Vyhledávání úloh podle oboru

Databáze všech úloh FYKOSu za posledních 32 let jeho existence.

astrofyzika (60)biofyzika (15)chemie (16)elektrické pole (54)elektrický proud (56)gravitační pole (56)hydromechanika (103)jaderná fyzika (31)kmitání (35)kvantová fyzika (21)magnetické pole (27)matematika (73)mechanika hmotného bodu (192)mechanika plynů (75)mechanika tuhého tělesa (165)molekulová fyzika (45)geometrická optika (62)vlnová optika (42)ostatní (125)relativistická fyzika (31)statistická fyzika (21)termodynamika (106)vlnění (38)

(3 body)1. Série 32. Ročníku - 1. balónky

Kolik balónů s objemem $V =10 \mathrm{l}$ naplněných heliem s hustotou $\rho _{He} = 0{,}179 \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ je potřeba, aby se Filip s hmotností $m_f =80 \mathrm{kg}$ vznášel ve vzduchu s hustotou $\rho _{v} =1{,}205 \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$? A kolik by jich bylo potřeba, aby se vznášela Danka s hmotností $m_d =50 \mathrm{kg}$? Hmotnost prázdného balónu zanedbejte.

(10 bodů)1. Série 31. Ročníku - P. modýlek letadla na ISS

Jak by se chovalo letadlo v mikrogravitaci (prostě uvažujte, že na něj gravitační síla nepůsobí)? Popište, jaký efekt by měla směrovka, výškovka, křidélka, případně vektorování tahu motorů. Jaké akrobatické manévry by byly možné? (Například plochá vývrtka asi ne.)

Erik si četl diskuze na internetu.

(7 bodů)0. Série 31. Ročníku - 4. au to bolí

Představte si, že atmosféru Země zcela nahradíme golfovými míčky. Jaká musí být jejich koncentrace, aby měl tento „golfový plyn“ stejnou termodynamickou teplotu a stejný tlak, jako naše současná atmosféra?

Bonus: Uvažujte, že vlastnosti plynu se s výškou mění (jako u skutečné atmosféry).

(7 bodů)6. Série 30. Ročníku - 4. zastřel si svého potkana

Mirek by rád zastřelil potkana, kterého vídá na kolejích. Připravil si tedy jednoduchou vzduchovou pušku, kterou si můžeme modelovat jako trubku s konstantním průřezem $S=15\;\mathrm{mm}$ a délkou $l=30\;\mathrm{cm}$, která je na jedné straně uzavřená a na druhé otevřená. Do ní se chystá Mirek umístit náboj hmotnosti $m=2\;\mathrm{g}$, který trubku akorát utěsní, a to ve vzdálenosti $d=3\;\mathrm{cm}$ od uzavřeného konce. Náboj zde zatím nechá upevněný v klidu a natlakuje uzavřenou část trubky na určitý tlak $p_{0}$. Posléze náboj uvolní. Chce aby na konci ústí byla minimálně rychlost náboje $v=90\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$. Poraďte mu, na jaký tlak by musel vzduchovou pušku natlakovat, aby náboj vyšel s takovou rychlostí, pokud by plyn byl ideální, a diskutujte realističnost uspořádání. Předpokládejte, že náboj je uvolňován kvazistatickým adiabatickým dějem, kde $κ=7/5$, protože se jedná o dvouatomový plyn. Uvažujte, že z vnějšku působí na náboj atmosférický tlak $p_{a}=10^{5}\;\mathrm{Pa}$. Zanedbejte energetické ztráty vyvolané třením, odporem vzduchu a stlačováním plynu před nábojem.

Karel chtěl zjistit, jestli by řešitelé zvládli přijímací řízení na magisterské studium na Matfyz.

(8 bodů)5. Série 30. Ročníku - 5. pouťový balónek

Máme balónek s hmotností (po nafouknutí) $m$ a objemem $V$ naplněný héliem, na kterém je přivázaná (prakticky nekonečná) stužka s délkovou hustotou $τ=10\;\mathrm{g}\cdot\mathrm{m}^{-1}$. Předpokládejte izotermickou atmosféru, pro níž je závislost atmosférického tlaku $p$ na výšce $z$ daná vztahem $p=p_0 \mathrm{e}^{-z/z_0}$, ($z_{0}$ je parametr atmosféry). Balónek položíme k zemi a poté ho uvolníme. Do jaké maximální výšky balónek vyletí?

(8 bodů)4. Série 30. Ročníku - 4. plynový stroj

figure

Mějme tepelný stroj naplněný ideálním plynem složeným z dvouatomových molekul. Tento tepelný stroj vykonává kruhový děj $\mathrm{ABCDEFA}$ (viz obrázek), tedy skládá se z šesti dějů

  • $\mathrm{A} \longrightarrow \mathrm{B}$ - izobarické zahřátí ze stavu $4p_{0}$ a $V_{0}$ (teplotu v A označme jako $4T_{0}$) do stavu s objemem $3V_{0}$,
  • $\mathrm{B} \longrightarrow \mathrm{C}$ - izotermická expanze na objem $4V_{0}$,
  • $\mathrm{C} \longrightarrow \mathrm{D}$ - izochorické ochlazení na tlak $p_{0}$,
  • $\mathrm{D} \longrightarrow \mathrm{E}$ - izobarické ochlazení na objem $2V_{0}$,
  • $\mathrm{E} \longrightarrow \mathrm{F}$ - izotermická komprese na objem $V_{0}$,
  • $\mathrm{F} \longrightarrow \mathrm{A}$ - izochorické zahřátí na tlak $4p_{0}$. Určete zbývající stavové veličiny ve stavech $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$ a $\mathrm{F}$, maximální a minimální teplotu ideálního plynu v průběhu děje (v násobcích $T_{0}$), teplo přijaté či odevzdané plynem v jednotlivých dějích a účinnost tepelného stroje. Srovnejte tuto účinnost s účinností Carnotova stroje pracujícího se stejnými maximálními a minimálními teplotami. Pro jednoduchost uvažujte, že se nemění látkové množství plynu ve stroji a nedochází v něm k chemickým přeměnám.

Bonus: To samé proveďte pro jednodušší cyklický „čtvercový“ děj, tedy $\mathrm{ABCDA}$, kde plyn začíná ve stavu $p_{0}$, $V_{0}$ a $T_{0}$ a izochoricky se ohřeje na $4p_{0}$, izobaricky se zahřeje a rozepne na $4V_{0}$, izochoricky ochladí na $p_{0}$ a izobaricky se ochladí na $V_{0}$. Srovnejte účinnosti těchto dvou tepelných strojů a diskutujte, který je lepší.

Karlovi bylo střídavě teplo a zima.

(7 bodů)2. Série 30. Ročníku - 5. várnice potřetí

Uvažujte klasickou várnici s kohoutkem dole a se vzduchotěsným víkem nahoře. Kolik čaje je možné si nalít, než budeme muset otevřít ventil, který vyrovná tlak vzduchu nad čajem s okolním tlakem?

Lukáše na soustředění trápilo, kolik čaje má být ve várnici.

(9 bodů)2. Série 30. Ročníku - P. efektivní (ná)stroj

Palné zbraně jsou vlastně takovými tepelnými stroji. Spočítejte jaká je účinnost nějaké pušky nebo pistole. (Jde o využití energie střeliva pro pohyb kulky.)

Michal původy svých nápadů raději nesděluje.

(8 bodů)1. Série 30. Ročníku - P. nebe padá na hlavu

Už jste se někdy zamysleli nad tím, proč mraky nespadnou na zem, když jsou z vody, která má přece výrazně větší hustotu než vzduch? Dešťové kapky dopadnou na zem v řádech minut, tak proč ne i mraky? Zkuste tuto skutečnost fyzikálně objasnit. Veškerá svá tvrzení podložte výpočtem.

Mirek se zadíval na nebe a dostal strach.

(6 bodů)6. Série 29. Ročníku - S. závěrečná

 

  • Najděte v tabulkách nebo na internetu, jak se změní entalpie a Gibbsova energie při reakci

$$2\mathrm{H}_2 + \mathrm{O}_2 \longrightarrow 2\mathrm{H}_2\mathrm{O}\, ,$$ kde jde o přeměnu plynů na plyn a odehrává se při standardních podmínkách. Vypočítejte také, jak se změní entropie při takovéto reakci. Výsledky udávejte vztažené na jeden mol.

  • Pro fotonový plyn platí, že tok energie skrze plochu je dán vztahem

$$j=\frac{3}{4}\frac{k_{\mathrm{B}}^4 \pi^2}{45 \hbar^3 c^3}cT^4\, .$$ Dosaďte hodnoty konstant a porovnejte výsledek se Stefanovým-Boltzmannovým zákonem.

  • Vypočítejte vnitřní energii a Gibbsovu energii fotonového plynu. Dále pomocí vnitřní energie vypočítejte závislost teploty fotonového plynu na objemu při adiabatickém rozpínaní, tedy při procesu s $\delta Q=0$.

Nápověda: Zákon pro adiabatický děj s ideálním plynem jsme odvodili v druhém dílu seriálu.

  • Vezměme si fotonový plyn. Ukažte pro $\delta Q/T$, že pokud ho vyjádříme jako

$$\delta Q / T = f_{,T} \;\mathrm{d} T + f_{,V} \mathrm{d} V \, ,$$ tak funkce $f_{,T}$ a $f_{,V}$ splňují nutnou podmínku na existenci entropie, tedy že $$\frac{\partial f_{,T}(T, V)}{\partial V} = \frac{\partial f_{,V}(T, V)}{\partial T} $$

Janči se pokusil vymyslet jednodušší úlohu než posledně.

(3 body)5. Série 29. Ročníku - 3. egyptská brána

figure

Ve starověkém Egyptu uměli vyrobit bránu, ale ještě neznali mříže, tak brány zavírali nilany (vápencovými kameny). Na obrázku vidíte $150$ otroků o hmotnosti $m=60\;\mathrm{kg}$, kteří právě velmi pomalu otevírají bránu zavřenou nilanem o hmotnosti $M=8\;\mathrm{t}$. Nilan přesně (vzduchotěsně) pasuje do konstrukce nad bránou ve tvaru kvádru, která má vnitřní rozměry $a=3\;\mathrm{m}$, $b=0,\! 5\;\mathrm{m}$ a $c=3\;\mathrm{m}$. Uvnitř konstrukce je na počátku tlak $p_{0}=100\; \mathrm{kPa}$ a teplota $T_{0}=300\; \mathrm{K}$ a je umístěna ve výšce $H=3\;\mathrm{m}$. Určete, jak vysoko jsou otroci schopni vlastní vahou nilan zdvihnout, jestliže se teplota vzduchu nemění.

Mirek rád předává otrockou práci jiným.

(6 bodů)5. Série 29. Ročníku - S. přirozeně proměnná

 

  • Použijte vztah pro entropii ideálního plynu $S(U,V,N)$ z řešení třetí seriálové úlohy

$$S(U,V,N) = \frac{s}{2}n R \ln{\left( \frac{U V^{\kappa -1}}{\frac{s}{2}R n^{\kappa} } \right)} nR s_0$$ a vztah pro změnu entropie $$\mathrm{d} S = \frac{1}{T}\mathrm{d} + U \frac{p}{T} \mathrm{d} V - \frac{\mu}{T} \mathrm{d} N$$ a vypočítejte chemický potenciál jako funkci $U$, $V$ a $N$. Upravte dále na funkci $T$, $p$ a $N$.
Pomůcka: Přečtěte si o derivacích a malých změnách v druhém díle seriálu. Nyní by už mělo být zřejmější, že koeficienty jako $1/T$ před $\mathrm{d}U$ spočítáte jako parciální derivaci $S(U,V,N)$ podle $U$. Nezapomeňte na užitečný vztah $\ln{(a/b)}=\ln{a}-\ln{b}$ a že $n=N/N_{A}$.
Bonus: Vyjádřete tímto způsobem i teplotu a tlak jako funkce $U$, $V$ a $N$. Eliminujte závislost tlaku na $U$, abyste dostali stavovou rovnici.

  • Je chemický potenciál ideálního plynu kladný, nebo záporný ($s_{0}$ považujte za zanedbatelné)?
  • Co se bude dít s plynem v pístu, pokud je plyn napojený na rezervoár s teplotou $T_{\mathrm{r}}?$ Píst se může volně pohybovat a z druhé strany na něj nic nepůsobí. Popište, co se bude dít, pokud dovolíme jen kvazistatické procesy. Kolik práce takto dokážeme extrahovat? Platí, že se takto minimalizuje volná energie?

Pomůcka: Na výpočet práce se vám může hodit vztah $$\int _{a}^{b} \frac{1}{x} \;\mathrm{d}x = \ln \frac{b}{a}.$$

  • Entalpii jsme definovali jako $H=U+pV$, Gibbsovu energii jako $G=U-TS+pV$. Jaké jsou přirozené proměnné těchto potenciálů? Jaké termodynamické veličiny dostaneme derivacemi těchto potenciálů podle svých přirozených proměnných?
  • Vypočítejte změnu grandkanonického potenciálu $\textrm{d}Ω$ z jeho definičního vztahu $Ω=F-μN$.

Janči se snažil představit si chemický potenciál.

(4 body)4. Série 29. Ročníku - 4. bubliny znovu spojeny!

Kolik nejméně se musí spojit stejně velkých mýdlových bublinek o poloměru $r$, aby vytvořily jednu, která má poloměr alespoň $3r$? Uvažujte, že vzduch v bublinách má stále stejnou teplotu.

Karel se díval na bublifuk.

(6 bodů)4. Série 29. Ročníku - S. pracovní

 

  • Z nerovnosti

$$\Delta S_{\mathrm{tot}} \geq 0 $$ ze seriálu vyjádřete $W$ a odvoďte tak nerovnost pro práci $$W \leq Q \left( 1 - \frac {T_\textrm{C}}{T_\textrm{H}} \right) \, .$$

  • Vypočítejte účinnost Carnotova cyklu bez použití entropie.

Pomůcka: Napište si 4 rovnice spojující 4 vrcholy Carnotova cyklu: $$p_1 V_1 = p_2 V_2, \;\; p_2 V_2^{\kappa} = p_3V_3^{\kappa}, \;\; p_3V_3 = p_4V_4, \;\; p_4V_4^{\kappa} = p_1V_1^{\kappa}$$ a vynásobte je všechny čtyři spolu. Po úpravě dostanete $$\frac {V_2}{V_1} = \frac {V_3}{V_4}\, .$$ Následně stačí použít vzorec na práci při izotermickém procesu: když přechází proces z objemu $V_{\textrm{A}}$ do $V_{\textrm{B}}$, práce vykonaná na plyn je $$nRT\;\ln{\left(\frac{V_\textrm{A}}{V_\textrm{B}}\right)}\, .$$ Teď už si stačí jen uvědomit, že práce při izotermickém ději je rovná teplu (se správným znaménkem) a vypočítat získanou práci (vzpomeňte si, že adiabatické procesy nepřispívají) a odebrané teplo. Na řešení stačí doplnit detaily tohoto postupu.

  • Minule jste pracovali s $pV$ a $Tp$ diagramem. Udělejte stejné cvičení s $TS$ diagramem, tedy nakreslete tam izotermický, izobarický, izochorický a adiabatický proces. Nakreslete do diagramu také cestu plynu v Carnotově cyklu a označte správně směr a vrcholy, aby souhlasily s obrázkem v seriálu.
  • V seriálu jsme se zmínili, že někdy je třeba dávat pozor na přijaté a odebrané teplo. Někdy se totiž to, jestli teplo přijímáme nebo odevzdáváme, mění v průběhu procesu. Jeden z příkladů je proces

$$p=p_0\;\mathrm{e}^{-\frac{V}{V_0}}\, ,$$ kde $p_{0}$ a $V_{0}$ jsou konstanty. Určete, pro jaké hodnoty $V$ (při rozpínání) proudí teplo do plynu a kdy z plynu.

(6 bodů)3. Série 29. Ročníku - S. entropická

 

  • Všechny stavy ideálního plynu umíme nakreslit jako digramy: $pV$ diagram, $pT$ diagram a tak dále. Na svislou osu se vynáší první veličina, na vodorovnou osu se vynáší druhá veličina. Každý bod tedy určuje dva parametry. Načrtněte do $pV$ diagramu 4 děje s ideálním plynem, které znáte. Udělejte to stejné pro $Tp$ diagram. Jak by vypadal $UT$ diagram? Vysvětlete, jak se nevhodnost těchto dvou proměnných jeví na tomto obrázku.
  • Jaké jednotky má entropie? Jaké jiné veličiny s těmito jednotkami znáte?
  • V seriálu jsme rozebrali případ nárůstu entropie, když plyn přijímal teplo. Proveďte podobnou úvahu pro plyn odevzdávající teplo.
  • Víte, že při adiabatickém ději se entropie nemění. Proto entropie jako funkce objemu a tlaku $S(p,V)$ může obsahovat jen takovou kombinaci objemu a tlaku, která se také při adiabatickém procesu nemění. Jaký je to výraz? Nakreslete na $pV$ diagram (svislá osa je $p$, vodorovná $V$) křivky, na kterých je entropie konstantní. Souhlasí výsledek této úvahy se vzorcem, který jsme pro entropii odvodili?
  • Vyjádřete entropii ideálního plynu jako funkci $S(p,V)$, $S(T,V)$ a $S(U,V)$.

(6 bodů)2. Série 29. Ročníku - S. procesní

 

  • Které ze skupiny procesů (izobarický, izochorický, izotermický a adiabatický) můžou být vratné?
  • Vezměte vztah $T=pV / (nR) $ s $n=1\;\textrm{mol}$, $p=100\;\textrm{kPa}$ a $V=22\;\textrm{l}$. O kolik se změní $T$, když $p$ i $V$ zvětšíme o $10\;\%$, $1\;\%$ a $0,\! 1\; \%$? Spočítejte to dvěma způsoby: přesně a pomocí vztahu $\mathrm{d}T=T_{,p}\mathrm{d}p + T_{,V} \mathrm{d}V$. Jak se tyto výsledky liší?
  • d gymnastika:
    • Ukažte, že $\mathrm{d} \left[ C f(x) \right] = C \mathrm{d} [f(x)]$, kde $C$ je konstanta.
    • Vypočítejte $\mathrm{d} (x^2)$ a $\mathrm{d} (x^3)$
    • Ukažte, že $\mathrm{d} \left( 1/x \right)= - dx/x^2$ z definice, tedy $\mathrm{d} \left(\frac{1}{x}\right)= \frac{1}{x+ \mathrm{d} x} - \frac{1}{x}$. Může se vám hodit: $(x + \mathrm{d} x)(x-\mathrm{d} x) = x^2 - (\mathrm{d} x)^2 = x^2$.
    • Bonus: Platí $\sin{(\mathrm{d} \vartheta)} = \mathrm{d} \vartheta$ a $\cos{\mathrm{d} \vartheta} = 1 $. Také máte součtový vzorec $\sin{(\alpha + \beta)}= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$, dokažte $\mathrm{d}\left( \sin{\vartheta} \right)=\cos{\vartheta} \mathrm{d}\vartheta$
    • Bonus: Podobně ukažte $ \mathrm{d} \left( \ln{x} \right) = \mathrm{d}x/x $ s pomocí $\ln (1 + \mathrm{d}x) = \mathrm{d}x$
  • Vysvětlete fyzikálně, proč je izobarická tepelná kapacita větší než izochorická.

(6 bodů)1. Série 29. Ročníku - S. zahřívací

 

  • Na rozehřátí a seznámení se s čísly zjistěte, do jaké výšky byste mohli zdvihnout průměrného člověka ($70\; \textrm{kg}$), využijete-li celou energii běžné tyčinky Mars (okolo $250\; \textrm{Cal}$ pro $50\textrm{g}$ tyčinku). Také vypočtěte, jaká energie je $k_{\textrm{B}}T$ při pokojové teplotě a vyjádřete ji také v elektronvoltech (pokud neznáte takovou jednotku energie, vězte, že je to energie, kterou získá elektron při urychlení na rozdílu potenciálů $1\; \textrm{V}$, a číselně $1\;\textrm{eV} = 1,\! 602 \cdot 10^{-19}\; \textrm{J}$).
  • Se stavovou rovnicí se dá hodně cvičit. Když namísto počtu částic použijete molární množství $n$, dostanete

$$pV = n N_{\mathrm{A}} k_{\mathrm{B}} T \, ,$$ kde se součin $N_{\textrm{A}}k_{\textrm{B}}$ značí $R$ a nazývá se univerzální plynová konstanta. Určete její hodnotu. Také dále upravte stavovou rovnici do tvaru, ve kterém se vyskytuje hmotnost plynu, a potom do tvaru obsahujícího hustotu plynu.

  • Určete objem molu plynu při pokojové teplotě. Toto číslo je užitečné znát zpaměti.
  • Nakonec trochu úvahová úloha. Povšimněte si, že v diskusi o práci ideálního plynu jsme automaticky použili tlak plynu. Zkuste sebe a mě přesvědčit, že je to ten správný tlak – já bych totiž namítal, že jsme mohli použít okolní tlak nebo dokonce rozdíl tlaků vně a uvnitř.

Poznámka: Hodnocení této části bude mírné, nebojte se zamyslet a napsat cokoli, na co přijdete.

(5 bodů)1. Série 28. Ročníku - 5. tisícročná včela

Spočítejte, jaký výkon potřebuje včela, aby se udržela ve vzduchu, a odhadněte, jak dlouho se vydrží najedená včela vznášet v konstantní výšce.

Michalovi vyplynulo z diskuze o kvadrokoptérách.

(4 body)6. Série 25. Ročníku - 3. čerpadlo

figure

Mějme zahnutou trubici délky $l$ plnou vody, jejíž spodní konec je ponořen do nádoby. Trubicí otočíme jednou za čas $T$. Pod jakým tlakem je nasávána voda z nádobky? Viskozitu vody a tlak sloupce vody ve svislé části zanedbejte.

Vyčerpaný Petr.

(7 bodů)6. Série 25. Ročníku - E. plechová komprese

Skvělý způsob, jak rozdrtit prázdnou plechovku od coly (pokud se vám ji nechce drtit o svou hlavu a vlastně se vám nechce ji vůbec manuálně drtit), je kápnout na dno trochu vody, trochu utěsnit otvor v ní a dát ji na vařič zahřát. Když ji pak rychle ponoříte do studené vody, tak se vám s trochu šikovnosti krásně zdrtí. Vyzkoušejte si to a vyzkoušejte to i bez toho, že by v plechovce byla voda. Vysvětlete, proč to funguje jinak s vodou a bez ní, a zkuste svoji plechovku zdrtit na co nejmenší objem vůči původnímu. Ten změřte a popište podmínky, při kterých se vám to podařilo. Pošlete fotky zdrcených plechovek. Pozor Při dělání pokusu k úloze se nespalte!

Karel chtěl, aby se účastníci spálili stejně jako on.

(4 body)4. Série 25. Ročníku - 5. únik plynu

Spočtěte, kolik procent své hmotnosti za rok ztratí zemská atmosféra, pokud uvážíte, že končí 10 \;\mathrm{km} nad zemí, po celé své výšce má konstantní tlak (stejný jako u hladiny moře), je tvořena ideálním plynem o teplotě 300 \;\mathrm{K}, splňuje Maxwellovo rychlostní rozdělení a gravitace se v jejím objemu nijak neprojevuje.

Aleše napadlo při úniku.

5. Série 24. Ročníku - S. aviatická

 

  • Popište geometrickou konstrukci (pomocí kružítka a pravítka) profilu Žukovského.
  • Zkuste nakreslit proudnice v okolí profilu Žukovského. Zvolte si takové parametry $d/l$ a $m/l$, aby měly praktické opodstatnění.
  • Jaká vztlaková síla působí na rovnou desku? Jaká vztlaková síla působí na desku tvaru kruhového oblouku?
  • Zkuste nakreslit profil křídla odpovídající Karmánově-Trefftzově transformaci.

Lukáš

3. Série 23. Ročníku - 2. hlučný dav kol mého prahu

Uvažujte dvoukřídlé dveře do budovy, mezi nimiž je i v zavřené poloze mezírka, kterou může proudit vzduch. Každé křídlo má pružinu, která ho vrací do výchozí zavřené polohy. Jedno křídlo vychýlíme a pustíme z klidu. Co se bude dít, třeba s druhým křídlem?

Pokud si nejste úplně jisti, nejdřív si to vyzkoušejte (Ke Karlovu 5, Právnická fakulta, Praha, …).

jmi

6. Série 22. Ročníku - P. lidští ptáci

Titan – družice Saturnu – je mrazivý svět (povrchová teplota asi $94\, \jd{K}$) s mohutnou dusíkovou atmosférou, s ledovým povrchem a uhlovodíkovými jezery. Průměr Titanu je $5150\, \jd{km}$, hmotnost je $1 ⁄ 45$ hmotnosti Země, tloušťka jeho atmosféry je $200\, \jd{km}$ a tlak na jeho povrchu je $1,5$ atmosféry.

Na základě předložených údajů určete gravitační zrychlení na povrchu a odhadněte hustotu atmosféry. Srovnáním s parametry ptáků v pozemských podmínkách rozhodněte, zda by opeřený člověk mohl na Titanu létat.

létat se zachtělo Honzovi P.

4. Série 22. Ročníku - E. blowjob

Kupte si nafukovací balonek, nafoukněte jej, zavažte a proměřte, jak se jeho objem mění s časem. Pokuste se určit, kolik z plochy balonku zabírají póry, kterými vzduch uniká.

Před jarním soustředěním se zamyslel Aleš.

5. Série 21. Ročníku - 1. pozor, neudus se

figure

V páté sérii opustíme fyziku a vykročíme do světa sci-fi. Vesmír brázdí nemálo kosmických lodí a také Ráma (A. C. Clarke: Setkání s Rámou, Návrat Rámy, Zahrady Rámovy, Ráma tajemství zbavený). Ráma je obří mezihvězdné plavidlo zkonstruované mimozemskou civilizací, která připlula do sluneční soustavy. Připravíme vás na odvážnou výpravu do jeho nitra a zamyslíme se nad strastmi, které na vás číhají.

Ráma má tvar válce o délce $54\,\jd{ km}$ a vnitřním průměru $16\,\jd{ km}$. Jeho vnitřek je vyplněn vzduchem. Ráma má dokonce svou vlastní umělou gravitaci, která vzniká tím, že se otáčí kolem své osy jednou za čtyři minuty. Na vnitřním povrchu pláště má vzduch tlak jedné atmosféry.

Vstup do Rámy je otvor uprostřed jedné podstavy. Předtím, než vstoupíš a sundáš si skafandr, si však rozmysli, zda je na jeho ose dýchatelný vzduch. Jaká je jeho hustota v porovnání s hustotou na vnitřním povrchu, je-li teplota vzduchu všude stejná?

Martin Formánek a Kuba Benda

5. Série 21. Ročníku - P. rámatřesení

Úspěšně ses dostal na povrch Rámy. Z ničeho nic se Ráma několikrát otřásl a zdá se ti, že se změnila rychlost jeho rotace. Tato otázka tě velice tíží. Navrhni proto několik způsobů, jak bys změněnou periodu rotace určil.

Martin Formánek

2. Série 21. Ročníku - 1. flusanec

Představte si, že jedete rychlíkem. Díváte se ven z otevřeného okna a sledujete okolní krajinu. O tři okna dál po směru jízdy nějaký zákeřný lump vyplivne žvýkačku. Kolik času máte, aby jste stihli uhnout? Samozřejmě přepokládáme, že žvýkačka je dokonalá koule a z okna nebyla vyhozena, nýbrž vlastně položena do proudu vzduchu.

Roman Fiala.

2. Série 21. Ročníku - 2. zmoklé autíčko

Navrhněte sklon a tvar předního skla automobilu tak, aby z něj kapky dešťové vody při rychlosti auta $80\,\jd{ km ⁄ h}$ nestékaly dolů, ale do stran. Ověřte, zda váš výsledek odpovídá skutečnosti. Co dalšího určuje sklon čelního skla?

Nad problémem se zamýšlel Honza Prachař při jízdě autem během průtrže.

2. Série 21. Ročníku - P. zachraňte bublinu?

Batyskaf Trieste se ponořil do velké hloubky Mariánského příkopu a vypustil bublinu, která začala stoupat … Když však podle stavové rovnice ideálního plynu vypočítáte hustotu vzduchu v bublině, zjistíte, že je bublina těžší než voda. Je to možné?

Pokud souhlasíte, vysvětlete svoji odpověď. Pokud nesouhlasíte, vypočítejte, jaké budou parametry bubliny (především hustota).

Úlohu navrhla Lenka Zdeborová.

1. Série 21. Ročníku - 2. zachraňte bublinu

Batyskaf Trieste se ponořil do velké hloubky Mariánského příkopu a vypustil bublinu, která začala stoupat. Jakou rychlostí bude stoupat? Bude se tato rychlost měnit? Za jaký čas vystoupá až na hladinu? Jak velká je nejrychlejší bublina?

Úlohu vymyslel Jano Lalinský.

3. Série 19. Ročníku - 4. stoupavý proud

Letadlo letí vodorovně rychlostí o velikosti $v$ a najednou vlétne do stoupavého proudu o rychlosti velikosti $v′$. Jaké bude počáteční vertikální zrychlení letadla těsně po nalétnutí do stoupavého proudu?

Předpokládejte, že součinitel vztlaku $C$ (koeficient v Newtonově vzorci pro vztlak) závisí lineárně na úhlu, který svírá směr proudění vzduchu s rovinou křídla.

Navrhl Matouš Ringel, když mu úlohu odmítl prof. Volf.

2. Série 19. Ročníku - E. načechraná šlehačka

Změřte tlak plynu v sifonové bombičce. Bombička je buď plněná $CO_{2}$ a prodává se pro plnění sifonu v desetikusovém balení, nebo je plněná $N_{2}O$ pro výrobu šlehačky.

Kájínek vyčetl na internetu.

3. Série 18. Ročníku - E. hustota vzduchu

Změřte hustotu vzduchu. Provést to můžete libovolnou metodou, nezapomeňte k vaší metodě uvést potřebnou teorii. Správný experimentální výsledek nesmí také postrádat určení chyby změřené hodnoty.

Navrhl Pavel Augustinský.

2. Série 18. Ročníku - 3. vrtulník

Aby se helikoptéra mohla vznášet, musí mít její motor výkon $P$. Jaký výkon $P'$ musí mít helikoptéra, která je přesnou poloviční kopií původní helikoptéry, aby se také vznášela? Předpokládejte, že rotor má 100% účinnost.

Úloha byla převzata z MFO v Kanadě.

1. Série 18. Ročníku - P. antiraketa

figure

Uvažme nádobu na kolečkách s otvorem dle obrázku. Uniká-li stlačený vzduch z nádoby ven, nádoba se pohybuje. Jde o princip analogický raketovým motorům. Představme si nyní opačnou situaci. Nádobu, v níž bylo vakuum, umístěnou ve vzduchu, který do nádoby proudí malým otvorem. Jak se bude nádoba pohybovat? Předpokládejte, že se nádoba může po zemi pohybovat bez odporu.

Úloha z prvního ročníku FYKOSu.

3. Série 16. Ročníku - 1. vítr na dálnici

V autoškole každého upozorňují na nebezpečí bočního větru při vjezdu ze závětří na otevřené prostranství. Zejména nebezpečné je to prý na dálnici při velké rychlosti.

Uvažujte konstatní rychlost bočního větru a spočtěte, jak se mění síla působící z boku v závislosti na rychlosti auta. Tvar auta předpokládejte takový, abyste úlohu dokázali vyřešit. Diskutujte vliv větru na následný pohyb vozidla.

3. Série 16. Ročníku - 4. rychlá smrt

V modulu Apollo letí astronauti na Měsíc, skrz okno jim proletí meteorit a udělá v něm dírku o poloměru $r=1\;\jd{mm}$. Jak se bude měnit teplota a tlak v kabině o objemu $V=60\,\jd{m^{3}}$, pokud původní podmínky jsou $t= 20 \jd{^{\circ}C}$ a normální tlak. Jako bonus se pokuste odhadnout, za jak dlouho začnou mít astronauti vážné problémy.

3. Série 16. Ročníku - E. balónek

Změřte tlak vzduchu, který je při nafukování uvnitř balónku těsně před tím, než balónek praskne. Alespoň jednu metodu zrealizujte a několik dalších navrhněte. Nezapomeňte uvést typ použitých „balónků“.

5. Série 15. Ročníku - P. samolet

Představte si drátěnou konstrukci ve tvaru hranice válcové plochy rozříznuté napůl rovinou, v níž leží osa rotační symetrie válce (viz obr. 1). Na tuto konstrukci napněme mýdlovou bublinu, která zaujme tvar půlválce. Tato bublina se má tendenci smrsknout, tedy působí na půlkružnice opačnými silami, které se vyruší, a na příčky silami směrem nahoru, tedy konstrukce v principu může vzlétnout. Spočtěte, jakou rychlostí vzlétne (nebo myslíte, že se tak stát nemůže; v tomto případě vysvětlete proč).

Ze starých sbírek vyhrabala Lenka Zdeborová.

5. Série 14. Ročníku - 2. dělo na lodi

Děla na bitevních lodích se nabíjejí následujícím způsobem: do hlavně se dá střela o hmotnosti $M$ a za ní určitý počet balíku s výbušninou (objem jednoho balíku je $V_{0})$, podle toho jak daleko chceme střílet. Kolikrát se zvětší dostřel takového děla, když nabijeme dvojnásobné množství výbušniny? Výbuch si představujte tak, že najednou se místo výbušniny objeví dvouatomový plyn o teplotě $T_{0}$ a tlaku $p_{0}$. Ráže děla je deset palců. Odpor vzduchu zanedbejte.

Nápad Karla Kouřila, když přemýšlel, co zadáme do FYKOSu.

5. Série 14. Ročníku - 4. supermetro

Ve Švýcarsku plánují vybudování celostátního „metra“. Vlaky mají jezdit na magnetickém polštáři tunelem, ze kterého je částečně vyčerpaný vzduch, a dosahovat rychlosti kolem $500\, \jd{km.h^{-1}}$. Tunel však nelze dokonale utěsnit. Předpokládejme, že chceme udržet tlak na hodnotě $0,05 p_{a}$, ale bez neustálého odčerpávání by za 1 den vzrostl na $0,5 p_{a}$. Spočtěte výkon, jaký je nutný na odčerpávání vzduchu ze $100 \jd{km}$ tohoto tunelu, je-li jeho průměr $5 \jd{m}$, účinnost odčerpávání oproti ideálně pracujícímu stroji $10\%$ a teplota $6 ^{\circ}C$. S čím lze takový výkon porovnat?

Zadal Honza Houštěk na základě informací, jež ho zaujaly.

3. Série 14. Ročníku - 3. dnem vzhůru

Ve velké nádobě s vodou je částečně ponořena dnem vzhůru válcová sklenice. Hladina vody v nádobě i ve sklenici je stejná a je vzdálena $l=10\jd{ cm}$ ode dna sklenice. Teplota vzduchu je $t_{0}=20\jd{^{\circ}C}$ a atmosférický tlak je $p_{0}=100\jd{ kPa}$. O jakou výšku $h$ stoupne hladina vody ve sklenici, jestliže se teplota sníží o $\Delta t=10\jd{^{\circ}C}$ a tlak stoupne o $\Delta p=2,0\jd{ kPa}$?

Počítalo se na cvičení k přednášce Fyzika I, zadal Honza Houštěk.

3. Série 14. Ročníku - 4. výpar vody

Za jak dlouho se vypaří voda ze sklenice o výšce $h=10\,\jd{cm}$ za normálních podmínek? Předpokládejte, že vlhkost vzduchu těsně nad hladinou je neustále $99\%$

Úlohu navrhl Karel Kouřil.

6. Série 13. Ročníku - 4. vodíková nádoba

figure

Představme si podle obrázku nádobu s ideálním plynem rozdělenou dvěma přepážkami na tři části. Napravo se udržuje teplota $T$ a tlak $p$, nalevo $2 \,\jd{T}$ a $p$. Určete, jaká teplota a tlak je v prostřední části, víte-li, že celý systém je v dynamické rovnováze.

6. Série 12. Ročníku - 1. plyn v láhvi

Uzavřená nádoba obsahující ideální plyn se pohybuje rychlostí $v$. Nádoba se náhle zastaví a veškerá kinetická energie plynu se změní v teplo. Zanedbejte teplo předané stěnám a spočtěte, o kolik se zvětší druhá mocnina střední kvadratické rychlosti molekul plynu, je-li plyn

  • jednoatomový
  • dvouatomový.

Zdůvodněte rozdílné výsledky v jednotlivých případech.

5. Série 12. Ročníku - E. listopad

Když vezmeme list papíru a pustíme jej ve vodorovné poloze, začne pomalu padat. Pokud jej přehneme na polovinu, bude padat rychleji – toť známý fakt. Vaším úkolem je pomocí tohoto jevu zjistit, podle jakého vztahu se mění odporová síla vzduchu působící na papír (závisí na rychlosti lineárně či kvadraticky?). Pokuste se určit potřebné konstanty.

4. Série 12. Ročníku - P. v balóně

Vzduch v horkovzdušném balónu je zahříván konstantním příkonem, aby se vyrovnaly tepelné ztráty a balón letěl stále ve stejné výšce. Průměrná teplota vzduchu v balónu je $t=57\;\mathrm{°C}$, teplota okolního vzduchu je $t_{0}=17\;\mathrm{°C}$. Tlak vzduchu v balónu je roven okolnímu tlaku. Pokud zvýšíme příkon hořáku tak, aby teplota v balónu vzrostla o $Δt=0,1\;\mathrm{°C}$, o kolik se změní výška letu balónu?

3. Série 12. Ročníku - 2. a zase ta čočka!

Tenkou ploskodutou čočku s poloměrem křivosti lámavé plochy $R$ postupně ponořujeme do vody (viz obrázek). Nalezněte závislost optické mohutnosti takovéto soustavy na hloubce ponoření čočky. Znáte index lomu skla, vody a vzduchu při atmosférickém tlaku. Závislost indexu lomu vzduchu na tlaku je lineární.

3. Série 12. Ročníku - 3. hmotnost

Spočtěte co nejpřesněji, jakou hmotnost má zemská atmosféra.

2. Série 12. Ročníku - P. ve výtahu

U každého výtahu v mrakodrapu je jisté riziko, že se zpřetrhají všechna lana, na kterých visí. Abychom předešli případnému úrazu, můžeme výtah vylepšit: Spodní část výtahové šachty utěsníme tak, abychom zamezili úniku vzduchu. Také okolo kabiny výtahu dáme těsnění. Výtah, který se utrhne v horním patře mrakodrapu se zabrzdí o vzduchový polštář, který si pod sebou stlačí. Předpokládejte, že kabina vážící $1000\,\jd{ kg}$ se utrhla $87\,\jd{ m}$ vysoko a vzduchotěsná část výtahové šachty začíná $15\,\jd{ m}$ nad zemí. Jak vysoko nad zemí se kabina nakonec zastaví? Jak velké síly působí po dobu pádu na cestující? V případě výpočtu síly se spokojíme i s kvalifikovaným odhadem, přesný výpočet bude po zásluze odměněn.

1. Série 12. Ročníku - 4. roztržitý výletník

Roztržitý výletník zaparkoval své auto na kopci se sklonem $\alpha=10^{\circ}$ a zapomněl jej zabrzdit. Jaké maximální rychlosti auto dosáhne? Parametry auta jsou: hmotnost $m=1200\;\mathrm{kg}$, výkon $P=55\,\jd{kW}$, maximální rychlost na rovné silnici $v_{max}=140\;\mathrm{km} \cdot \mathrm{h}^{-1}$. Předpokládejte že, odpor automobilu je úměrný druhé mocnině rychlosti.

5. Série 11. Ročníku - 1. dvojpíst

figure

Píst

Na obrázku obr. 1 vidíte dva spojené písty o ploše $S_{1}$ a $S_{2}$ a celkové hmotnosti $m$ zasunuté do pouzdra, které je na obou stranách otevřené. Celé zařízení je v rovnováze a je umístěno v tíhovém poli $g$. Vně pístů je atmosférický tlak $p_{a}$, uvnitř je $1\,\jd{kmol}$ ideálního plynu o tlaku $p$. O kolik stupňů Celsia musíme plyn mezi písty ohřát, aby se písty posunuly o $x$ směrem vzhůru?

4. Série 11. Ročníku - E. křídový prach

Změřte poloměr zrnka křídového prachu.

Pomůcka: Pro velmi jemný prach můžeme měřit dobu pádu prachu na zem a za pomoci Stokesova vzorce pro odpor prostředí můžeme poloměr dopočítat.

4. Série 11. Ročníku - P. levitující kapalina

Jistě jste si už někdy všimli, že když vytahujeme skleničku z umyvadla dnem vzhůru, zůstává v ní voda až do té chvíle, kdy její okraj vytáhneme nad hladinu. Pak všechna vyteče. Vysvětlete proč. Uvědomte si, že na povrch kapaliny ve skleničce obrácené dnem vzhůru působí tlak vzduchu, který dokáže vytlačit až deset metrů vodního sloupce!

2. Série 11. Ročníku - 4. kapka deště

Jeden náš řešitel, který se vracel ze soustředění za deštivého počasí vlakem domů si všiml, že kapky na skle vytvářejí přímé stopy. Změřil, že jsou od svislého směru odkloněny o úhel $α=35^{o}$. Určete jakou rychlostí jel vlak, mají-li kapky poloměr $r=2\;\mathrm{mm}$.

4. Série 9. Ročníku - 3. stvoření hvězd

Podle jedné z teorií vznikají hvězdy z oblaku mezihvězdné látky (kosmického prachu) smršťováním pod vlivem gravitačních sil. Určete dobu, za jakou se může zformovat hvězda z obrovského kulového oblaku kosmického prachu o hustotě $ρ=2\cdot 10^{–17}\;\textrm{kg}\cdot \textrm{m}^{–3}$. Můžete předpokládat, že se během smršťování částečky hmoty nepředbíhají a na začátku smršťování měly nulové rychlosti (oblak nijak nerotoval, nebyly v něm víry apod.). Zanedbejte také rozměry vzniknuvší hvězdy vůči počáteční velikosti oblaku.

2. Série 9. Ročníku - P. Lomonosův průvan

figure

Velký přírodovědec M. V. Lomonosov studoval ve své světově proslulé práci „O volném pohybu vzduchu v dolech“ závislost směru proudění vzduchu na ročním období. Po dlouhém a strastiplném bádání dospěl k závěru, že teplota vzduchu je v dole stále stejná po celý rok. (V jeho době byly doly ještě poměrně mělké.) Určete, jakými směry bude vzduch proudit v létě a v zimě v dolech umístěných podle obr. 4.

1. Série 9. Ročníku - 4. tlak plynu

V nádobě, jejíž stěny mají teplotu $t_{c}$, se nachází plyn o teplotě $t$. V kterém případě bude tlak na stěny nádoby větší: $t>t_{c}$ nebo $t<t_{c}?$

6. Série 8. Ročníku - E. hustota vzduchu

Pokuste se experimentálně určit hustotu vzduchu, pokud máte k dispozici dva různě velké balónky napuštěné plynem lehčím než vzduch. (Nevíme, jak je to s pouťovým šílením v této době jestliže neseženete vhodný plyn, např. vodík, zkuste použít horký vzduch – chyba měření bude ovšem ďábelská. Případně můžete měřit s plynem těžším vzduchu).

Nápověda: Neznámé hustoty náplně balónku se při výpočtu zbavíte právě tím, že provedete měření pro dva různé balónky, čili ze dvou rovnic tuto neznámou vyloučíte.

4. Série 8. Ročníku - 2. jak asi táhne komín

Vertikální roura výšky $h=1\;\mathrm{m}$ s plochou podstavy $S=50\;\mathrm{cm}^{2}$ je z obou stran otevřená. V dolní části roury se nachází ohřívač o výkonu $N=100\; \textrm{W}$. Jaká bude rychlost proudění vzduchu v troubě? Lze předpokládat, že veškerý tepelný výkon ohřívače se spotřebuje na ohřátí vzduchu. Atmosférický tlak je $p_{0}=100\; \textrm{kPa}$, teplota okolního vzduchu $t=20\;\mathrm{°C}$. Molární tepelná kapacita vzduchu při konstantním objemu je $C_{V}=2,5\; \textrm{R}$, kde $R$ je plynová konstanta.

3. Série 8. Ročníku - 3. polytropa na zahřátí

Pod pojmem polytropický rozumíme v termodynamice proces charakterizovaný rovnicí $pV^{α}=\;\mathrm{konst.}$, kde $α$ je daný parametr. Pro vhodné $α$ dostáváme např. izobarický ($α=0$), izotermický ($α=1$) nebo izochorický ($α=∞$) děj. Mějme nejjednodušší případ ideálního jednoatomového plynu. Při jakém polytropickém ději (t.j. pro jakou hodnotu $α$) se v něm zachovává

  • počet srážek atomů v jednotce objemu
  • celkový počet srážek?

2. Série 8. Ročníku - 1. přistání kosmické sondy

figure

Graf závislosti

Přistávací modul kosmické lodi se přibližuje k povrchu planety s konstantní rychlostí, přičemž předává na kosmickou loď údaje o tlaku atmosféry. Graf závislosti tlaku na čase je na obrázku. Při přistání na povrchu planety modul naměřil teplotu $T=700\; \textrm{K}$ a tíhové zrychlení $g=10\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-2}$. Určete rychlost $v$, kterou modul přistává, když se atmosféra skládá z oxidu uhličitého. Určete teplotu $T_{h}$ ve výšce $h=12\;\mathrm{km}$ nad povrchem planety.

2. Série 8. Ročníku - 3. nehoda ve vakuu

Dva kosmonauti se nacházejí v otevřeném mezihvězdném prostoru. Neočekávaně dojde k přetržení přívodní hadice u jednoho z nich a následně úniku veškerého vzduchu ze skafandru. Jeho přítel duchaplně připojí ventil ze svého skafandru na utržený konec hadice. Jenže ouha! Hadice je ucpaná a ke zprůchodnění trubice je třeba přetlaku alespoň $1,1\; \textrm{atm}$. Přitom standardní tlak udržovaný přístroji ve skafandru je roven $1\; \textrm{atm}$. Rozhodnou se k následujícímu kroku: vypnou přívod vzduchu nepoškozeného skafandru a společně se vystaví velmi intenzivnímu záření blízké hvězdy, čímž se jejich teplota zvýší z původních $27^{\circ}\;\textrm{C}$ na $107^{\circ}\;\textrm{C}$. Po vyrovnání tlaku rozpojí hadice a rychle se vrátí do stínu solárního článku, kde jejich teplota klesne k normálu. Jakého tlaku dosáhnou touto operací v poškozeném skafandru?

Poznámka: Komu se zdá tato příhoda příliš fantastická nebo málo vědecká, může stejnou úlohu počítat pro dvě identické nádoby spojené hadicí s jednosměrně propustnou klapkou.

1. Série 8. Ročníku - 4. setrvačnost

V autobuse (jede z pouti a má zavřené nejen dveře, ale i okna) stojí cestující a drží na provázku svůj balónek plný helia. Autobus, který původně stál v klidu, se rozjíždí. Co se stane s balónkem? (Cestující je pevně spojen s autobusem –tj. dobře se drží.) Jakým směrem se balónek pohne? Vysvětlete souvislost se setrvačnou silou! Můžete si to také vyzkoušet.

3. Série 7. Ročníku - 1. hrabeme se v motoru

Při provozu zážehového motoru automobilu dochází k opotřebení vnitřních stěn válců. Zdůvodněte, v kterých místech válce bude jeho opotřebení největší. A jak je tomu u jiných pístových strojů, např. kompresoru?

2. Série 7. Ročníku - 3. atmosféra

Odhadněte, jak vysoko může sahat atmosféra na planetě s danou hmotností $m$. Jaká nejvyšší hora může na takové planetě existovat? Porovnejte vaše výsledky s údaji z naší planetární soustavy.

1. Série 7. Ročníku - 3. píst

figure

Ve vodorovně upevněné válcové trubici s otevřenými konci jsou umístěny dva písty ve vzdálenosti $H$ a $2H$ od pravého okraje válce (viz obr. 2). Levý píst je spojen s pružinou o tuhosti $k$ upevněnou ve stěně, pravý je volný. Na počátku je tlak na obou stranách pístů i mezi nimi stejný (roven $p_{0})$. Určete sílu, jakou musíme působit na pravý píst, vytáhneme-li ho k pravému okraji trubice. Hmotnost pístů můžete zanedbat.

5. Série 2. Ročníku - 3. nádoby

figure

Nádoby

Ve dvou identických nádobách je na počátku v jedné polovině hélium a v druhé vakuum (obrázek). Obě nádoby jsou rozděleny pístem, v kterém je otevírací kanálek. Nyní provedeme dva pokusy. Kanálek v pístu jedné nádoby otevřeme a plyn přetéká do druhé poloviny nádoby, dokud se nevytvoří rovnováha. Potom píst pomalu přesuneme na kraj nádoby. V druhé nádobě velmi pomalu přesuneme píst ve směru vakua na okraj nádoby.

Srovnejte kvantitativně konečné stavy plynu v obou nádobách. Zanedbejte ztráty tepla přes stěny a tření při pohybu pístu.

3. Série 2. Ročníku - 3. síla přitažlivosti

Kdyby celý prostor byl prázdný mimo dvou kapek vody, budou se tyto kapky přitahovat podle Newtonova gravitačního zákona. Nyní předpokládejme, že celý prostor je vyplněný vodou s výjimkou dvou bublin (obrázek). Jak se bubliny budou pohybovat?

2. Série 2. Ročníku - 4. výška sloupce vzduchu

figure

Barometrická stupnice

V barometrické trubici je sloupec vzduchu. Při teplotě $t_{0}=10^{\circ}\;\mathrm{C}$ je výška sloupce $l_{0}=10\;\mathrm{cm}$. Jaká bude jeho výška při teplotě $t=30^{\circ}\;\mathrm{C}$?

2. Série 1. Ročníku - P. balónek

figure

Model balónku

Jak moc můžete nafouknout pouťový balónek, než praskne? Předpokládejme, že balónek má tvar koule. V nenafouknutém (nebo velmi slabě nafouknutém) stavu nechť má poloměr $r_{0}$ (třeba $5\; \textrm{cm}$). Je z gumové blány, jejíž elastické vlastnosti i pevnost známe. Na obrázku je znázorněn kruh vystřižený z materiálu, z něhož je balónek. Tučně vyznačená délka obvodu je jednotková. Pro jednoduchost předpokládejme, že kdybychom kruh z této blány roztahovali na okraji (viz obrázek) tak, že by síla na jednotku délky obvodu kruhu byla $f$, byl by poloměr kruhu přímo úměrný $f$.

$R=R_{0}(1+αf)$. Maximální síla na jednotku délky (při níž materiál balónku praskne) nechť je $f_{max}$.

Předpokládejme dále, že na jedno nadechnutí naberete do plic objem $V_{fuk}$ vzduchu a ten pak fouknete do balónku. Kolikrát můžete do balónku fouknout, než praskne, a jaký bude mít rozměr? (Zkuste též odhadnout reálné hodnoty veličin v problému vystupujících a diskutovat oprávněnost předpokladů.)

2. Série 1. Ročníku - S. odpor působící na auto

Spočtěte, jak bude s časem klesat rychlost auta brzděného jen odporem vzduchu. Auto jede po rovině na neutrál a zanedbáme valivé tření kol atd. – vše kromě odporu vzduchu.

Návod: Síla, kterou je auto brzděno, je v daném případě zhruba úměrná druhé mocnině jeho rychlosti: $F_{brzd}=C\cdot v$. (Pro běžný automobil lze odhadnout $C=(1–2)\; \textrm{m}^{-2}\cdot \textrm{s}$.) Uvažte, že během krátkého časového intervalu $Δt$ se síla působící na automobil příliš nezmění a jeho pohyb tedy můžeme brát jako rovnoměrně zpomalený. Celkovou změnu rychlosti za delší čas dostaneme poskládáním změn v jednotlivých „kouscích“ $Δt$.

Problém tak lze velmi dobře simulovat na mikropočítači, ale můžete využít i obyčejnou kalkulačku a hodnoty psát na papír, vynášet do grafu apod. Úlohu si můžete i rozšířit a počítat též ujetou dráhu, případně uvažovat změněné podmínky: jízdu z kopce či do kopce, jízdu pod vodou ($Cρ_{prostředí}$), vynalézavosti se meze nekladou.

1. Série 1. Ročníku - 2. antiraketa

figure

Model nádoby

Uvažujme nádobu s otvorem dle obrázku. Uniká-li stlačený vzduch z nádoby ven, nádoba se pohybuje. Jde o princip analogický raketovým motorům. Představme si nyní opačnou situaci. Nádobu, v níž bylo vakuum, umístěnou ve vzduchu, který do nádoby proudí malým otvorem. Nádoba se bude pohybovat:

  • doleva
  • doprava
  • nebude se pohybovat

1. Série 1. Ročníku - P. píst

V nádobě uzavřené pohyblivým pístem je ideální plyn. Píst stlačíme z jeho rovnovážné polohy o malou vzdálenost $x$ ($x$ je mnohem menší než výška nádoby $h)$ a pak jej pustíme. Následný děj považujeme za izotermický.

  • Ukažte, že píst bude vykonávat harmonické kmity kolem rovnovážné polohy a najděte jejich frekvenci. (Návod: Uvažte síly působící na píst a jejich analogii se silami působícími na hmotný bod zavěšený na pružině.)
  • Diskutujte oprávněnost předpokladu o izotermičnosti uvažovaného děje.
Tato stránka využívá cookies pro analýzu provozu. Používáním stránky souhlasíte s ukládáním těchto cookies na vašem počítači.Více informací

Partneři

Pořadatel

Mediální partner

Partner


Created with <love/> by ©FYKOS – webmaster@fykos.cz