Vyhledávání úloh

astrofyzika (46)biofyzika (13)chemie (11)elektrické pole (46)elektrický proud (52)gravitační pole (49)hydromechanika (84)jaderná fyzika (27)kmitání (32)kvantová fyzika (19)magnetické pole (25)matematika (63)mechanika hmotného bodu (150)mechanika plynů (70)mechanika tuhého tělesa (141)molekulová fyzika (41)geometrická optika (56)vlnová optika (35)ostatní (102)relativistická fyzika (25)statistická fyzika (20)termodynamika (90)vlnění (31)

(10 bodů)1. Série 32. Ročníku - P. strašná zima

Některé mlhoviny tvořené plynem z hvězd, např. Bumerang, mají nižší teplotu než reliktní záření, tedy vlastně jsou chladnější než vesmír. Jak je to možné? Pokuste se stanovit podmínku na to, aby se plyn vyvrhovaný horkou hvězdou ochladil na teplotu nižší, než je reliktní záření.

(9 bodů)4. Série 31. Ročníku - P. Voyager II a Voyager I žijí!

Máme nějaký satelit, který chceme vypustit ven ze Sluneční soustavy. Vypouštíme ho z oběžné dráhy Země tak, že po nějakých korekcích dráhy získá rychlost, která je vyšší než úniková rychlost ze Sluneční soustavy. Jaká je pravděpodobnost, že dojde ke kolizi sondy s nějakým kosmickým materiálem s průměrem větším než $d = 1 \mathrm{m}$ před opuštěním Sluneční soustavy?

Karel si říkal, proč ta NASA tuhle možnost ani neuvažuje…

(3 body)2. Série 31. Ročníku - 2. irradiace solární elektrárny

Solární konstanta, či správněji solární irradiace, je tok energie přicházející ze Slunce ve vzdálenosti Země od Slunce. Nejde o konstantu, ale uvažujme, že má hodnotu $P = 1\,370\,\mathrm{W\cdot m^{-2}}$. Uvažujme, že Země obíhá Slunce po kružnici a sklon zemské osy vůči kolmici k její oběžné rovině je $23{,}5\mathrm{\dg}$. Jaký bude maximální výkon zachycený solárním panelem o ploše $S= 1\,\mathrm{m^2}$ o letním a zimním slunovratu, pokud panel leží na rovném povrchu Země v Praze? Uvažujte, že ani atmosféra ani budovy nijak neovlivní měření.

Karel si pustil Crash Course Astronomy.

(6 bodů)2. Série 31. Ročníku - 3. pozorovací

Jakou část povrchu kulové planety není možné vidět ze stacionární oběžné dráhy planety (taková dráha, že se obíhající objekt nachází stále nad stejným bodem na planetě), která má hustotu $\rho $ a periodu rotace $T$?

Filip prechádzal nevidené úlohy z náboja.

(6 bodů)2. Série 31. Ročníku - 4. jaderný odpad nikdy více

Představme si, že máme něco (například jaderný odpad) a chceme se toho zbavit. Těleso dostaneme na oběžnou dráhu Slunce shodnou s oběžnou dráhou Země, ale dostatečně daleko od Země, abychom mohli gravitační působení Země nadále zanedbávat. Otázka je, jaký způsob zbavení se inkriminovaného předmětu by nás stál kolik energie a který postup by byl tedy nejvýhodnější. Varianty jsou

  • Hodit to do Slunce. Stačí, aby se to dostalo na sluneční povrch a bude to dostatečně usmažené.
  • Převést to na kruhovou dráhu v Hlavním pásu (pás planetek mezi Marsem a Jupiterem).
  • Vyhodit to zcela ze Sluneční soustavy.

Karel přemýšlel nad tím, co je vlastně SEO a narazil na úlohu.

(7 bodů)1. Série 31. Ročníku - 5. planetární osidlování

Nejspíše jste již někdy přemýšleli o tom, jestli neexistují nějaké mimozemské civilizace. Zpravidla čím větší hvězda je, tím větší má zářivý výkon a tím kratší má také svůj život. Zaměřme se nyní na to, že máme dvě hvězdy, z nichž jedna má dvojnásobný zářivý výkon co druhá. Pokud je pásmo, ve kterém je možný život, dáno teplotou, na které by se ustálilo dokonale černé těleso, a určitými dvěma teplotami (stejné pro jakoukoliv soustavu), kolem které hvězdy je širší pásmo, ve kterém by mohla být planeta se životem? Kolikrát bude větší oproti druhé hvězdě?

Karel často prokrastinuje na Youtube.

(12 bodů)0. Série 31. Ročníku - E. změř si svojí vlnu!

Poštou jsme vám poslali dva provázky a LED diodu. Najděte doma dvě zrcátka a změřte gravitační vlny.

Nápověda: Použijte osciloskop.

(9 bodů)6. Série 30. Ročníku - P. vypařující se asteroid

Umístíme hodně velký kus ledu, dejme tomu o průměru $1\; \mathrm{km}$, do blízkosti hvězdy podobné Slunci na kruhovou dráhu. Blízkost je tak velká, že rovnovážná teplota černého tělesa by v této vzdálenosti byla zhruba $30\; \mathrm{°C}$. Co se bude dít s takovým asteroidem a jeho drahou? Asteroid nemá vázanou rotaci.

Karel má rád astrofyziku, a tak zase něco navrhuje.

(3 body)2. Série 30. Ročníku - 1. rande na pláži

Představte si, že vezmete svou přítelkyni/svého přítele na večerní rande na pláž a sledujete západ slunce nad vzdálenou hladinou moře. Protože chcete prodloužit romantickou chvilku, vezmete si s sebou vysokozdvižný vozík, který se, jakmile slunce začne zapadat za obzor, začne rovnoměrným pohybem zvedat vzhůru, abyste stále viděli slunce dotýkající se horizontu. Jakou rychlostí se musí vozík pohybovat?

Dominika vzpomínala na Itálii.

(5 bodů)3. Série 29. Ročníku - P. Lukášova díra

Lukáš posiloval a povedlo se mu vyrobit černou díru o hmotnosti $1\; \mathrm{kg}$. Protože nemá úplně v lásce kvantovou teorii pole na křivém pozadí, tak jeho díra nic nevyzařuje. Lukáš tuto díru upustí a ona začne kmitat uvnitř Země. Zkuste odhadnout, za jak dlouho se hmotnost díry zdvojnásobí. Je nebezpečné si doma pokoutně vyrábět černé díry?

Lukáš chtěl zničit Zemi, ale moc se mu to nepovedlo.

(4 body)1. Série 29. Ročníku - 4. čočka smrti

Představte si, že kolem Slunce obíhá po kruhové dráze spojná čočka o průměru rovném slunečnímu průměru, jejíž ohnisko obíhá s dostatečnou přesností po oběžné dráze Země. Určete, jak moc čočka Zemi sežehne během jednoho svého oběhu (tj. kolik jí předá sluneční energie), bude-li obíhat kolem Slunce ve vzdálenosti Merkuru, a porovnejte tento výsledek se stavem, kdy bude obíhat ve vzdálenosti Venuše.

Bonus: Uvažujte navíc zatmění, které čočka při oběhu způsobí.

Mirek chtěl použít čočku k fokusaci paprsků ze Slunce během zatmění.

1. Série 22. Ročníku - P. Mikuláš vs. Klaudios

figure

Představa geocentrického systému

Rok 2009 je vyhlášen jako Mezinárodní rok astronomie a připomíná 400 let používání dalekohledů lidstvem. Vraťme se o čtyři staletí zpět, kdy byl dalekohled již k dispozici, ale klasická fyzika ještě v plenkách. V otázce uspořádání světa spolu soupeřily Koperníkův heliocentrický názor a Ptolemaiův geocentrický systém. Navrhněte experiment, resp. pozorování, které mezi oběma představami dokáže rozhodnout. Dostatečně okomentujte, jaký výsledek lze očekávat a co z něj plyne v prospěch či neprospěch uvažovaných uspořádání. Vlastní pozorování není nutné, i když vhodné. Navíc vysvětlete, proč jsou v geocentrickém modelu Slunce a Země spojeny úsečkou?

Významný důkaz chtěl připomenout Pavel Brom.

5. Série 21. Ročníku - 4. sluneční konzerva

Ráma cestuje mezi hvězdami tak, že polovinu času rovnoměrně zrychluje a polovinu času rovnoměrně zpomaluje. Právě se pohybuje kolem Slunce po parabole s vrcholem na orbitě Země. Energii získává ze slunečního záření (žádný reaktor nebo obří baterie jsi na něm neobjevil) a jeho povrch absorbuje 80 % dopadající energie. Nasbírá při průletu sluneční soustavou dostatečnou energii, aby se dostal k Siriu, který je vzdálen 12 světelných let, za 24 let?

Nadhodil Jakub Benda

5. Série 21. Ročníku - S. posloupnosti, horká dutina a bílý trpaslík

 

  • Odvoďte Taylorův rozvoj exponenciály a pro $x=1$ graficky znázorněte posloupnost částečných součtů řady $\sum_{k=1}^{∞}1⁄k!$ spolu s posloupností ${ ( 1 - 1 ⁄ n)^{n}}_{n=1,2,\ldots}$.

Stejným způsobem porovnejte posloupnost ${ ( 1 - 1 ⁄ n)^{n}}_{n=1,2,\ldots}$ a posloupnost částečných součtů řady $\sum_{k=1}^{∞}x^{k}⁄k!$, čili posloupnost ${\sum_{k=1}^{n}x^{k}⁄k!}_{n=1,2,\ldots}$, tentokráte však pro $x=-1$.

  • Druhý úkol bude určit závislost koncentrace elektronů a pozitronů na teplotě při celkovém náboji $Q=0$ v prázdné uzavřené horké dutině.

(Bude-li se vám chtít, i při jiných vámi zvolených hodnotách $Q.)$ Dále určete závislost poměru vnitřní energie $U_{e}$ elektronů a pozitronů ku celkové vnitřní energii systému $U$ (tj. součtu energie elektromagnetického záření a částic) na teplotě a určit hodnoty teploty odpovídající některým význačným hodnotám tohoto poměru (např. 3 ⁄ 4, 1 ⁄ 2, 1 ⁄ 4, …; může tento poměr nabývat všech těchto hodnot?).

Pokuste se své výsledky pěkně graficky zpracovat ve formě grafů (můžete zkusit i trojrozměrné).

Při vašem snažení vám může hodně pomoci, pokud si zavedete vhodné bezrozměrné jednotky (např. $βE_{0}$ místo $β$ apod.).

  • Řešte soustavu diferenciálních rovnic pro $M(r)$ a $ρ(r)$ v modelu bílého trpaslíka pro několik vhodně zvolených hodnot $ρ(0)$

a pro každou z nich sledujte hodnotu, ke které se blíží $M(r)$ při $r→∞$. Ta je zřejmě rovna hmotnosti celé hvězdy. Pokuste se prozkoumat závislost této celkové hmotnosti na $ρ(0)$ a odhadnout její horní mez. Srovnejte váš výsledek s horní mezí hmotnosti bílého trpaslíka, kterou najdete v literatuře nebo na internetu. Uvažujte, že je hvězda tvořena héliem.

Zadali autoři seriálu Marek Pechal a Lukáš Stříteský.

3. Série 21. Ročníku - 2. výtah až do nebe

Určete, jaké fyzikální vlastnosti musí mít materiál závěsného lana výtahu, který spojuje povrch Země a oběžnou geostacionární dráhu. Je vůbec takový materiál na Zemi dostupný?

Zadal Aleč Podolník.

3. Série 21. Ročníku - E. zkoumáme pohyb Slunce

Změřte co nejpřesněji výšku Slunce nad obzorem v pravé poledne a dobu od východu středu slunečního disku do jeho západu. Odvážlivci se mohou pokusit vypočítat teoretickou délku dne a hodnoty srovnat a okomentovat případný nesoulad.

Experimentální úlohu navrhl Pavel Brom.

1. Série 21. Ročníku - 3. vážíme si Slunce

Navrhněte několik metod ke stanovení (odhadu) hmotnosti Slunce, dostatečně je vysvětlete a vypočtěte podle nich hmotnost naší nejbližší hvězdy.

K zahřátí mozků do nového ročníku FYKOSu zadal Pavel Brom.

6. Série 20. Ročníku - 4. zákrytová dvojhvězda

Magnituda jisté zákrytové dvojhvězdy se mění se čtyřdenní periodou v této posloupnosti:

vedlejší minimum $m = 3,5$ ,

maximum $m = 3,3$ ,

hlavní minimum $m = 4,2$ ,

maximum $m = 3,3$ .

Větší složka této dvojhvězdy má také vyšší teplotu než její průvodce. Za předpokladu, že Země leží v oběžné rovině dvojhvězdy, vypočítejte magnitudy jednotlivých složek a poměr jejich délkových rozměrů. Převodní vztah mezi magnitudou $m$ hvězdy a osvětlením $E$, které způsobuje, je

$m=-2,5\log(E⁄E_{0})$,

kde $E_{0}$ je pevně definovaná hodnota.

Nepoužitá úloha z archivu.

3. Série 20. Ročníku - 3. vzdálenost vizuální dvojhvězdy

Z redukovaných hvězdných spekter složek dvojhvězdy (podle přítomných spektrálních čar, z nichž žádná v tomto případě nemění svou polohu v čase) jsme určili spektrální třídy obou hvězd a následně odhadli jejich hmotnosti na 2 a 3 hmotnosti Slunce. Z pozorování dalekohledem s ohniskovou vzdáleností 3 m víme, že složky skutečně obíhají v neměnné vzdálenosti 5 úhlových minut od sebe jednou za 50 let.

Dokážete z těchto informací určit vzdálenost dvojhvězdy od Slunce? Pokud ano, uveďte, jak jste jednotlivé informace použili, anebo nepoužili, a výsledek vhodně zaokrouhlete. Také okomentujte, jaký vliv na něj má nepřesná znalost údajů, zejména hmotností.

Při astronomickém pozorování vymyslel Pavel Brom.

2. Série 20. Ročníku - 4. jak je daleko Slunce?

Vraťte se zpátky do 18. století do doby, kdy ještě nebyla známa konstanta v Newtonově gravitačním zákoně ani vzdálenost Země od Slunce či jiných planet. V té době Edmond Halley (astronom, který poznal, že kometa pozorovaná v roce 1682 je stejná jako ta v letech 1456, 1531 a 1607) navrhl určit vzdálenost Slunce od Země proměřením přechodu planety Venuše přes sluneční kotouč. Přechody Venuše se bohužel odehrávají nepravidelně. Přicházejí v párech po osmi letech, ale potom k nim nedochází sto let i déle a za Halleyho života nedošlo k žádnému.

Myšlenka nezapadla, doutnala, a když se blížil další přechod v roce 1761, vědecký svět byl připraven. Vědci se vydali do sta míst na světě (mj. na Sibiř, do Číny, Jižní Afriky, Indonésie). Byl to první vědecký podnik v historii založený na mezinárodní spolupráci.

Po návratu měřičů se dospělo k závěru, že měření přechodu bylo v podstatě nezdarem. Ironií je, že jedním z problémů byl příliš velký počet pozorování, která se často ukázala jako protikladná. Úspěšné měření Venušina přechodu naopak uskutečnil kapitán James Cook v roce 1769 z jednoho slunného vrchu na Tahiti. Po jeho návratu měli astronomové dostatek informací, aby vypočítali, že průměrná vzdálenost ze Země ke Slunci činí zhruba 150 miliónů kilometrů.

Na vás je, abyste tak jako Edmond Halley vymysleli, jak lze z měření přechodu Venuše určit vzdálenost Země od Slunce. Samozřejmě neznáte jiná než tehdejší data: poloměr Země a dobu oběhu Země a Venuše kolem Slunce z astronomických pozorování.

Úloha napadla Honzu Prachaře při čtení knížky Stručná historie téměř všeho.

3. Série 17. Ročníku - E. Země je kulatá

Určete, na které rovnoběžce se nachází vaše bydliště. Navrhněte co nejvíce metod a alespoň dvě realizujte.

Vymyslel Honza Prachař při úvahách o kulatosti Země.

5. Série 16. Ročníku - 2. Apollo

Odhadněte, za jak dlouho se Apollo dostane na orbitu Měsíce, neplýtvá-li zbytečně palivem. Nezapomeňte uvést, jaké zjednodušující předpoklady jste při výpočtu provedli.

4. Série 16. Ročníku - 2. galaktický paradox

Ve sluneční soustavě se planety, které jsou ke Slunci blíže, pohybují rychleji než planety vzdálenější. V Galaxii se hvězdy blíže středu pohybují pomaleji než hvězdy vzdálenější. Zdůvodněte tento zdánlivý rozpor.

2. Série 15. Ročníku - S. paradoxy

 

  • Působením rychlých částic kosmického záření vznikají vysoko v atmosféře částice zvané mezony $\mu$. Tyto částice žijí po dobu $\tau = 2.10^{-6}$ s a pak se rozpadají na jiné částice. Typická rychlost vzniklých mezonů $\mu;$ je $v = 0,998\,\jd{c}$. Mezony $\mu$ tudíž urazí vzdálenost $v\tau = 600 \,\jd{m}$. Jak je tedy možné, že jsou detekovány na zemském povrchu, když vznikají ve výškách větších než $6 \,\jd{km}$? Tento paradox vysvětlete jak z hlediska soustavy spojené se zemským povrchem tak z hlediska soustavy spojené s mezonem $\mu$.
  • Mějme raketu, která odstartuje ze Země k jedné vzdálené hvězdě. Po dosažení hvězdy se opět vrátí zpět na Zemi. Na své cestě se raketa pohybuje konstantní rychlostí $v$ blízkou rychlosti světla.

Užitím diletace času dostaneme, že z hlediska pozorovatele na Zemi půjdou pomaleji hodiny na raketě. Podle pozorovatele na raketě však půjdou pomaleji hodiny na Zemi. Tento paradox se nazývá paradoxem dvojčat (hodiny na raketě a na Zemi lze nahradit dvojčaty). Užitím Lorentzovy transformace ukažte, že ve skutečnosti oba pozorovatelé dojdou ke stejnému závěru. Určete, ve kterém případě je diletace času užita chybně, a vysvětlete proč.

  • V mnohých knihách naleznete následující vysvětlení paradoxu dvojčat: Raketa není inerciální soustavou, neboť se alespoň

v některých fázích letu musí pohybovat se zrychlením, a proto nelze užít STR. Přeformulujte tedy paradox dvojčat tak, aby se vše odehrávalo v inerciálních systémech. (Nápověda: K přenosu informace lze užít například elektromagnetický signál).

Zadal autor seriálu Karel Kolář.

4. Série 13. Ročníku - 4. a zase to zatmění!

Vaším úkolem je spočítat maximální možnou šířku pásu úplného i částečného zatmění Slunce. Je úplné zatmění pozorovatelné vždy, když se Měsíc dostane na spojnici Slunce a Země? Pro jednoduchost uvažujte, že se všechna tři tělesa pohybují v téže rovině (ekliptice). K výpočtu použijte následujících dat:

  • vzdálenost Země od Slunce $r_{Z}$ kolísá mezi $147 093 860 \,\jd{km}$ a $152 101 870 \,\jd{km}$
  • vzdálenost Měsíce od Země $r_{M}$ kolísá mezi $356 410 \,\jd{km}$ a $406 740 \,\jd{km}$
  • poloměr Slunce je $R_{S}= 695 990 \,\jd{km}$
  • poloměr Země je $R_{Z}= 6 378\,\jd{km}$
  • poloměr Měsíce je $R_{M}= 1 738\,\jd{km}$

2. Série 13. Ročníku - P. takové malé zatmění

Vezmeme-li astronomické ročenky za posledních $100$ let, zjistíme, že slunečních zatmění je přibližně $1,5$krát více než zatmění měsíčních. Zkuste přijít na to, proč je tomu tak.

4. Série 12. Ročníku - 2. družice

Špionážní družice létá okolo nepřátelské planety po kruhové dráze v rovníkové rovině. Doba jednoho oběhu je $T$, planeta má hustotu $ρ$. Na jak velké části povrchu planety může družice provádět špionáž?

4. Série 12. Ročníku - 4. zima a léto

Spočtěte, o kolik procent se bude lišit teplota na Zemi v periheliu, kdy je Země od Slunce vzdálena $r$, od teploty v aféliu, kdy je vzdálenost Země–Slunce $r(1+ε)$ nepatrně větší. Předpokládejte, že Země je dokonale černé těleso a v každém okamžiku je v rovnováze s okolím. Celkový vyzářený výkon je úměrný $σT^{4}$.

3. Série 12. Ročníku - 3. hmotnost

Spočtěte co nejpřesněji, jakou hmotnost má zemská atmosféra.

3. Série 12. Ročníku - 4. drtivý dopad

Z „nekonečné“ vzdálenosti se k Zemi blíží meteorit počáteční rychlostí $v_{0}$. Vzdálenost meteoritu od přímky, která je rovnoběžná s vektorem rychlosti $v_{0}$ a prochází středem Země, je na začátku rovna $a$. Určete, jaký vztah musí platit mezi $v_{0}$ a $a$, aby meteorit nezasáhl Zemi.

3. Série 12. Ročníku - P. západ slunce

Máme $1\,\jd{ m}$ dlouhou tyč, zapíchnutou kolmo do země. Jak dlouhý stín bude mít tyč $2\,\jd{ h}$ před západem slunce? Určete, jak se bude lišit výsledek pro různé zeměpisné šířky a různá roční období.

3. Série 12. Ročníku - S. plachetnice a světlo

 

  • Jaké zrychlení bude mít sluneční plachetnice o hmotnosti $m=10\,\jd{t}$ a velikosti plachet $S = 1000\,\jd{ m^{2}}$ nedaleko Země, kde je světelný výkon Slunce (solární konstanta) $k=1330\,\jd{W \cdot m^{-2}}$? Za jak dlouho by taková plachetnice dorazila od dráhy Země k dráze Marsu, pokud bychom ji vypustili s nulovou rychlostí? Předpokládejte, že velikost solární konstanty je v prostoru mezi Zemí a Marsem konstantní, zanedbejte gravitační vlivy všech těles. Poloměr dráhy Země je $1\,\jd{ AU}$, poloměr dráhy Marsu je $1,523\,\jd{ AU}$. $\jd{AU}$ je astronomická jednotka a její velikost je $1\,\jd{ AU}=1,495 978 70 \cdot 10^{11} \jd{m}$.

Velikost solární konstanty samozřejmě závisí na vzdálenosti od Slunce. Jaká je její velikost na Marsu?

  • Vysvětlete proč je výhodnější vyrábět plachty sluneční plachetnice z materiálu, který má blízko k zrcadlovému lesku, než z matného materiálu.
  • Jaká je intenzita elektrického pole (ve $\jd{V\cdot m^{-1}}$) v laserovém svazku s intenzitou $150\,\jd{ kW\cdot cm^{2}}$? Jak velká by musela být intenzita svazku, aby docházelo k ionizaci vzduchu?
  • Jak by se musel upravit argument funkce kosinus, aby vztah

$$\textbf{E}(\textbf{r},t) = \textbf{E}_{0} \cos(ωt – k r + φ)$$

nepředstavoval rovinnou, ale kulovou vlnu. Kulová vlna je vlna, šířící se z bodového zdroje, asi jako když hodíte kámen do rybníka. Roviny konstantní fáze u kulové vlny jsou soustředné koule se středem ve zdroji.

4. Série 10. Ročníku - 1. sever

Je to už dávno, co jsme my, organizátoři, chodili na své základní školy. Nicméně si všichni dobře pamatujeme, že jsme se učili, jak pomocí ručičkových hodinek a polohy Slunce na obloze přibližně stanovit sever. Po vás bychom chtěli, abyste nám vysvětlili, jak to funguje, proč to funguje a s jakou přesností (přibližně).

3. Série 10. Ročníku - S. Venuše

Spočtěte ekliptikální a rovníkové souřadnice Venuše pro 24. 8. 1988 v $0^{h}UT$ (světový čas). Pro tento den určete vzdálenost Venuše od Země a máte-li doma nějakou hvězdnou mapu, určete také souhvězdí, ve kterém se Venuše nachází. Elementy drah Venuše a Země jsou:

$a_{V}=0,72333\; \textrm{AU}$ $e_{V}=0,00679$ $i_{V}=3,3949^{o}$ $\Omega_{V}=76,7112^{o}$ $\omega_{V}=55,0804^{o}$
$a_{Z}=1,00000\; \textrm{AU}$ $e_{Z}=0,01673$ $i_{Z}=0,0014^{o}$ $\Omega_{Z}=352,2647^{o}$ $\omega_{Z}=110,6756^{o}$

Oběžná doba Země kolem Slunce je $T_{Z} = 365,2571\; \textrm{dne}$. Údaj o okamžiku průchodu planet periheliem je nahrazen zadáním středních anomálií Venuše $M_{0}^{V}$ a Země $M_{0}^{Z}$ pro 18. 7. 1988 v $0^{h} UT$:

$$M_{0}^{V}=186,0712^{o}$$ $$M_{0}^{Z}=193,2434^{o}$$

Při řešení nepoužívejte žádné vztahy vyčtené z knih o astronomii.

2. Série 10. Ročníku - S. oběžná dráha Země kolem Slunce

figure
figure

Určete pravou anomálii a vzdálenost Země od Slunce po $1/4$ oběžné doby Země kolem Slunce od průchodu Země periheliem. Velká poloosa je $a=1\;\mathrm{AU}$ a excentricita $e=0,0167$.

1. Série 10. Ročníku - S. hvězdná velikost

figure

Na procvičení pojmu hvězdné velikosti si vyřešte tyto úlohy:

  • Jaká je absolutní magnituda Slunce $M$, je-li jeho zdánlivá magnituda $m=-26,74$?
  • Složky dvojhvězdy Castor v souhvězdí Blíženců jsou v dalekohledu jasné $m_{A}=2,0$ a $m_{B}=2,9$. Neozbrojené lidské oko však tyto hvězdy nerozliší. Jak jasná se jeví tato dvojhvězda při pozorovaní pouhým okem?
  • V jaké poloze na své dráze se jeví Venuše ze Země nejjasnější? Předpokládejte, že Venuše obíhá kolem Slunce přibližně po kružnici s poloměrem $r=0,7233\;\mathrm{AU}$ a že jasnost v celé viditelné a osvětlené části povrchu Venuše je konstantní. U těch, co neumějí derivovat, se spokojíme s numerickou hodnotou vzdálenosti Venuše od Země; nakreslete si graf závislosti jasnosti Venuše na vzdálenosti a odečtete z něj polohu největší jasnosti.
  • Pokuste se odhadnout jasnost Venuše v poloze, kdy je na obloze od Slunce úhlově nejdál. Albedo Venuše (tj. poměr odražené ku dopadající intenzitě záření) je $0,76$ a její poloměr $R_{V}=6052\;\mathrm{km}$. Předpokládejte, že záření odražené od Venuše se rovnoměrně rozptýlí do celého poloprostoru a že jasnost každého světlého místa viditelného povrchu bude, jako by Slunce bylo právě nad ním.
  • Určete, v jaké největší a nejmenší výšce nad obzorem se v naší zeměpisné šířce nachazí Slunce během roku. Rovina ekliptiky s rovinou zemského rovníku svírá úhel $23,5$ stupňů.

6. Série 8. Ročníku - 1. Jupiter a kometa

figure

Trajektorie planety

Kometární rodina Jupiteru vzniká následujícím způsobem (viz. obrázek). Kometa přilétá k Jupiteru z velké vzdálenosti s téměř nulovou počáteční rychlostí. Po opuštění Jupiterova gravitačního pole (přesně sféry gravitačního vlivu Jupitera), má její rychlost (vzhledem ke Slunci) přesně opačný směr než rychlost Jupitera. Poté se pohybuje opět v gravitačním poli Slunce. V jaké vzdálenosti od něj se bude nacházet perihelium dráhy komety a jaká je její oběžná doba (jaká je velikost velké poloosy dráhy komety)? Uvažujte, že Jupiter obíhá kolem Slunce po kružnici o poloměru $R=5,2\;\mathrm{AU}$.

5. Série 8. Ročníku - 1. vesmírná katastrofa

Tři planetky o stejné hmotnosti $M=10^{26}\; \textrm{g}$ jsou umístěny ve vrcholech rovnostranného trojúhelníka o straně $l=100\; \textrm{Gm}$ [gigametry]. Nemajíce počáteční rychlosti nezbývá jim než padat vstříc jisté záhubě. Určete, za jak dlouho se srazí (rozměry planetek zanedbejte).

2. Série 8. Ročníku - 1. přistání kosmické sondy

figure

Graf závislosti

Přistávací modul kosmické lodi se přibližuje k povrchu planety s konstantní rychlostí, přičemž předává na kosmickou loď údaje o tlaku atmosféry. Graf závislosti tlaku na čase je na obrázku. Při přistání na povrchu planety modul naměřil teplotu $T=700\; \textrm{K}$ a tíhové zrychlení $g=10\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-2}$. Určete rychlost $v$, kterou modul přistává, když se atmosféra skládá z oxidu uhličitého. Určete teplotu $T_{h}$ ve výšce $h=12\;\mathrm{km}$ nad povrchem planety.

5. Série 7. Ročníku - P. Sluneční soustava

S nevelkou přesností pozorování (za Ptolemaia byla asi 0,5°) určil už Hipparchos vzdálenost Slunce a Měsíce, a to překvapivě dobře (59 zemských poloměrů, 134 600 000 km). Zkuste nalézt postup, jak to provedl, a odhadněte, jaká je asi chyba výsledku získaného s tehdejšími prostředky.

V šestnáctém století, stále ještě bez jakékoli optiky, se pozorovací metody značně zdokonalily (Tycho Brahe měřil s přesností na 2' ). Vymyslete, jak mohl středověký astronom určit poměry poloos drah planet vůči vzdálenosti Země od Slunce a jejich oběžné doby.

Na sféře stálic, mimo okruhy planet, se však stále jevilo nebe neměnné. Jak přesně by musel pozorovatel měřit polohy hvězd, aby zjistil jejich posuny vůči sobě, ať už skutečné nebo zdánlivé?

3. Série 7. Ročníku - P. Galileo Galilei

Usoudili jsme, že v poklidné vánoční době vás raději ušetříme přílišného počítání a naopak vyzkoušíme vaše schopnosti fyzikální argumentace bez pomoci vzorců. Za tímto účelem se tedy přenesme téměř o čtyři století zpět, do doby, kdy na univerzitě v Pise a později v Padově působil muž jménem Galileo Galilei. Nebude snad na škodu, když zde trochu přiblížíme jeho tehdejší práci a názory. Zdejší profesura ho neuspokojovala o nic více než předchozí studium, nevyhovoval mu jediný tehdy uznávaný výklad principů přírodních dějů pocházející od Aristotela. Sám se zabýval zkoumáním konkrétních vlastností hmoty, a to jak pevných těles (pevnost), tak kapalin a plynů (tlak, vakuum). Největší význam pro další rozvoj fyzikálního poznání mělo jeho studium jednoduchých mechanických systémů, kdy opustil pole statiky, zpracované již Archimedem, a pustil se do zkoumání jejich pohybových vlastností, čímž položil základy dynamiky (od něj pochází i naše pojetí pojmu setrvačnost a zrychlení). Ovšem nemenší význam měly jeho objevy učiněné na nebi, kterých dosáhl díky své vlastní zdokonalené verzi tzv. holandského dalekohledu. Počátkem 17. století je shrnul do díla nazvaného Hvězdný posel, které však bylo pro svůj kritický pohled z mnoha stran ostře napadáno. V roce 1616 pak musel sám pod pohrůžkou uvěznění upustit od svých „bludných názorů“, ve kterých se stále více blížil Koperníkovu modelu vesmírných pohybů. O osm let později, kdy nastoupil nový papež, se opět pustil do boje s nesmiřitelnou inkvizicí a vydal Dialog o obou největších soustavách světových, ve kterém obhajoval Kopernikovu představu proti všem možným argumentům opozičního tábora. Dílo podávalo daný problém tak dovedně, že po úpravách došlo i papežskému schválení.

Po vás chceme, aby jste se zamysleli se nad tím, jakých argumentů mohl při obhajobě heliocentrického názoru použíti. Uvažte dříve známé i nově objevené skutečnosti, kterými mohl Galileo svou pravdu potvrdit. Mějte na paměti, že jeho oponenty byli většinou lidé bez vědeckého vzdělání, jakož i že zakladatel matematického popisu fyzikální reality, Isaac Newton, se narodil až několik let po Galileově smrti.

3. Série 2. Ročníku - S. zeměměřiči podruhé

figure

  • Vraťme se opět do Severního království. V řešení příkladu I.S jste velkým zeměměřičům správně poradili převodní vzorce

$$x′=x\cos φ-yk\sin φ\; (1)$$ $$y′=kx\sin φ+y\cos φ\; (2)$$

kde $k$ je poměr metr ku severské míli a $φ$ úhel mezi magnetickým pólem a Severkou. Zeměřičům se však tento výsledek moc nelíbil, a to hned ze dvou důvodů – za prvé se v nich proti všem tradicím převádí severská míle na metr, s čímž se ale budou muset vyrovnat sami, ale hlavně za druhé neměří v Severním královstní odchylku mezi oběma používanými severními směry pomocí úhlu, ale pomocí tzv. odklonu $u$. Odklon osy $y′$ od osy $y$ je definován jako $u=x/y$, kde $x$ a $y$ jsou souřadnice bodu, který leží ve směru Severky, tj. osy $y$. Ukažte, že odklon $u$ nezávisí na tom, který bod na ose $y′$ v definici zvolíme, že odklon osy $y$ od $y′$ je $u$ a vyjádřete převodní vztahy (1) a (2) v závislosti na odklonu místo na úhlu.

  • Zeměměřiči při porovnání svých výsledků zjistili zajímavou věc. Většina údajů se vlivem používání odlišných severních směrů liší, ale jeden údaj, který získávají podle vzorce $Δx+(kΔy)$, resp. $Δx′+(kΔy′)$, vychází oběma zeměměřičům stejně. Je to náhoda? Pokud ne, tak to dokažte a odůvodněte proč.

1. Série 2. Ročníku - 2. Ptolemaios a Koperník

Vraťme se ke středověkému sporu. Roku 1543 ve svém díle De Revolutionibus orbium coelestium Mikuláš Koperník předkládá svůj heliocentrický výklad světa, kterým popírá zažitou geocentrickou představu zformulovanou nejjasněji Ptolemaiem v díle Megalé Syntaxis v 2. století n. l. Umožněme myšlenkově oběma astronomům setkání, na kterém by mohli obhajovat svůj názor.

Koperník: „V mém výkladu je Slunce nepohyblivé a kolem něj se pohybují všechny planety včetně Země po kruhových drahách, což je mnohem jednodušší než popis pohybu planet v geocentrické představě.“ (Eliptické dráhy přinesl až o 60 let později Kepler.)

Co na to Ptolemaios? Kdyby byl hodně chytrý, odpověděl by třeba toto: „Tvůj názor je odvážný, mladíku, (Koperník byl o 1400 let mladší), ale myslím, že nepřináší nic nového, jenom zmatek v ustálených představách. I kdyby podle Tebe Země obíhala kolem Slunce, když se postavíme na Zemi, což stále děláme, uvidíme, že Slunce se pohybuje relativně vůči Zemi a to po kružnici. Pohyb je relativní!“ (Vskutku, pokud se nám pohyb jednoho tělesa z druhého zdá kruhový, tak opačně z prvního se pohyb druhého bude zdát opět kruhový – ověřte si to.) „Zapomeňme třeba na ostatní planety a mějme jen Slunce a Zemi. Můžeš i pak tvrdit, že Země obíhá kolem Slunce a ne naopak?“

Koperník: „Ano, i pak. Slunce stojí vůči stálicím, vůči hvězdám, a Země ne.“

Ptolemaios: „A proč by se stálice také nemohly pohybovat kolem Země? Copak Země středem vesmíru není lákavá myšlenka?“

Vidíme, že pan Koperník se dostává do úzkých. Vždyť Ptolemaios argumentuje tak revolučními a přitažlivými myšlenkami, jako že pohyb je relativní. My bychom se však přiklonili spíš ke Koperníkovi. Máme proti němu ale výhodu – víme, s čím přišel o necelých 150 let později pan Newton. Přizvěme ho k debatě. Jakými slovy vyřeší spor obou astronomů a přesvědčí Ptolemaia, zatím ale neřekneme. Co byste na místě Newtona řekli vy?

1. Série 2. Ročníku - E. sluneční čas

Jak víme, celý povrch Země je rozdělen na 24 hlavních časových pásem po 15 stupních zeměpisné délky. Na celém území naší republiky se řídíme středoevropským časem příslušejícím 15. stupni východní délky, resp. letním časem posunutým o 1 hodinu. Dále lze zavést tzv. sluneční čas, jehož poledne (12 hodin) je v okamžiku, kdy je na dané zeměpisné délce slunce nejvýše. Navrhněte metodu měření a změřte rozdíl mezi letním středoevropským časem a slunečním časem ve vaší zeměpisné délce. Výsledek porovnejte s výpočtem.

1. Série 2. Ročníku - S. zeměměřiči

figure

Za devatero horami v Severním království pod vládou moudrého krále žijí dva národy – denní a noční lidé. Pro potřeby obou národů zde pracují dva velcí zeměměřiči. Denní zeměměřič měří vzdálenosti k východu od středu náměstí hlavního města v metrech (označme $x$) a vzdálenosti v severním směru, který je zde považován za posvátný, měří v severských mílích ($y$). Sever určuje podle magnetky kompasu. Noční zeměměřič určuje sever podle Polárky a vzdálenosti od středu náměstí k východu opět měří v metrech ($x′$) a k severu v severských mílích ($y′$). Jednoho dne chtěli porovnat své výsledky. Ocitli se však před velkým problémem. Vzhledem k tomu, že směr k Polárce není shodný se směrem k magnetickému pólu, tak se jejich údaje liší.

  • Pomozte jim a odvoďte vztahy mezi údaji $x$, $y$ a $x′$, $y′$.
  • Jak by vztahy mezi $x$, $y$ a $x′$, $y′$ vypadaly, kdyby oba zeměměřiči neměřili vzdálenosti ze stejného místa?

1. Série 1. Ročníku - 2. antiraketa

figure

Model nádoby

Uvažujme nádobu s otvorem dle obrázku. Uniká-li stlačený vzduch z nádoby ven, nádoba se pohybuje. Jde o princip analogický raketovým motorům. Představme si nyní opačnou situaci. Nádobu, v níž bylo vakuum, umístěnou ve vzduchu, který do nádoby proudí malým otvorem. Nádoba se bude pohybovat:

  • doleva
  • doprava
  • nebude se pohybovat
Tato stránka využívá cookies pro analýzu provozu. Používáním stránky souhlasíte s ukládáním těchto cookies na vašem počítači.Více informací

Partneři

Pořadatel

Mediální partner

Partner


Created with <love/> by ©FYKOS – webmaster@fykos.cz