.j. nejnižší bod, ve kterém se nachází dolní konec paličky). Celé kyvadélko se nachází v homogenním magnetickém poli indukce $B$, které je kolmé na rovinu kmitů. Jaká je doba kmitu kyvadla, pokud hmotnost paličky je $m$ a tření a odpor drátu zanedbáme. Počáteční výchylku kyvadla $\alpha_{0}$ uvažujeme menší než $5\, \jd{^{\circ}}$.

Od někud přinesl Miro.

5. Série 15. Ročníku - 4. balón

Spočtěte frekvenci malých radiálních kmitů gumového balónu. V balónu je $n$ molů plynu s Poissonovou konstantou $\kappa = 5/2$ o teplotě $T$. V případě, že rozdíl tlaků uvnitř a vně balónu, je nulový je poloměr balónu $r_{0}$. Plošná hustota gumy je v tomto případě $\rho_{0}$. Potenciální energie gumy je lineárně úměrná rozdílu jejího povrchu a povrchu klidového s konstantou úměrnosti $\sigma$. Tlak vně balónu je $p_{0}$. Hmotnost plynu je vůči hmotnosti balónu zanedbatelná.

Úlohu si vymyslel Pavel Augustinský.

5. Série 13. Ročníku - 3. kyvadlo

Mějme rotační těleso o hmotnosti $m$. Na jeho ose zvolme body $A$ a $B$ vzdálené $d$. Zavěsíme-li těleso v bodě $A$, kývá se se stejnou periodou, jako když jej zavěsíme v bodě $B$. Moment setrvačnosti vzhledem k ose procházející těžištěm a kolmé na osu rotační symetrie je $J$. Určete všechny možné polohy těžiště tělesa vzhledem k bodům $AaB$.

5. Série 13. Ročníku - E. modul pružnosti vlasu

Změřte periodu torzních kmitů lidského vlasu. Z ní pak určete modul pružnosti vlasu ve smyku. Napovíme vám, že pro kroutící moment síly $M$ působící na válec délky $l$ a poloměru $r$, který je vyroben z materiálu o modulu pružnosti ve smyku $G$, platí vztah $M=πr^{4}Gφ⁄2l$, kde $φ$ je úhel stočení spodní podstavy vůči horní podstavě (zkuste si jej odvodit). Pokud nedisponujete dostatečně dlouhými vlasy, požádejte nějakou dlouhovlasou osobu o darování několika exemplářů a směle se pusťte do měření.

3. Série 13. Ročníku - P. šup sem, šup tam

Spočtěte frekvenci kmitů atomů v krystalu $\,\jd{NaCl}$. Můžete si úlohu zjednodušit tak, že budete uvažovat pouze coulombovské působení sousedních atomů. Jako bonus můžete spočítat i amplitudu výchylky.

2. Série 13. Ročníku - 2. kyvadélko na vozíčku

Mějme matematické kyvadlo o hmotnosti $m$ a délce $l$ umístěné na vozíčku. Vozíček má hmotnost $M$ a je volně (bez odporových sil) pohyblivý po rovině. Určete periodu malých kmitů kyvadla.

3. Série 11. Ročníku - 2. autobus

figure

Při cestě autobusem se vám může přihodit následující podivná věc: Sedíte na zadním sedadle vpravo a díváte se z okna (viz obr. 1). Jelikož je noc, vidíte v něm také odraz digitálních hodin visících nad řidičem. Jede-li autobus pěkně po rovině, mají číslice odražené v okně zanedbatelnou tloušťku (viz obr. 2). Může se ale stát, že vlivem nerovností na vozovce a klepání motoru se okno rozkmitá a číslice se rozmažou tak, že vypadají $1 \,\jd{cm}$ tlusté (viz. obr. 3). S jak velkou amplitudou okno kmitá? Jaká musí být minimální frekvence, abychom neviděli jednotlivé kmity číslic?

2. Série 10. Ročníku - 2. magnetické kyvadlo

figure

V homogenním tíhovém poli (tíhové zrychlení $g=9,81\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-2})$ je na závěsu zanedbatelné hmotnosti délky $l=1,00\;\mathrm{m}$ umístěna malá kovová kulička o hmotnosti $m=10,0\; \textrm{g}$. Na kuličku byl přiveden náboj o velikosti $Q=5,0\; \textrm{μC}$. Celá tato aparatura se nachází ve svislém homogenním magnetickém poli, jehož vektor magnetické indukce $\textbf{B}$ o velikosti $B=0,5\; \textrm{T}$ má stejný směr jako tíhové zrychlení $\textbf{g}$. Vnější magnetická pole jsou vůči tomuto magnetickému poli zanedbatelná. Celá soustava se nachází v klidu. Závěs vychýlíme o úhel $α = 7°$ a uvolníme. Popište pohyb kuličky po uvolnění.

5. Série 9. Ročníku - P. rotující kyvadýlka

figure

Představte si, že máte na tyčce připevněno pomocí dvou závěsů několik kuliček tak, že se mohou pohybovat po kružnici o poloměru $l_{n}$ (ve svislé rovině), kde $n$ je pořadové číslo kuličky. Potom celou soustavu roztočíme podél svislé osy úhlovou rychlostí $ω$ a nepatrně do kuliček šťouchneme (aby nebyly přímo na ose rotace). Co se děje s jednotlivými kuličkami a jak bude vypadat pohled z boku na tuto rotující soustavu?

5. Série 8. Ročníku - P. co ten skokan pořád chce

Chceme-li demonstrovat metodu řešení soustavy rovnic na našem skokanovi, budeme muset přidat další podmínku: dejme tomu, že první dopad na prkno se mu zdál příliš tvrdý; rozhodl se tedy rozkývat prkno natolik (změnit amplitudu kmitů), aby druhá srážka s prknem proběhla se zanedbatelnou vzájemnou rychlostí. Tedy jak hodnota Funkce, tak Derivace (uvedená v minulém díle) byla v okamžik srážky rovna nule. Vašim úkolem je najít potřebnou amplitudu $A_{n}$ a dobu druhého skoku $T_{n}$ (odráží se opět dole).

2. Série 8. Ročníku - P. problém liftboye

Liftboy v mrakodrapu si pověsil na stěnu svého výtahu přesné kyvadlové hodiny, aby viděl, kdy mu končí pracovní doba. Doba pohybu výtahu se zrychlením vzhůru a dolů je stejná. Zrychlení taktéž. Co si myslíte: bude mít chlapec pracovní dobu delší, kratší nebo stejnou?

2. Série 8. Ročníku - S. skokan

Skokan na můstku se odrazí z prkna rychlostí $v=5\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$ kolmo vzhůru v okamžiku, kdy je deska maximálně prohnutá směrem dolů (o $A=30\;\mathrm{cm}$ pod rovnovážnou polohou). Za jak dlouho se opět s deskou srazí, pokud prkno kmitá s periodou $T=0,5\;\mathrm{s}$.

Srovnejte rychlost výpočtu v jednotlivých fázích (hrubé přibližování, dolaďování).

1. Série 7. Ročníku - 2. gramofonová přenoska

Raménko s gramofonovou přenoskou je uchyceno v čepu a vyváženo závažím. Pokuste se zdůvodnit proč je celá soustava uspořádána tímto způsobem. Navrhněte velikost a umístění závaží, je-li hmotnost přenosky 15 g, tuhost jehly ve vertikálním směru 80 N\cdot m^{−1} a její vzdálenost od čepu je asi 200 mm, víte-li, že maximální přípustná síla, jíž může jehla tlačit na desku je 0,02 N. Hmotnost ramena přenosky zanedbejte.

1. Série 7. Ročníku - P. fošna

figure

Čtvercová deska o straně délky $a$ (viz obr. 4) je upevněna na ose procházející jejím středem ve směru rovnoběžném s jednou ze stran. Ve vzdálenosti $c$ od této osy je na ní položeno malé tělísko hmotnosti $m$. Deska začne kmitat s nevelkou amplitudou kolem vodorovné polohy s frekvencí $ω$. Určete dobu (je mnohem větší než perioda kmitů), za kterou tělísko spadne z desky, je-li koeficient tření mezi deskou a tělískem $μ$.

3. Série 1. Ročníku - 3. tramvaj

Ve stojící tramvaji visí u svislé desky na niti délky $l$ citrón o hmotnosti $m$ (předpokládáme, že rozměry citrónu jsou velmi malé v porovnání s délkou niti). Tramvaj se rozjede se zrychlením $a$, které můžeme považovat za konstantní. Spočtěte, kam až toto kyvadlo vykývne (jaký maximální úhel bude svítat s deskou) a kdy citrón opět ťukne do desky.

2. Série 1. Ročníku - 4. pružiny

figure

Model pružin

Pohrajme si s dvěma stejně dlouhými, ale různě tuhými pružinami. (Jejich tuhosti označíme $k_{1}$ a $k_{2}$.) Když je spojíme (viz obrázek), chovají se dohromady jako jediná pružina? Jaká je tuhost $k_{výsl}$ této „výsledné“ pružiny při spojení vedle sebe a jaká při spojení za sebou?

1. Série 1. Ročníku - 3. klavír

Předpokládejte, že vlastníte výborný koncertní klavír. Chcete ho nechat naladit. Pozvete nejlepšího ladiče pian. Ten ladí klavír tak, že porovnává zvuk klavíru a etalonu (ladičky). Jak dlouho mu bude trvat perfektní naladění klavíru?

  • zhruba hodinu
  • zhruba den
  • zhruba týden
  • zhruba měsíc
  • nekonečně dlouho

1. Série 1. Ročníku - P. píst

V nádobě uzavřené pohyblivým pístem je ideální plyn. Píst stlačíme z jeho rovnovážné polohy o malou vzdálenost $x$ ($x$ je mnohem menší než výška nádoby $h)$ a pak jej pustíme. Následný děj považujeme za izotermický.

  • Ukažte, že píst bude vykonávat harmonické kmity kolem rovnovážné polohy a najděte jejich frekvenci. (Návod: Uvažte síly působící na píst a jejich analogii se silami působícími na hmotný bod zavěšený na pružině.)
  • Diskutujte oprávněnost předpokladu o izotermičnosti uvažovaného děje.
Tato stránka využívá cookies pro analýzu provozu. Používáním stránky souhlasíte s ukládáním těchto cookies na vašem počítači.Více informací

Partneři

Pořadatel

Mediální partner

Partner


Created with <love/> by ©FYKOS – webmaster@fykos.cz