Vyhledávání úloh podle oboru

Databáze úloh FYKOSu odjakživa

astrofyzika (85)biofyzika (18)chemie (24)elektrické pole (71)elektrický proud (76)gravitační pole (81)hydromechanika (146)jaderná fyzika (44)kmitání (57)kvantová fyzika (31)magnetické pole (43)matematika (89)mechanika hmotného bodu (298)mechanika plynů (87)mechanika tuhého tělesa (221)molekulová fyzika (72)geometrická optika (78)vlnová optika (65)ostatní (167)relativistická fyzika (37)statistická fyzika (21)termodynamika (155)vlnění (51)

matematika

1. Série 22. Ročníku - 3. už mě nehoupej

Kačenka se rozhoupává na houpačce následujícím způsobem. Při největší výchylce houpačky se přikrčí, a když je houpačka v nejnižším bodě, opět se postaví. Tyto pohyby neustále opakuje. Poměr vzdálenosti těžiště Kačenky od osy otáčení při pokrčení a při stání je $2^{1⁄12} ≈ 1,06$. Kolikrát se Kačenka zhoupne, než se amplituda houpání zdvojnásobí?

Z asijské olympiády přinesl Honza Prachař

5. Série 21. Ročníku - S. posloupnosti, horká dutina a bílý trpaslík

 

  • Odvoďte Taylorův rozvoj exponenciály a pro $x=1$ graficky znázorněte posloupnost částečných součtů řady $\sum_{k=1}^{∞}1⁄k!$ spolu s posloupností ${ ( 1 - 1 ⁄ n)^{n}}_{n=1,2,\ldots}$.

Stejným způsobem porovnejte posloupnost ${ ( 1 - 1 ⁄ n)^{n}}_{n=1,2,\ldots}$ a posloupnost částečných součtů řady $\sum_{k=1}^{∞}x^{k}⁄k!$, čili posloupnost ${\sum_{k=1}^{n}x^{k}⁄k!}_{n=1,2,\ldots}$, tentokráte však pro $x=-1$.

  • Druhý úkol bude určit závislost koncentrace elektronů a pozitronů na teplotě při celkovém náboji $Q=0$ v prázdné uzavřené horké dutině.

(Bude-li se vám chtít, i při jiných vámi zvolených hodnotách $Q.)$ Dále určete závislost poměru vnitřní energie $U_{e}$ elektronů a pozitronů ku celkové vnitřní energii systému $U$ (tj. součtu energie elektromagnetického záření a částic) na teplotě a určit hodnoty teploty odpovídající některým význačným hodnotám tohoto poměru (např. 3 ⁄ 4, 1 ⁄ 2, 1 ⁄ 4, …; může tento poměr nabývat všech těchto hodnot?).

Pokuste se své výsledky pěkně graficky zpracovat ve formě grafů (můžete zkusit i trojrozměrné).

Při vašem snažení vám může hodně pomoci, pokud si zavedete vhodné bezrozměrné jednotky (např. $βE_{0}$ místo $β$ apod.).

  • Řešte soustavu diferenciálních rovnic pro $M(r)$ a $ρ(r)$ v modelu bílého trpaslíka pro několik vhodně zvolených hodnot $ρ(0)$

a pro každou z nich sledujte hodnotu, ke které se blíží $M(r)$ při $r→∞$. Ta je zřejmě rovna hmotnosti celé hvězdy. Pokuste se prozkoumat závislost této celkové hmotnosti na $ρ(0)$ a odhadnout její horní mez. Srovnejte váš výsledek s horní mezí hmotnosti bílého trpaslíka, kterou najdete v literatuře nebo na internetu. Uvažujte, že je hvězda tvořena héliem.

Zadali autoři seriálu Marek Pechal a Lukáš Stříteský.

4. Série 21. Ročníku - 1. znají včely geometrii?

Jestliže jste někdy viděli včelí plást, jistě vás upoutala pravidelnost, s jakou je vybudován. V podélném řezu tvoří stěny buňky pravidelný šestiúhelník a buňky jsou k sobě seskupeny tak, že pokrývají celou rovinu plástu.

Proč mají včelí buňky tvar právě šestiúhelníků, a ne například obdélníků nebo pětiúhelníků?

Zadal Honza Prachař inspirován knihou Matematika kolem nás.

4. Série 21. Ročníku - P. projekt 5

Navrhněte spravedlivou (či co nejvíce spravedlivou) pětistěnnou kostku. Přesněji máme na mysli takové pětistěnné těleso, které se při hodu na podložce zastaví na každé své stěně se stejnou pravděpodobností.

Vymysleli Aleš Podolník a Marek Scholz.

4. Série 21. Ročníku - S. kvantový harmonický oscilátor

Modelujte časový vývoj vlnové funkce částice, kterou umístíme do potenciálu $V(x)=\frac{1}{2}kx$ a která je v čase $τ=0$ popsána vlnovou funkcí

$ψ_{R}(X,0)=\exp(-((X-X_{0}))⁄4)$,

ψ$_{I}(X,0)=0$.

Jedná se tedy o vlnový balík se středem mimo počátek. Prozradíme vám, že jde o tzv. koherentní stav harmonického oscilátoru a vlnový balík by měl harmonicky kmitat kolem počátku s úhlovou frekvencí $\sqrt{k⁄m}$ stejně jako klasická částice.

Pokud se vám toto podaří namodelovat, můžete vyzkoušet, jak se budou chovat vlnové balíky o jiné šířce (tedy se jmenovatelem v exponenciále odlišným od čtyř), případně jak bude situace vypadat při jiném průběhu potenciálu.

Zadal autor seriálu Marek Pechal.

3. Série 21. Ročníku - S. bloudění námořníka, pí-obvod a epidemie v Praze

Integrál

Integrujte metodou Monte Carlo funkci $e^{-x^2}$ na intervalu $[ -100,100]$. Zkuste také numericky určit hodnotu tohoto integrálu od $-∞$ do $+∞$.

Návod: Funkce je symetrická vůči počátku, čili ji stačí integrovat na intervalu $[ 0, +∞ )$. Proveďte substituci $x=1⁄t-1$, čímž změníte meze integrálu od $0$ do $1$.

Bloudění námořníka

Opilý námořník vstoupil na molo dlouhé 50 kroků a široké 20 kroků. Jde směrem k pevnině. Při každém kroku dopředu však zavrávorá zároveň o krok nalevo nebo napravo. Zjistěte, s jakou pravděpodobností námořník dojde až na břeh a s jakou pravděpodobností spadne do moře a utopí se.

Námořník měl štěstí a neutopil se. Druhou noc se však opět vydává opilý z lodi na pevninu. Tentokrát však vane stálý vítr o rychlosti $3 \,\jd{m. s^{-1}}$, který způsobí to, že na jednu stranu udělá krok s pravděpodobností 0,8 a na druhou stranu s pravděpodobností 0,2. Zjistěte, s jakou pravděpodobností námořník dojde až na břeh a s jakou pravděpodobností spadne do moře a utopí se.

Třetí noc se námořník opět vydává opilý na pevninu. Tentokrát však vane proměnlivý vítr. Vane podle normálního rozdělení se střední hodnotou $0\,\jd{ m.s^{-1}}$ a disperzí $2\,\jd{ m. s^{-1}}$. Zjistěte, s jakou pravděpodobností tentokrát námořník dojde až na břeh a s jakou pravděpodobností spadne do moře a utopí se. Můžete uvažovat, že námořník jde pomalu a setrvačnost větru lze zanedbat. Komu by to vadilo, nechť vymyslí, jak by vítr v po sobě jdoucích krocích koreloval.

Pí-obvod

Máme k dispozici 50 rezistorů o odporech $50\,\jd{ Ω}$ a chceme z nich sestavit obvod, jehož celkový odpor v ohmech bude co nejblíže číslu $π$. Pokuste se metodou simulovaného žíhání najít obvod, který by tomuto požadavku vyhovoval co nejlépe.

Pro určování celkového odporu obvodu si můžete přizpůsobit program, který najdete na našich webových stránkách.

Pokud se na tento úkol necítíte, můžete zkusit zahrnout do problému obchodního cestujícího zakřivení zemského povrchu a pokusit se jej vyřešit pro nějakou konkrétní množinu měst na Zemi (například všechna hlavní města v Evropě, USA atd.).

Epidemie v Praze

Zkoumejte vývoj epidemie v Praze, uvažujte 1 milión obyvatel. Intenzita nákazy $β$ je $0,4⁄1000000$ za den, uzdravení $γ$ je ( čtyřidny )^{$-1$}. Na počátku je nakaženo 100 lidí. Porovnejte průběh epidemie při očkování předem dvaceti procent lidí s průběhem epidemie při očkování až během epidemie s rychlostí půl procenta denně. A také s průběhem bez očkování. Konec epidemie vyhlásíme, bude-li méně jak 20 lidí nemocných.

Je spousta údajů, které můžete z počítačové simulace získat. Krom středovaného průběhu epidemie uveďte pro zajímavost též graf, kde ukážete prvních pět náhodných simulací. Dále můžete sledovat fluktuace. Můžete též výsledky porovnat s deterministickým modelem, když neuvažujete náhodnost nakažení. Těžištěm hodnocení bude, kolik různých zajímavých dat dokážete hezky zpracovat.

Zadali autoři seriálu Marek Pechal a Lukáš Stříteský.

1. Série 19. Ročníku - S. pravděpodobnost

  1. Z balíčku 32 karet se náhodně vyberou tři karty. Zjistěte pravděpodobnosti jevů, že mezi vybranými kartami bude právě jedno eso, alespoň jedno eso, ani jedno eso.
  2. $N$ stejných částic se nachází v nádobě. Určete pravděpodobnost, že v levé půlce bude o $m$ částic více než v pravé půlce. Nakreslete graf závislosti pro $N=10^{10}$. Rozsah $m$ volte tak, aby pravděpodobnost na krajích intervalu byla desetinová oproti středu intervalu. Jak závisí šířka křivky (tj. rozdíl $m_{2}-m_{1}$, kde $m_{2}>0$ a $m_{1}<0$ jsou hodnoty $m$, pro které je pravděpodobnost poloviční oproti maximu) na $N?$
  3. Odhadněte velikost ln ($n!)$ (bez použití Stirlingova vzorce).

Autor seriálu Matouš Ringel.

6. Série 16. Ročníku - S. vícerozměrné integrály

 

  • Spočítejte průměrnou vzdálenost cestovatele náhodně se pohybujícího po severní polokouli od severního pólu a od rovníku (předpokládejte že cestovatel se pohybuje rovnoměrně po celém povrchu polokoule, za vzdálenost berte délku cesty po povrchu Země).
  • Uvažujte nekonečně vysokou rotačně symetrickou věž, jejíž poloměr ve výšce $h$ nad zemí je $r=\frac{a}{1+\frac{h}{a}}$, kde $a=1\;\jd{m}$. K dispozici máme barvu, jejíž krycí schopnost je $10\,\jd{m^{2}}$ na litr. Rozhodněte, zda potřebujeme více barvy na natření nebo naplnění této věže barvou.
  • Trpaslíci se rozhodli, že pomohou Sněhurce při vaření. Sněhurka tedy rozkrájela jeden (dokonale kulatý) brambor na sedm stejně tlustých plátků a rozdala je trpaslíkům k oškrábání. Rozhodněte, který z trpaslíků bude mít nejvíce práce (trpaslíkem vynaložené usílí je úměrné povrchu oškrábané slupky).

5. Série 16. Ročníku - 1. prší, prší

V dešťovém mraku je množství malých kapiček vody, jejichž hustotu (tj. celkovou hmotnost kapiček v nějakém objemu lomeno tímto objemem) označme $\rho_{1}$, hustotu vody $\rho_{0}$. Spojením několika kapiček vznikne větší kapka, která začne padat a postupně na sebe nabaluje další a další kapičky. Spočítejte, jak se bude měnit poloměr padající kapky, a s jakým zrychlením se bude pohybovat.

Pro jednoduchost neuvažujte odpor vzduchu působící na kapku a malé kapičky považujte za nehybné.

5. Série 16. Ročníku - P. pramínek vody

Jaký je geometrický tvar (průřez) kapaliny vytékající z kohoutku v závislosti na vzdálenosti od hrdla? Pokuste se také odhadnout, v jaké vzdálenosti se proud vody začne trhat.

Tato stránka využívá cookies pro analýzu provozu. Používáním stránky souhlasíte s ukládáním těchto cookies na vašem počítači.Více informací

Pořadatelé a partneři

Pořadatel

Pořadatel MSMT_logotyp_text_cz

Generální partner

Hlavní partner

Partner

Mediální partner


Created with <love/> by ©FYKOS – webmaster@fykos.cz