Vyhledávání úloh

astrofyzika (20)biofyzika (2)chemie (2)elektrické pole (8)elektrický proud (16)gravitační pole (13)hydromechanika (20)jaderná fyzika (5)kmitání (15)kvantová fyzika (1)magnetické pole (6)matematika (35)mechanika hmotného bodu (72)mechanika plynů (21)mechanika tuhého tělesa (31)molekulová fyzika (11)geometrická optika (17)vlnová optika (7)ostatní (25)relativistická fyzika (10)statistická fyzika (12)termodynamika (29)vlnění (13)

(10 bodů)6. Série 31. Ročníku - S. Matice a populace

  1. Na základě Lotkova-Volterrova modelu simulujte vývoj populace predátora a kořisti (např. slunéčka sedmitečného a mšice makové) pro následující hodnoty parametrů: $r\_m = 0{,}8$, $D\_m = 1{,}0$, $r\_s = 0{,}75$, $D\_s = 1{,}5$. Počáteční populace volte po dvojicích jako $m = 0{,}5$ a $s = 2{,}0$, $m = 1{,}5$ a $s = 0{,}5$, $m = 1{,}95$ a $s = 0{,}75$. Výsledek zaneste do grafu závislosti populace predátora na populaci kořisti. Výsledky diskutujte.
    Bonus: Nalezněte tvar křivek v grafu pomocí analytických metod (integrací diferenciální rovnice).
  2. Použitím kompetitivního Lotkova-Volterrova modelu simulujte vývoj dvou soupeřících populací s omezenou populační kapacitou (např. káně lesní a poštolka obecná) pro tyto hodnoty parametrů: $r\_k = 0{,}8$, $I\_{kp} = 0{,}2$, $k\_k = 2{,}0$, $r\_p = 0{,}6$, $I\_{pk} = 0{,}3$, $k\_p = 1{,}0$. Počáteční populace volte jako $k = 0{,}01$, $p = 1{,}0$. Poté změňte interakční koeficienty na $I\_{kp} = 1{,}5$ a $I\_{pk} = 0{,}6$, zbytek ponechejte. Výsledky zaneste do jednoho grafu závislosti velikosti populací na čase, diskutujte.

(8 bodů)5. Série 31. Ročníku - 5. záludná kapka

Mějme kulatou kapku o poloměru $r_0$ tvořenou vodou o hustotě $\rho \_v$, která shodou okolností padá v mlze v homogenním tíhovém poli $g$. Uvažujme vhodnou mlhu se speciálními předpoklady. Tvoří ji vzduch o hustotě $\rho \_{vzd}$ a vodní kapičky s průměrnou hustotou $\rho \_r$, když uvážíme, že se rozptýlí zcela rovnoměrně. Jestliže kapka propadne nějakým objemem takové mlhy, vysbírá všechnu vodu, která se v tomto objemu nachází. Na místě zůstane pouze vzduch. Jaká je závislost hmotnosti kapky na vzdálenosti uražené v takovéto mlze?

Bonus: Řešte pohybové rovnice.

Karel chtěl zadat něco, kde se bude měnit hmotnost.

(10 bodů)5. Série 31. Ročníku - S. rostou nám diferenciální rovnice

  1. Řešte problém dvou těles pomocí Verletovy a Rungovy-Kuttovy metody 4. řádu přes několik (mnoho) period. Krok přitom volte tak velký, aby se projevily numerické chyby, a pozorujte, jakým způsobem se chyby v obou případech projevují na tvaru trajektorie.
  2. Řešte pohyb tlumeného lineárního harmonického oscilátoru daného rovnicí $\ddot {x}+2\delta \omega \dot {x}+\omega ^2 x=0$, kde $\omega $ je úhlová frekvence a $\delta $ tlumící člen. Parametry měňte a sledujte změny v chování oscilátoru. Pro jaké hodnoty parametrů se oscilátor utlumí nejrychleji?
  3. Modelujte růst povrchu metodou balistické depozice a studujte statistické chování hrubosti povrchu. Nalezněte mocniny $\alpha $ a $\beta $ popisující růst před saturací a po saturaci (viz seriál). Vyjděte z kódu v seriálu. Volte takový počet kroků, abyste byli schopni dobře studovat oba režimy hrubnutí. Lineární rozměr povrchu volte alespoň $L = 256$. (Upozornění: simulace mohou trvat i několik hodin.)
  4. Simulujte na čtvercové mřížce šíření zhoubného nádoru pomocí Edenova modelu. Uvažujte přitom následující obměnu: s pravděpodobností $p_1$ dojde k nákaze zdravé buňky v kontaktu s nádorovou a s pravděpodobností $p_2$ dojde k uzdravení nakažené. Volte nejprve $p_1 \gg p_2$, pak $p_1 > p_2$ a nakonec $p_1 < p_2$. Na počátku nechť je nakaženo pět buněk do tvaru kříže. Kvalitativně popište, co pozorujete.
  5. Přepište kód ze seriálu pro růst fraktálního krystalu (DLA model) na hexagonální mřížce na růst na čtvercové mřížce a spočtěte dimenzi výsledného fraktálu.

Poznámka: Využít kódy přiložené k seriálu není nutné, ale doporučené.

Algebru už Mirek s Lukášem vypěstovali, nyní mají jiné osivo.

(6 bodů)4. Série 31. Ročníku - 3. divně tvarovaná nádobka

Máme válcovou skleničku, která má zboku u dna malou díru o ploše $S$. Tato nádoba je naplněná vodou, která samovolně přetéká do druhé nádoby, která je tentokrát již bez díry. Jaký tvar by musela mít druhá nádoba, aby v ní hladina rostla rovnoměrně? Předpokládejte, že má být válcově symetrická.

Bonus: Dna obou nádob jsou ve stejné výšce a nádoby jsou dírou spojené.

Karel se díval, jak se nalévá sklenička na rautu.

(7 bodů)4. Série 31. Ročníku - 4. vymyslete si sami

Máme černou skříňku se třemi výstupy (A, B a C). Víme, že obsahuje $n$ rezistorů se stejným odporem, ale nevíme jak jsou zapojeny. Změříme tedy odpory mezi dvojicemi bodů AB, BC a CA a zjistíme, že $R\_{AB} = 3 \mathrm{\Omega }$, $R\_{BC} = 5 \mathrm{\Omega }$ a $R\_{CA} = 6 \mathrm{\Omega }$. Zjistěte, kolik nejméně rezistorů může skříňka obsahovat a určete příslušný odpor jednoho rezistoru.

Matěj to vymyslel velmi rychle.

(10 bodů)4. Série 31. Ročníku - S. Kořeni a automati

  1. Nalezněte všechny (tři) reálné kořeny funkce $\exp (x)-5x^2$. Výběr metody je na vás. Nezapomeňte okomentovat, jak a proč jste zvolili daný postup.
  2. Newtonova metoda tak, jak jsme si ji představili funguje i pro funkce komplexní proměnné. Vaším úkolem je vykreslit tzv. Newtonovy fraktály, tedy oblasti v komplexní rovině takové, že když v nich zvolíme počáteční odhad kořenu pro Newtonovu metodu, tak dokonvergujeme k určitému kořenu. Fraktál vykreslete pro funkce $z^3-1$ a $z^6+z^3-1$, kde $z$ je komplexní číslo. Derivace těchto funkcí jsou $3z^2$, resp. $6z^5+3z^2$. Pro výpočet a vykreslení můžete použít Pythonní kód přiložený k zadání.
    Poznámka: Komplexní derivaci, pokud existuje, lze technicky spočítat stejně, jako reálnou derivaci, tedy pro ni platí stejné vzorce pro derivaci součtu, součinu a složené funkce.
    Bonus: Nalezněte co nejzajímavější nebo nejhezčí Newtonův fraktál.
  3. Simulujte na počítači (nebo napočítejte ručně) elementární buněčný automat s pravidlem 54 na mřížce délky 20 s periodickými podmínkami alespoň na 10 časových kroků (víc určitě neuškodí). Na počátku má jedna buňka hodnotu 1 a zbylé 0, uvažujte periodické podmínky. Výsledek zobrazte v časoprostorovém diagramu.
  4. Simulujte hrubnutí 1D povrchu pomocí modelu náhodné depozice popsaném v seriálu. Povrch má rozměr $L = 100$, na počátku je zcela hladký. Nakreslete graf závislosti hrubosti $W$ na čase pro alespoň $10^8$ kroků (jeden krok $=$ jedna nová částice), výsledek diskutujte.

Lukáš a Mirek se inspirují na přednáškách.

(3 body)3. Série 31. Ročníku - 1. zpomalená

Představme si, že na kameru se snímkovou frekvencí 24 snímků za sekundu (uvažujme časově rovnoměrně rozložené a dokonale ostré snímky) natočíme let vrtulníku s otáčkami hlavního rotoru $2 900 \mathrm {ot./min}$. Následně si záznam přehrajeme. Jaká bude zdánlivá frekvence otáček rotoru na záznamu?

Michal se díval z okna koleje na vrtulník.

(10 bodů)3. Série 31. Ročníku - S. na procházce s integrály

  1. Vymyslete tři odlišné příklady markovovského procesu, z toho alespoň jeden fyzikální. Je procházka bez návratu markovovská? A co procházka bez křížení?
  2. Mějme 2D náhodnou procházku bez návratu na čtvercové síti s počátkem v bodě $(x,y) = (0,0)$, která je omezena absorpčními bariérami $b_1: y = -5$, $b_2: y = 10$. Nalezněte pravděpodobnost, že v bariéře $b_1$ skončíme dříve než v $b_2$.
  3. Proveďte simulaci pohybu brownovské částice ve 2D a vykreslete graf závislosti střední vzdálenosti od počátku na čase. Uvažujeme diskrétní čas a konstantní délku kroku (jeden krok simulace trvá $\Delta t = \textrm{konst.} $, délka kroku je $\Delta l = \textrm{konst.} $) a umožňujeme pohyb do libovolného směru, tj. každý krok je specifikován délkou a úhlem $\theta \in [0,2\pi )$, přičemž všechny směry jsou stejně pravděpodobné. Zajímá nás především asymptotické chování, tedy vývoj střední vzdálenosti pro $t \gg \Delta t$.
  4. Chybová funkce je definována vztahem \[ \mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x \eu^{-t^2}\,\d t\,.\] Tabelujte tuto funkci, tedy vypočtěte integrál pro mnoho různých $x$. Do řešení nevkládejte tabulku hodnot, ale graf funkce. Zkuste tuto funkci opět numericky zderivovat. Co dostanete?
  5. Najděte si definici hustoty pravděpodobnosti Maxwellova-Boltzmannova rozdělení $f(v)$, tedy rozdělení rychlostí molekul ideálního plynu. Spočítejte pak pomocí MC integrace střední hodnotu rychlosti definovanou \[ \langle v\rangle = \int_0^{\infty} v f(v)\,\d v\,, \] přičemž pro vzorkování použijte náhodná čísla dle Maxwellova-Boltzmannova rozdělení získaná Metropolisovým-Hastingsovým algoritmem. Hodnotu pro konkrétní zvolené parametry srovnejte s hodnotou z literatury.

Mirek a Lukáš se náhodně procházejí do školy.

(7 bodů)2. Série 31. Ročníku - 5. skleněný déšť

Dělník si na stavbu mrakodrapu přinesl vak se skleněnkami, aby se s nimi mohl pochlubit svým kolegům. A co se nestane – vak se vysype a kuličky padají skrze lešení směrem k zemi. Lešení se skládá z jednotlivých poschodí o výšce $h$. Podlaha každého poschodí se skládá ze stejných mříží, ve kterých díry zaujímají $k  \%$ z celkové plochy mříže. Uvažujme zjednodušený model propadávání kuliček lešením, kdy, pokud kulička spadne na díru v lešení, tak projde bez ovlivnění, a pokud spadne na pevnou část mříže, tak se její rychlost sníží na $0$ a ihned začne dále padat (tj. velikost kuliček je zanedbatelná vůči velikosti děr v lešení, kuličky se od lešení nijak neodráží a po dopadu na pevnou část mříže se ihned skutálí do díry a dále začínají padat). Nakonec neuvažujme ani potenciální srážky kuliček mezi sebou. Předpokládejte, že kuličky se z tašky sypou s konstantním hmotnostním průtokem $Q$. Jakou silou budou kuličky působit na každé patro lešení, až se situace ustálí?

Mirek chtěl převést Ohmův zákon do mechaniky.

(10 bodů)2. Série 31. Ročníku - P. ó Oganesson

Jaké vlastnosti má 118. prvek periodické soustavy prvků? Respektive jaké by asi měl, kdyby byl stabilní? Diskutujte alespoň tři fyzikální vlastnosti.

Karel chtěl zadat něco na extrapolaci.

(10 bodů)2. Série 31. Ročníku - S. derivace a Monte Carlo integrace

 

  1. Vykreslete závislost chyby na velikosti kroku pro metodu odvozenou pomocí Richardsonovy extrapolace v textu seriálu. Jaký je optimální krok a minimální chyba? Porovnejte s centrovanou a dopřednou diferencí. Jako derivovanou funkci použijte $\exp(\sin(x))$ v bodě $x=1$.
    Bonus: Vypočtěte pro tuto metodu teoretickou velikost optimálního kroku pomocí odhadu chyb.
  2. Na webu se nachází soubor s experimentálně zjištěnými $t$, $x$ a $y$ souřadnicemi poloh hmotného bodu. Pomocí numerické derivace nalezněte časovou závislost složek rychlosti a zrychlení a vyneste obě závislosti do grafu. Jaký fyzikální děj bod nejspíše konal? Numerickou metodu si zvolte sami, svoji volbu ale odůvodněte.
    Bonus: Existuje v tomto případě přesnější varianta získání rychlosti a zrychlení, než přímočará aplikace numerické derivace?
  3. Máme zadán integrál $\int _0^{\pi } \sin ^2 x\,\d x$.
    1. Nalezněte hodnotu integrálu z geometrické úvahy za pomoci Pythagorovy věty.
    2. Nalezněte hodnotu integrálu pomocí Monte Carlo simulace. Určete směrodatnou odchylku výsledku.
      Bonus: Vyřešte Buffonovu úlohu ze seriálu (odhad hodnoty čísla $\pi$) pomocí MC simulace.
  4. Nalezněte vztah pro výpočet objemu šestidimenzinální koule pomocí metody Monte Carlo.
    Nápověda: Pythagorovu větu lze využít k měření vzdáleností i ve vyšších dimenzích.

Mirek a Lukáš čtou dokumentaci k Pythonu.

(10 bodů)1. Série 31. Ročníku - S. Rozjezdová

 

  1. Upravte výraz $\sqrt {x+1}-\sqrt {x}$ tak, aby nebyl náchylný k problémům cancellation, ordering a smearing. Ke kterým z těchto problémů byl původně náchylný a proč? Jaký je rozdíl ve výsledku původního a opraveného výrazu, pokud jej vyčíslíme v double precision pro $x=1{,}0 \cdot 10^{10}$?
  2. Popište funkci následujícího kódu. Jaký je rozdíl mezi funkcemi a() a b()? Pro jaké hodnoty x je lze použít? Nebojte se kód spustit a hrát si s hodnotou proměnné x. Určete také asymptotickou časovou složitost programu v závislosti na proměnné x.
    def a(n):
      if n == 0:
        return 1
      else:
        return n*a(n-1)
    def b(n):
      if n == 0:
        return 1.0
      else:
        return n*b(n-1)
    x=10
    print("{} {} {}".format(x, a(x), b(x)))
  3. Označme $o_k$ a $O_k$ obvod vepsaného a opsaného pravidelného $k$-úhelníku ke kružnici. Pak pro ně platí rekurentní vztahy \[\begin{equation*} O_{2k}=\frac {2o_k O_k}{o_k + O_k} ,\; o_{2k}=\sqrt {o_k O_{2k}} . \end {equation*}\] Napište program, který pomocí těchto vztahů vypočítá hodnotu $\pi $, začněte přitom s opsaným a vepsaným čtvercem. S jakou přesností dokážete $\pi $ takto aproximovat? Obdobu tohoto postupu původně navrhl a použil Archimedes.
  4. Lukáš a Mirek hrají hru. Házejí férovou mincí a když padne orel, dá Mirek Lukášovi jedno Fykosí tričko, když padne panna, dá jedno tričko Lukáš Mirkovi. Oba dohromady mají $t$ triček, z toho $l$ patří Lukášovi a $m$ Mirkovi. Pokud jednomu z hráčů dojdou trička, hra končí.
    1. Nechť $m = 3$ a Lukášova zásoba triček je nekonečná. Určete nejpravděpodobnější dobu trvání hry, tedy počet hodů mincí, po nichž hra skončí (protože Mirkovi dojdou trička).
    2. Nechť $m = 10$, $l = 20$. Proveďte simulaci pomocí generátoru pseudonáhodných čísel a nalezněte pravděpodobnost, že Mirek vyhraje všechna Lukášova trička. Celou hru nechejte proběhnout alespoň 100krát (čím více opakování, tím lépe).
    3. Jak se změní výsledek předchozí úlohy, jestliže Mirek minci „vylepší“ a panna nyní padá s pravděpodobností $5/9$?
      Bonus: Vypočtěte pravděpodobnosti analyticky a porovnejte výsledek se simulací.
  5. Mějme lineární kongruenční generátor s parametry $a = 65539$, $m = 2^{31}$, $c = 0$.
    1. Vygenerujte alespoň $1 000$ čísel a spočtěte jejich střední hodnotu a rozptyl. Porovnejte se střední hodnotou a rozptylem rovnoměrného rozdělení na stejném intervalu.
    2. Nalezněte vztah, který vyjádří číslo v generované sekvenci jako lineární kombinaci čísel na dvou předchozích pozicích, tj. nalezněte koeficienty $A$, $B$ v rekurentním vztahu $x_{k+2} = Ax_{k+1} + Bx_k$. Pokud budeme považovat každá tři po sobě následující čísla za souřadnice bodu ve trojrozměrném prostoru, jak rekurentní vztah ovlivní prostorové rozložení těchto bodů?
      Bonus: Vygenerujte sekvenci alespoň $10 000$ čísel a vykreslete 3D bodový graf, který ilustruje význam uvedeného rekurentního vztahu.

Mirek a Lukáš oprašovali staré učební texty.

(8 bodů)0. Série 31. Ročníku - 5. Elza cestuje, aneb Mišova pomsta

Elza ráda cestuje vlakem. Při tom si všimla, že ihned po zastavení vlak mírně cukne dozadu. Elza nemá tušení, proč tomu tak je, pomozte jí to tedy objasnit. Uvažujte vlak s lokomotivou (hmotnost $m_r = \mathrm{82 t}$) a čtrnácti vagóny (hmotnost každého z nich je $m_v = \mathrm{48 t}$). Lokomotiva má brzdící váhu $p_r = \mathrm{113 t}$ a každý z vagónů má $p_v = \mathrm{99 t}$.$^1$ Dále uvažujme, že po zabrzdění se brzdící impulz šíří s konstantní rychlostí od lokomotivy na konec vlaku, přičemž poslední vagón začne brzdit za čas $\Delta t = \mathrm{12 s}$ po mašině.

Pro úplnost uvažujme, že spřáhla vozů jsou z části volná a umožňují pohyb. Sílu, kterou působí, můžeme v závislosti na výchylce $x$ popsat jako $x < 0 \Rightarrow F = -x k  ,$

$x = 0 \Rightarrow F = 0  ,$

$x > 0 \Rightarrow F = A \mathrm{sgn} \(x - x_v\)  ,$

kde kladný směr je tehdy, pokud se vozy od sebe vzdalují. Dále $k$ je tuhost nárazníku, $x_v$ je nezáporná konstanta a $A$ je tuhost spřáhla, přičemž $A \gg k$.

  1. Analyticky vyšetřete průběh brzdění vlaku.
  2. Najděte vlastní frekvenci kmitů pro $n$-tý vagón.
  3. Najděte parametry $k$, $A$ a $x_v$ tak, aby kmitání vozů bylo vzhledem k brzdění kriticky tlumené.
  4. Splňuje tento model to, co Elza pozorovala? Udělejte Elze radost a najděte lepší model chování vlaku.
  5. Numericky řešte tento nový model.

Bonus: Řešte případ, ve kterém bude jeden z vozů vypojený, tedy nebude brzdit.

1.) Brzdící váha označuje poměrnou schopnost vozidla brzdit. Je to absolutní jednotka a můžeme jí lineárně přeškálovat na brzdící sílu.

(3 body)5. Série 25. Ročníku - 3. putování faraonů

figure

Aleš bydlí ve čtyřpokojovém bytě, jehož půdorys si můžete prohlédnout na obrázku. Mára se ale rozhodl, že Alešův byt zamoří nepříjemnými mravenci faraony. Faraoni po bytu šíleně rychle pobíhají a to ještě navíc šíleným způsobem – můžete uvažovat, že jednou za pět minut se 60$%$ mravenců přesune do sousedních místností a jenom 40$%$ jich zůstává pobíhat ve stejné místnosti, co předtím. Přitom se rovnoměrně rozbíhají do sousedních místností (když má místnost dvoje dveře, tak 30$%$ jich přeběhne do jedné a 30$%$ do druhé, když má troje dveře, tak se rozdělí po 20$%)$. A to se opakuje každých pět minut (uvažujte jenom kroky přesně po pěti minutách). Faraonům se v bytě líbí a tak neutíkají ven. Na druhou stranu se faraoni nemají šanci jinak dostat do bytu než propašováním a to dělá jenom Mára, takže jinak ani faraoni v bytu nepřibývají.

  • Když Mára zlomyslně umístí 1000 faraonů do předsíně (D), kolik faraonů bude v jednotlivých místnostech po pěti minutách? Kolik jich bude po deseti minutách a po patnácti minutách? (2 body)
  • Pokud jsme našli v místnostech počty mravenců $N_{A}=12$, $N_{B}=25$, $N_{C}=25$ a $N_{D}=37$, jak byli mravenci rozmístění před pěti minutami? (1 bod)
  • *Bonus:** Kolik mravenců by bylo v místnostech po hodně dlouhé (prakticky nekonečné) době, když by Mára rozmístil faraony jako v bodu a)? Závisí to na tom, jak Mára mravence rozmístil? A nejrafinovanější otázka - ustálí se počet mravenců na jedné hodnotě, nebo bude oscilovat? (bod/y navíc)

Karel si vzpomněl na Jordanův tvar matice při prohledávání literatury.

1. Série 22. Ročníku - 3. už mě nehoupej

Kačenka se rozhoupává na houpačce následujícím způsobem. Při největší výchylce houpačky se přikrčí, a když je houpačka v nejnižším bodě, opět se postaví. Tyto pohyby neustále opakuje. Poměr vzdálenosti těžiště Kačenky od osy otáčení při pokrčení a při stání je$2^{1⁄12}$ ≈ 1.06$$. Kolikrát se Kačenka zhoupne, než se amplituda houpání zdvojnásobí?

Z asijské olympiády přinesl Honza Prachař

6. Série 8. Ročníku - 4. expozice

Začínající fotograf, znalec geometrické optiky, fotografoval s určitou expozicí průčelí domu ze vzdálenosti $100\; \textrm{m}$. Potom přešel do vzdálenosti $50\; \textrm{m}$, aby mohl udělat větší snímek. Domníval se (znaje přitom, že plocha domu se zvětší čtyřikrát), že musí expozici zvětšit také čtyřikrát. Doma zjistil, že první snímek se povedl perfektně, ale druhý, na kterém měla být původně i lepá dívka, se nevyvedl. Kromě evidentního důvodu, že to zapříčinila její oslnivá krása, uveďte ten méně podstatný.

6. Série 8. Ročníku - S. hledání kořenů polynomu

Napište (a zašlete) program, který určí všechny kořeny polynomu. S jeho pomocí nalezněte čtyři řešení rovnice $x^{4}+2x^{3}+5x^{2}–4x+3=0$.

5. Série 8. Ročníku - 2. obvod bez zdrojů

figure

Mějme velmi jednoduchý obvod složený ze $n$ stejných ideálních zdrojů o napětí $U_{e}$ sériově zapojených do kruhu o poloměru $r$. Dráty je spojující mají stejnou délku a měrný odpor $ρ$ na jednotku délky (rozměry zdrojů zanedbejte vůči obvodu kružnice). Jaké bude napětí mezi bodem $A$ uprostřed prvního a $B$ uprostřed $k$-tého drátu?

Na obrázku je nakresleno zapojení konkrétně pro $n=12$ a $k=5$.

5. Série 8. Ročníku - S. obyčejná

Sestavte program pro iterační metodu a zvolte vhodnou konstantu $k$ pro fci $g$, abyste dostali vhodný interval okolo 1 splňující kontraktivnost. Ověřte lineární konvergenci a zkuste zjistit míru zrychlení při užití Aitkinova procesu.

4. Série 8. Ročníku - S. tečná metoda

Vezměte poslední popisovanou metodu tečen neboli Newtonovu, která určuje následující bod podle vzorce $c=b-\frac{\textrm{funkce}(b)}{\textrm{derivace}(b)}$ – pro ty neznalé derivování uvádíme pro náš případ

$$\textrm{derivace}(t)=-gt+v-\frac{2pA}{T}\sin\left(\frac{2pt}{T}\right)$$

Řešte touto metodou zadanou úlohu a ověřte rychlost konvergence jak pro přesný odhad počátečního intervalu $(0,88;\; 1,02)$, tak pro hrubý odhad $(0;\; 10)$.

Zjistěte, jak závisí přesnost dosaženého výsledku na počtu kroků u všech popsaných metod (bisekce, regula falsi, metoda sečen a tečen), tedy ověřte, zda je zpřesňování lineární, kvadratické, či jiné. Je tato vlastnost ovlivněna volbou počátečního intervalu?

3. Série 8. Ročníku - 4. odpor 4-rozměrné krychle

figure

Model 4-rozměrné krychle

Představte si krychli ve čtyřrozměrném prostoru, jejíž hrany jsou tvořeny odpory $R$ (pomůckou vám bude obrázek, který zachycuje ekvivalentní zapojení ve třech dimenzích znázorněné na dvourozměrném papíře). Vaším úkolem je spočítat výsledný odpor mezi body na tělesové úhlopříčce (mezi levým horním předním vnějším rohem na obrázku – bod $A$ a pravým dolním zadním vnitřním rohem – bod $B$). Zdá-li se vám to příliš snadné, pokuste se zobecnit výsledek pro libovolnou hodnotu dimenze $n$ (a případně určete k jaké hodnotě se jejich odpor blíží pro $n$ rostoucí k $∞$).

3. Série 8. Ročníku - S. trochu jiná metoda

Upravte program uvedený v minulé sérii z metody regula falsi na metodu sečen a zjistěte, jak se zrychlí konvergence metody na stejném příkladu jako v minulé sérii. Úlohu uvažujte čistě kinematicky, bez počítání hybností a sil: deska kmitá jako volný harmonický oscilátor a skokan se pohybuje jako hmotný bod ve svislém vrhu. Ověřte, jak mnoho je nyní konvergence závislá va volbě výchozího bodu. Pokuste se metodu zrychlit pomocí Aitkinova procesu: vždy po třech přiblíženích spočtených bežným způsobem proveďte extrapolaci k řešení $γ$. Jak se uvedený postup vyplatí při metodě regula falsi a při metodě sečen?

2. Série 8. Ročníku - 4. pavouk a moucha

Na povrchu skleněné koule je pavouk a moucha. Kde musí být moucha, aby ji pavouk uviděl? Počítejte s tím, že koule je větší než pavouk a moucha (dohromady), přičemž mnohokrát. Index lomu pro sklo je $1,43$.

1. Série 8. Ročníku - 2. Mňága a Žďorp

Mňága vyjíždí na kole rychlostí $15\; \textrm{km}\cdot\textrm{h}^{-1}$ z Postoloprt po přímé silnici do Kožuchova v $8$ hodin ráno a za jeho uchem se v tu chvíli probouzí pilná včela Žofka. Současně z cílové vísky vzdálené $40\; \textrm{km}$ jim naproti startuje Žďorp a nasazuje tempo $25\; \textrm{km}\cdot\textrm{h}^{-1}$. Do okamžiku, než se oba potkají, musí Žofka, která je přeci jen dvakrát rychlejší než Mňága, plnit úkol spojovatelky – donese zprávu od M. k Ž., otočí se a letí zpět. Kolik kilometrů takto nalétá do okamžiku setkání, pokud

  • je bezvětří
  • vane vítr od Kožuchova (podél silnice) o rychlosti $10\; \textrm{km}\cdot\textrm{h}^{-1}$
  • vane vítr kolmo na silnici o stejné rychlosti.

6. Série 7. Ročníku - S. trochu počítání

 

  • Ze znalosti vztahů $\cosh^{2} a–\sinh^{2}a=1$ a tgh $a=\sinh a / \cosh a$ odvoďte vzorce použité v závěru výkladu mezi hyperbolickým cosinem resp. sinem a tangentou.
  • Pokuste se v případě nějakého vhodného geometrického objektu dokázat, že se jeho plocha zachovává i po Lorentzovské transformaci souřadnic.

5. Série 2. Ročníku - S. Lorentzovy transformace

V posledním seriálovém příkladu se dotkneme transformací snad nejpopulárnějších – Lorentzových transformací. Na přelomu 19. a 20. století bylo přesnými pokusy změřeno, že světlo se pohybuje stejnou rychlostí vůči všem inerciálním soustavám. To zásadně odporuje běžné představě o prostoru a času – odporuje to prosté zkušenosti, že rychlosti se sčítají. Tento problém vyřešil r. 1905 A. Einstein ve svojí speciální teorii relativity. Tato teorie není založena na naší každodenní zkušenosti s malými rychlostmi, a proto se nesmíme zaleknout některých jejích zdánlivě zvláštních důsledků v oblastech, na které nejsme zvyklí. Změna představ na prostor a čas se hlavně odrazila v nahrazení Galileových transformačních vztahů mezi dvěma inerciálními soustavami pohybujícími se vzájemnou rychlostí $v$ ve směru osy $x$, které v čase nula splývají, $x′=x-vt$, $y′=y$, $z′=z$, $t′=t$, se vztahy Lorentzovými. Vaším úkolem bude nyní odvodit je. Využijeme k tomu zkušenosti z pomoci Severním království. Jak bylo v komentáři k seriálovému příkladu 3. série poznamenáno, transformační vztahy mezi $x$, $y$ a $x′$, $y′$ (viz komentář ke zmíněném příkladu) jsou jedinými, které zachovávají vzdálenost, tj. $Δx+(kΔy)=Δx′+(kΔy′)$. Využijeme něčeho podobného. Lze odvodit (provedeme v komentáři), že v našem případě dávají výrazy

$$Δx-(cΔt),Δx′+(cΔt′)\; (1)$$

stejné výsledky. Musíme tedy hledat takové transformace, které převádějí výrazy (1) jeden na druhý. Ve shodě s panem Einsteinem dále předpokládejme, že vztahy mezi souřadnicemi soustav $S$ a $S′$ ($S′$ se pohybuje rychlostí $v$ ve směru $x$ vůči $S$) jsou

$$x′=ax+bt,\; y′=y,\; z′=z,\; t′=cx+dt, \; a,\;b,\;c,\;d∈\textbf{R}\; (2)$$

a pro souřadnice počátku soustavy $S′$ platí $x_{p}/t_{p}=v,\; x_{p}′=0,\; y_{p}′=0,\; z_{p}′=0$. Najděte tedy transformace typu (2), které splňují (1). Uveďte postup!

4. Série 2. Ročníku - 3. reflektor

figure

Reflektor

Jaký musí být vrcholový úhel kuželového reflektoru, aby se paprsky ze svítícího vlákna v ose kuželu délky $l$ odrazily o stínítko jednou, dvakrát, $n$-krát? Stínítko je dostatečně velké.

4. Série 2. Ročníku - S. polární souřadnice

figure

Polární souřadnice

  • Polární souřadnice bodu A v rovině je dvojice čísel $r$, $φ$, udávající vzdálenost bodu $A$ od počátku a úhel polopřímky $PA$ a osy $x$ (obr. 4). Odvoďte transformační vztahy od polárních souřadnic $r$, $φ$ ke kartézským souřadnicím $x$, $y$.
  • U polárních souřadnic hraje roli souřadných os přímky procházející počátkem a kružnice se středem v počátku (obr. 5) - na těchto křivkách je vždy jedna souřadnice konstantní. Vektory báze se nyní volí v každém bodě tečné k souřadnicovým osám v tomto bodě a délky $|\textbf{e}_{r}|=1$, $|\textbf{e}_{φ}|=r$ (obr. 6). V tomto případě nejsou již vektory báze v různých bodech rovnoběžné, jak tomu bylo v případě kartézských souřadnic. Odvoďte transformační vztahy od souřadnic $b_{r}$, $b_{φ}$ k $b_{x}$, $b_{y}$ vektoru $\textbf{b}$ vedoucího z bodu $A$. Souřadnice $b_{r}$, $b_{φ}$ jsou počítané vůči bázi $\textbf{e}_{r}$, $\textbf{e}_{φ}$ v bodě $A$ (polární souřadnice), $b_{x}$, $b_{y}$ jsou počítané vůči bázi $\textbf{e}_{x}$, $\textbf{e}_{y}$ (kartézské souřadnice) a bod $A$ má polární souřadnice $r$, $φ$ (viz obr. 7).

3. Série 2. Ročníku - S. zeměměřiči podruhé

figure

  • Vraťme se opět do Severního království. V řešení příkladu I.S jste velkým zeměměřičům správně poradili převodní vzorce

$$x′=x\cos φ-yk\sin φ\; (1)$$ $$y′=kx\sin φ+y\cos φ\; (2)$$

kde $k$ je poměr metr ku severské míli a $φ$ úhel mezi magnetickým pólem a Severkou. Zeměřičům se však tento výsledek moc nelíbil, a to hned ze dvou důvodů – za prvé se v nich proti všem tradicím převádí severská míle na metr, s čímž se ale budou muset vyrovnat sami, ale hlavně za druhé neměří v Severním královstní odchylku mezi oběma používanými severními směry pomocí úhlu, ale pomocí tzv. odklonu $u$. Odklon osy $y′$ od osy $y$ je definován jako $u=x/y$, kde $x$ a $y$ jsou souřadnice bodu, který leží ve směru Severky, tj. osy $y$. Ukažte, že odklon $u$ nezávisí na tom, který bod na ose $y′$ v definici zvolíme, že odklon osy $y$ od $y′$ je $u$ a vyjádřete převodní vztahy (1) a (2) v závislosti na odklonu místo na úhlu.

  • Zeměměřiči při porovnání svých výsledků zjistili zajímavou věc. Většina údajů se vlivem používání odlišných severních směrů liší, ale jeden údaj, který získávají podle vzorce $Δx+(kΔy)$, resp. $Δx′+(kΔy′)$, vychází oběma zeměměřičům stejně. Je to náhoda? Pokud ne, tak to dokažte a odůvodněte proč.

2. Série 2. Ročníku - S. vektory

figure

Dvě soustavy

figure

Obecné soustavy

  • Mějme zadané dvě soustavy souřadnic pomocí vektorů $\textbf{e}_{x}$, $\textbf{e}_{y}$ a $\textbf{e}_{x}′$, $\textbf{e}_{y}′$ a společného počátku $P$. Vzájemnou polohu soustav máme zadanou pomocí souřadnic $a_{xx}$, $a_{xy}$, $a_{yx}$, $a_{yy}$ vektorů $\textbf{e}_{x}′$, $\textbf{e}_{y}′$ vůči bázi $\textbf{e}_{x}$, $\textbf{e}_{y}$. $\textbf{e}_{x}′=a_{xx} \textbf{e}_{x}+a_{xy} \textbf{e}_{y}$, $\textbf{e}_{y}′=a_{yx}\textbf{e}_{x}+a_{yy}\textbf{e}_{y}$. Odvoďte transformační vztahy mezi souřadnicemi $x$, $y$ a $x′$, $y′$ v závislosti na koeficientech $a_{xx}$, $a_{xy}$, $a_{yx}$, $a_{yy}$ (tj. předpis, jak z $x$ a $y$ vypočítat $x′$ a $y′$ a naopak).
  • Jelikož obě soustavy mohly být obecné (nepravoúhlé, bez stejných jednotek), bylo potřeba k zadání vzájemného vztahu soustav udat čtyři koeficienty $a_{xx}$, $a_{xy}$, $a_{yx}$, $a_{yy}$. Pokud budou obě soustavy kartézské (pravoúhlé s jednotkovým měřítkem), tak musí být délky vektorů $\textbf{e}_{x}$, $\textbf{e}_{y}$ resp. $\textbf{e}_{x}′$, $\textbf{e}_{y}′$ jednotkové a vektory musí být na sebe kolmé. K udání vzájemné polohy pak stačí zadat vzájemný úhel $φ$. Jak souvisí v tomto případě koeficienty $a_{xx}$, $a_{xy}$, $a_{yx}$, $a_{yy}$ s úhlem $φ$?

1. Série 2. Ročníku - E. sluneční čas

Jak víme, celý povrch Země je rozdělen na 24 hlavních časových pásem po 15 stupních zeměpisné délky. Na celém území naší republiky se řídíme středoevropským časem příslušejícím 15. stupni východní délky, resp. letním časem posunutým o 1 hodinu. Dále lze zavést tzv. sluneční čas, jehož poledne (12 hodin) je v okamžiku, kdy je na dané zeměpisné délce slunce nejvýše. Navrhněte metodu měření a změřte rozdíl mezi letním středoevropským časem a slunečním časem ve vaší zeměpisné délce. Výsledek porovnejte s výpočtem.

4. Série 1. Ročníku - 1. mouchy

Koule o poloměru $R$ pohybující se velkou rychlostí $v$ prolétne rojem much, který se pohybuje rychlostí $u$ kolmou na směr pohybu koule. Šířka roje je $d$, v jednotce objemu se nachází průměrně $n$ much. Kolik much přijde při této smutné události o život?

3. Série 1. Ročníku - S. jak se šíří drby?

figure

Schéma šíření drbů

Rozeberme model šíření drbů daný schematem na obrázku. Model je velice idealizovaný. Každý má šanci dozvědět se drb jen od jediného člověka, a je-li drbař, poví ho třem lidem. Ne každý člověk roznáší drby. Nedrbaře jsme na obrázku označili plným kolečkem a roznašeče drbů prázným. (Umístění nedrbařů je náhodné!) Koncentrace drbařů je $x$ (to znamená, že náhodně vybraný člověk ze sítě na obrázku je roznašečem drbů s pravděpodobností $x$.) Plné šipky na schematu označují cestu drbu, čárkované jen pokračování sítě, kde se drb již nešíří. Při $x$ blízkém 0 se drb poměrně brzy zastaví. Při $x$ blízkém 1 se bude šířit neomezeně.

Zjistěte (výpočtem, simulací na mikropočítači nebo třeba jen intuitivním argumentem) kriticku hodnotu $x_{c}$, při které se drb právě začne v průměru šířit neomezeně. Zkuste dále odhadnout, jaká část lidí se drb dozví při $x>x_{c}$. (Dovedete nalézt fyzikální proces, který by bylo možné alespoň přibližně takto modelovat?)

1. Série 1. Ročníku - 3. klavír

Předpokládejte, že vlastníte výborný koncertní klavír. Chcete ho nechat naladit. Pozvete nejlepšího ladiče pian. Ten ladí klavír tak, že porovnává zvuk klavíru a etalonu (ladičky). Jak dlouho mu bude trvat perfektní naladění klavíru?

  • zhruba hodinu
  • zhruba den
  • zhruba týden
  • zhruba měsíc
  • nekonečně dlouho

1. Série 1. Ročníku - S. kapitán Brown

Představme si, že v přístavu vyšel z hospody H kapitán Brown. Kapitán je zcela opitý, a tak kráčí náhodně (krok vpřed i vzad jsou stejně pravděpodobné). Předpokládejme, že kráčí podél mola v přímkové dráze. Snaží se dojít ke své lodi, která kotví $k$ kroků od výchozího bodu H.

Nalezněte pravděpodobnost, že po $n$ krocích kapitán dojde ke své lodi. Úlohu se pokuste řešit analyticky, tj. přímo nalezněte hledanou pravděpodobnost $p=p(n,k)$. Úlohu se také pokuste modelovat. Pomocí vhodného generátoru náhodných čísel. (Zkuste třeba házet mincí, eventuelně použít mikropočítač atp.) nechte mnohokrát vyjít námořníka z počátečního bodu a sledujte v kolika pokusech dojde ke své lodi. (Zkuste číselně pro $n=20$, $k=8$).

Rozřešení předchozí úlohy použijte k zodpovězení této otázky: kapitán udělá $n$ kroků; jaká je střední hodnota druhé mocniny jeho vzdálenosti od bodu H?

Návod: Požadované střední hodnoty jsou definovány takto. $$\langle r\rangle=\sum_{k}p(n,k)\cdot k \langle r^2\rangle=\sum_{k}p(n,k)\cdot k^2$$ Potřebné pravděpodobnosti $p(n,k)$ můžete odhadnout z vašich modelových pokusů, i když je neznáte analyticky.

Dovedli byste zdůvodnit analogii mezi kráčením kapitána Browna s pohybem pylových zrnek v kapalině? Je z hlediska vámi spočtených středních hodnot $\langle r\rangle$, $\langle r^2\rangle$ podstatné, že kapitán Brown kráčí v přímce, kdežto pylová zrnka se pohybují v rovině?

Tato stránka využívá cookies pro analýzu provozu. Používáním stránky souhlasíte s ukládáním těchto cookies na vašem počítači.Více informací

Partneři

Pořadatel

Mediální partner

Partner


Created with <love/> by ©FYKOS – webmaster@fykos.cz