Vyhledávání úloh podle oboru

Je známo, že Měsíc v úplňku má zdánlivou hvězdnou velikost přibližně $-12\;\mathrm{mag}$ a Slunce na denní obloze zase $-27\;\mathrm{mag}$. Pokuste se odhadnout, jakou hvězdnou velikost má Měsíc těsně před zatměním Slunce, pokud víte, že albedo Země činí $0,\!36$ a albedo Měsíce $0,\!12$. Předpokládejte, že světlo se po odrazu rozptyluje stejným způsobem na povrchu Země i Měsíce.

Jak rychle se pohybuje hranice světla a tmy (terminátor) na povrchu Měsíce? Je možné utíkat před tmou, když jste na rovníku?

Oblíbeným tématem proroků kosmických katastrof jsou konjunkce planet. Představte si, že je poledne a jedna taková konjunkce zrovna nastala. O kolik nejvíce procent můžete být lehčí, pokud uvažujeme, že Země je počátkem polopřímky, na které leží všechny velké planety a Slunce, vůči situaci bez ostatních planet a Slunce?

• Vyjděte z Newtonova modelu vesmíru odvozeného v seriálu. Pro $E = 0$ vyřešte případ, že vesmír se rozpíná a hustota energie vakua se nemění. Odhadněte, jaká je na základě tohoto modelu budoucnost vesmíru.

• Pokud je vesmír plný hvězd, jistě k nám dřív nebo později dorazí světlo z každé hvězdy. Jak je možné, že je i přes to v noci tma? Zdůvodnění zkuste podpořit i kvantitativními odhady.

• V seriálu je uvedeno, jak odvodit existenci temné hmoty na kupě galaxií pomocí poměrně jednoduchého modelu. Zkuste navrhnout další způsob, jak dokázat existenci temné hmoty v kupách galaxií. Není třeba nutně podpořit výpočtem, stačí jednoduchý návrh.

• Aktivní galaxie se na obloze stejně jako hvězdy jeví jako bodové zdroje. Zkuste navrhnout co nejvíce způsobů, jak rozlišit hvězdu a aktivní galaxii.

• Z rádiového pozorování kvasaru 3C 273 se zjistilo, že shluk hmoty v jetu se pohybuje od aktivního jádra s úhlovou rychlostí $\mu$ = $0.0008 \;\mathrm{rok^{ - 1}}$. Předpokládejte, že shluk se pohybuje v rovině oblohy kolmo na linii pozorování, vzdálenost je $d=440\;\mathrm{hMpc}$, $h$ je Hubbleova konstanta. Vyjádřete zdánlivou rychlost $v_{zd}$.

• Odvoďte, pro jakou hodnotu úhlu $φ$ bude $β_{T}$ maximální?

• Předpokládejme, že supermasivní černá díra v centru galaxie má účinnost 30 %. Kolik energie vyzáří, pohltí-li objekt o hmotnosti Země?

• Spirální galaxie můžeme velmi hrubě popsat logaritmickou spirálou $r(\phi)=r(0)\exp(\phi\tan Φ)$, kde $r$ a $φ$ jsou polární souřadnice a $Φ$ je úhel otevření odpovídající úhlu, který svírá kolmice k průvodiči s tečnou ke spirále (úhel otevření roste ve směru hodinových ručiček, vyjadřujeme jej v radiánech, přičemž hodnota může nabývat více než $2π$). Uvažujme $Φ = 10°$. Odvoďte vztah pro poměr vzdáleností dvou sousedních závitů téhož spirálního ramene od centra galaxie. Jak by se poměr změnil, kdyby ramena byla čtyři (rovnoměrně rozložená). Vyjádřete vzdálenost pro sousední ramena v $r(0)=8 \;\mathrm{kpc}$.

• Uvažujte nekonečný vesmír s konstantní hustotou hvězd a bez extinkce. Vyjádřete vztahy pro integrální a diferenciální počet hvězd v závislosti na zdánlivé hvězdné velikosti. Co se stane, bude-li zdánlivá hvězdná velikost velká?

• Bonus: Jaká je pravděpodobnost, že dvě hvězdy se nám v galaxii promítnou za sebe? Uvažujte osamocené hvězdy, ne dvojhvězdy.

• Proč je třeba, aby byl molekulární mrak, ze kterého jsou tvořeny hvězdy, chladný? Zkuste odhadnout a zdůvodnit rozumnou teplotu.

• Podíváme-li se na HR diagram některé z hvězdokup, najdeme velký rozptyl okolo hlavní posloupnosti. Jaké jsou způsoby, jak takový rozptyl může vzniknout? Ilustrační obrázek pro hvězdokupu Plejády, M45 najdete třeba tady.

• Jak dlouho by žila hvězda, kdyby nebyla živena termonukleárními reakcemi, jen energií ze smršťování se?

• Planetární mlhovina Helix má průměr 16' a nachází se ve vzdálenosti cca 213 $\;\mathrm{pc}$ od Země. Jaký je její skutečný poloměr a jak je stará, pokud se její obálka rozpíná s rychlostí 20 $\;\mathrm{km/s}$.

• Absolutně černé těleso z definice pohltí všechno světlo, co na něj dopadne, ve všech vlnových délkách. Zároveň je to ideální zářič s charakteristickým spektrem. Můžeme si ho představit třeba jako temné okno domu. Slunce však na první pohled enegrii pouze vydává. Jak je tedy možné, že jeho zážení lze v prvním přiblížení aproximovat absolutně černým tělesem?

• V textu jsme vyjádřili Planckovu funkci jako funkci vlnové délky a teploty. Zkuste ji vyjádřit v závislosti na teplotě a frekvenci. Dokažte, že pro velké vlnové délky a vysoké teploty Planckova funkce přechází v Raighleyův-Jeansův zákon $B_{λ}(T)=2ckT/λ^{4}$ a naopak ve Wienův zákon $B_{λ}=2hc^{2}/λ^{5}$ $\exp(-hc/λkT)$ pro nízké teploty a malé vlnové délky.

• Kruh, který napozoroval Hubbleův vesmírný dalekohled v supernově SN1987A, má podél hlavní poloosy úhlový průměr 1,66''. Má jít o cirkulární objekt, který je díky natočení vůči nám pozorován jako elipsa (viz zde). Světlo ze vzdálenější části elipsy doletělo k Zemi o 340 dnů později, než z bližšího konce. Proměřte fotografii a určete úhel natočení vůči pozorovateli a zkuste spočítat poloměr kruhu. S pomocí trigonometrie určete vzdálenost objektu.

• Pro určení červeného posuvu se zpravidla používají spektrální čáry vodíku. Odhadněte, do jaké hodnoty červeného pousuvu $z$ se pomocí spekter můžeme dostat. Zkuste zjistit (nebo navrhnout), jak se měří $z$ u vzdálenějších objektů.

• Některé hvězdy jsou považovány za obtočné, čili cirkumpolární. Znamená to, že jsou vidět po celý rok? Jaké hvězdy jsou v našich zeměpisných šířkách vidět po celý rok? Jaká souřadnice nám cirkumpolární hvězdy označuje? Jaká je situace u nás, na pólu a na rovníku? Pro ilustraci doporučujeme stáhnout program Stellarium (www.stellarium.org, licence GNU GPL, takže program je ke stáhnutí zdarma), kde si můžete zadat jakoukoliv zeměpisnou polohu a podívat se na jednotlivé situace.

• Srovnejte absolutní hvězdnou velikost nejjasnější hvězdy letní oblohy, Vegy ($α$ Lyr, 7.76 $\;\mathrm{pc}$ daleko, zdánlivá hvězdná velikost -0,01 $\;\mathrm{mag}$) a Betelgeuze ($α$ Ori, 200 $\;\mathrm{pc}$ daleko, zdánlivá hvězdná velikost 0.42 $\;\mathrm{mag}$). Jak by se nám hvězdy jevily, kdyby si vyměnily vzdálenosti? Diskutujte viditelnosti.

• Transformace a zase transformace. Zkuste si spočítat transformaci mezi galaktickými a ekvatoriálními souřadnicemi II. druhu. Výrazy nemusíte upravovat do verze uvedené v literatuře.

• Janap má ve zvyku občas se ztratit. Ona za to nemůže, občas se to stane. Tentokrát však s sebou měla theodolit. Zázračnou krabičku, která umí určit výšku hvězd nad obzorem. Změřila si polohy hvězd Arcturus a Capella a zaznamenala přesný čas. Arcturus měl 123.20 $\;\mathrm{grad}$ v 18:46:30, Capella 113.60 $\;\mathrm{grad}$ v 19:18:30. Kdepak se Janap nacházela? (Nezapomeňte, že výška hvězd je uváděna v gradech, horizont je na úrovni 100 $\;\mathrm{grad}$, plný úhel je 400 $\;\mathrm{grad}$).

Jak by se změnil výkon slunečního záření dopadajícího na Zemi v odsluní, když by byla jednorázově vychýlena zemská dráha (změnou její okamžité rychlosti ve směru její dráhy) tak, aby byl pozemský rok o týden delší? Odhadněte teplotu Země v přísluní a odsluní, pokud by Země měla téměř nulovou tepelnou kapacitu. Stačí uvažovat, že původní dráha Země byla kruhová a přešla na eliptickou.