Vyhledávání úloh podle oboru

Databáze úloh FYKOSu odjakživa

astrofyzika (74)biofyzika (18)chemie (19)elektrické pole (64)elektrický proud (67)gravitační pole (71)hydromechanika (131)jaderná fyzika (35)kmitání (48)kvantová fyzika (25)magnetické pole (35)matematika (80)mechanika hmotného bodu (246)mechanika plynů (79)mechanika tuhého tělesa (197)molekulová fyzika (60)geometrická optika (69)vlnová optika (52)ostatní (143)relativistická fyzika (35)statistická fyzika (20)termodynamika (129)vlnění (46)

kmitání

(9 bodů)6. Série 34. Ročníku - 5. těžká pružina

Mějme homogenní pružinu s tuhostí $k$ a hmotností $m$, jejíž šířka je zanedbatelná vůči její délce. Pružinu uchytíme na jednom konci tak, aby kolem něj mohla rotovat, a následně ji roztočíme úhlovou rychlostí $\omega $. Kolikrát se tato pružina při rotaci prodlouží? Vliv tíhového pole neuvažujte.

(10 bodů)6. Série 34. Ročníku - S. nabitá struna

Uvažujte napnutou strunu o délkové hustotě $\rho $, která je navíc rovnoměrně nabitá s délkovou nábojovou hustotou $\lambda $. Napětí ve struně je $T$. Struna se nachází v magnetickém poli o konstantní velikosti $B$, jež je ve směru struny v rovnovážné poloze. Vaším úkolem bude popsat několik aspektů kmitání této struny. Nejprve bude třeba sestrojit vlnovou rovnici. Zanedbejte indukční efekty (předpokládejte, že struna je perfektně izolující, a tedy nábojová hustota zůstává konstantní) a určete lorentzovskou sílu na jednotku délky pro malé oscilace struny v obou směrech kolmých na směr jejího napnutí. Tuto sílu použijte pro sestavení vlnové rovnice (ta dále obsahuje sílu plynoucí z napětí struny). Proveďte fourierovskou substituci a určete disperzní vztah v aproximaci malého pole $B$; konkrétně uvažujte členy do prvního řádu v $\beta = \frac {\lambda B}{k \sqrt {\rho T}} \ll 1$, kde $k$ je vlnové číslo. Určete dva polarizační vektory, tentokrát pouze do nultého řádu v $\beta $. Nyní předpokládejte, že vytvoříme v určitém místě struny vlnu, která bude oscilovat pouze v jednom směru. V jaké vzdálenosti od původního bodu bude vlna stočená o devadesát stupňů?

(10 bodů)4. Série 34. Ročníku - S. oscilace oxidu uhličitého

Budeme modelovat kmity v molekule oxidu uhličitého. Jedná se o lineární molekulu s jedním atomem uhlíku mezi dvěma atomy kyslíku, ležícími společně na jedné přímce. Uvažujme pouze kmity podél této přímky. Předpokládejme, že pro malé výchylky lze molekulu modelovat jako spojení uhlíkového atomu s každým z kyslíkových pomocí pružin o tuhosti $k$. Atom uhlíku má hmotnost $M$, hmotnost kyslíkového atomu je $m$.

Sestavte rovnice určující síly, které působí na atomy při malých výchylkách podél osy uvažované molekuly. Ta je symetrická vůči záměně některých atomů. Vyjádřete tuto symetrii pomocí matice působící na vámi definovaný vektor výchylek. Dále určete vlastní vektory a vlastní čísla této matice. Takováto symetrie však není kompletní – vysvětlete, které stupně volnosti nezahrnuje.

Dále sestrojte maticovou rovnici popisující kmity systému. Dosazením vlastních vektorů z matice symetrie, které rozšíříte o symetrií neomezené stupně volnosti, určete normální mody systému. Dále spočítejte jejich úhlovou rychlost/frekvenci a načrtněte směry oscilací. Jaké další mody (stále pouze ve směru osy molekuly) by systém mohl obsahovat? Určete frekvenci a směr pro každý mod, jejž se vám podaří nalézt.

Štěpán přemýšlel o molekulách.

(10 bodů)3. Série 34. Ročníku - S. elektron v poli

Uvažujte částici s nábojem $q$ a hmotností $m$, která je přichycená k pružině o tuhosti $k$, jejíž druhý konec je ukotven v jednom bodě. Předpokládejte, že pohyb částice je omezen na pohyb v jedné rovině. Celý systém je v magnetickém poli o velikosti $B _ 0$, které je kolmé na rovinu pohybu částice. Pokusíme se popsat možné oscilace této částice. Začněte sestavením rovnic pohybu pro tuto částici - nezapomňte započítat vliv magnetického pole.

Poté předpokládejte oscilující pohyb pro obě kartézské souřadnice částice, a proveďte Fourierovskou substituci, tj. nahraďte derivace násobky $i \omega $, kde $\omega $ je frekvence oscilací. Vyřešte výslednou soustavu rovnic tak, abyste získali poměr amplitud oscilací a frekvenci oscilací. Takto získané řešení je poměrně složité, a abychom mu lépe porozuměli, je vhodné přiblížit si ho v jednoduším případě. Předpokládejte tedy dále, že magnetické pole je velmi silné, tj. $\frac {q ^ 2 B _ 0 ^ 2}{m ^ 2} \gg \frac {k}{m}$. Určete přibližnou hodnotu (hodnoty) $\omega $ v této aproximaci, hledejte vždy nejvyšší nenulový řád přiblížení. Dále načrtněte pohyb (pohyby) částice v reálném prostoru při této aproximaci.

Štěpán chtěl vytvořit klasický diamagnet.

(10 bodů)2. Série 34. Ročníku - S. kmitající RLC

Uvažujme obvod, ve kterém jsou sériově zapojeny cívka, kondenzátor, rezistor a zdroj napětí. Cívka má indukčnost $L$, kondenzátor má kapacitu $C$ a rezistor má odpor $R$. Zdroj vytváří střídavé napětí $U = U_0 \cos \(\omega t\)$. Všechny součástky považujte za ideální. S pomocí zákona zachování energie napište rovnici pro náboj, rychlost náboje (proud $I$) a zrychlení náboje (rychlost změny proudu $I$). Jedná se o rovnici tlumených kmitů. Porovnáte-li ji s rovnicí pro tlumené kmity závaží na pružině, co v tomto obvodu hraje roli hmotnosti, tuhosti pružiny a tření? Jaká je přirozená frekvence kmitů?

Dále, pomocí veličin $L$, $R$ a $\omega $ vyjádřete kapacitu kondenzátoru, při které by byl fázový posun napětí na kondenzátoru roven $\frac {\pi }{4}$. Jaká bude amplituda napětí na kondenzátoru při tomto fázovém posunu?

Nemechanické kmity jsou taky kmity.

(10 bodů)1. Série 34. Ročníku - S. kmitáme

figure

Seriál začneme zkoumáním několika mechanických oscilátorů, u kterých nás bude zajímat především určení frekvence volných kmitů. Dále si zopakujeme, jak vypadá oscilátor ve fázovém prostoru.

  1. Uvažujme dutý nehmotný kužel, do jehož špičky vložíme kámen o hmotnosti $M$. Kužel ponoříme špičkou napřed do vody o hustotě $\rho $, ve které bude plovat. Určete rovnovážnou hloubku ponoru kužele měřenou od špičky $h$, pokud je celková výška kužele $H$ a poloměr základny $R$. Dále nalezněte úhlovou frekvenci malých vertikálních kmitů kuželu.
  2. Představme si závaží o hmotnosti $m$ přidělané na nehmotné pružině o tuhosti $k$ a klidové délce $L$. Pokud pružinu na druhém konci upevníme, dostaneme kyvadlo. Spočítejte přirozenou úhlovou frekvenci jeho oscilací, přičemž předpokládejte, že délka pružiny se během pohybu nemění. Následně určete malý rozdíl v úhlové frekvenci $\Delta \omega $, o který se úhlová rychlost tohoto kyvadla liší od případu, ve kterém je pružina nahrazena nedeformovatelnou tyčí se stejnou klidovou délkou. Přitom předpokládejte $k L \gg m g$.
  3. V terénu, který se skládá z periodicky se opakujících parabol s výškou $H$ a šířkou $L$, se nachází kostka cukru s hmotností $m$. Popište její potenciální energii jako funkci souřadnice v horizontálním směru a následně načrtněte možné trajektorie jejího pohybu ve fázovém prostoru v závislosti na rychlosti $v_0$, kterou má při průchodu vrcholem paraboly. Na náčrtku označte všechny významné vzdálenosti. Pro výchylku použijte horizontální souřadnici, vhodně přizpůsobte jednotky hybnosti v horizontálním směru. Při výpočtech zanedbejte kinetickou energii pohybu kostky ve vertikálním směru a předpokládejte, že stále zůstává v kontaktu s terénem.

Štěpán našel pár základních oscilátorů.

(5 bodů)4. Série 33. Ročníku - 3. uuu-trubice

figure

Schéma trubice

Jakou periodu malých kmitů bude mít voda ve skleněné trubici na obrázku? Uvažujte pokojovou teplotu a normální tlak a předpokládejte, že voda je dokonale nestlačitelná.

Karel zase přemýšlel nad U-trubicemi.

(12 bodů)4. Série 33. Ročníku - E. torzní kyvadlo

figure

Schéma kyvadla

Vezměte si alespoň $40 \mathrm{cm}$ dlouhou homogenní tyčku. Ve dvou bodech symetricky vůči jejímu středu k ní přidělejte dva závěsy ze stejného materiálu (například niť nebo vlasec), které dále upevněte k nějakému pevnému stativu tak, aby měly stejnou délku a aby byly rovnoběžné. Změřte periodu torzních kmitů tyčky v závislosti na vzdálenosti závěsů $d$ pro různé délky závěsů $l$ a určete, o jakou závislost na těchto dvou parametrech se jedná. Torzní kmity vypadají tak, že se tyčka otáčí ve vodorovné rovině, přičemž její střed zůstává v klidu.

Karel chtěl hypnotizovat účastníky.

(8 bodů)2. Série 33. Ročníku - 5. kolečko s pružinkou

Máme tenký dokonale tuhý homogenní disk o poloměru $R$ a hmotnosti $m$, ke kterému je připojena gumička. Jedním koncem je upevněná ve vzdálenosti $2R$ od okraje disku a druhým koncem na jeho okraji. Gumička funguje jako dokonalá tenká pružina o tuhosti $k$, klidové délce $2R$ a zanedbatelné hmotnosti. Disk je upevněný ve svém středu tak, že se může v jedné rovině volně otáčet kolem tohoto bodu, ale nemůže se posouvat či měnit rotační rovinu. Určete závislost velikosti momentu síly, kterou bude gumička urychlovat či zpomalovat rotaci disku v závislosti na úhlové výchylce $\phi $, a sestavte pohybovou rovnici disku.

Bonus: Určete periodu malých kmitů soustavy.

Karlovi se točila hlava.

(9 bodů)6. Série 32. Ročníku - 5. gumová houpačka

Matěje začaly nudit klasické houpačky, které jsou na dětských hřištích a lze se na nich houpat pouze dopředu a dozadu. Proto vymyslel vlastní atrakci, na které se bude houpat nahoru a dolů. Mezi dva stejně vysoké body ve vzdálenosti $l$ natáhne gumu s klidovou délkou $l$. Následně se pomalu posadí přesně doprostřed gumy, přičemž se její střed vychýlí dolů o vzdálenost $h$. Nyní se velmi lehce odstrčí směrem nahoru a začne se houpat. Určete periodu malých kmitů.

Matěj přemýšlí, jak zranit děti na hřištích.

Tato stránka využívá cookies pro analýzu provozu. Používáním stránky souhlasíte s ukládáním těchto cookies na vašem počítači.Více informací

Partneři

Pořadatel

Partner

Mediální partner


Created with <love/> by ©FYKOS – webmaster@fykos.cz