Vyhledávání úloh podle oboru

Vašek jede za větrného počasí na kole. Jede-li rovně rychlostí $v = 10 \mathrm{km\cdot h^{-1}}$, naměří, že proti němu fouká vítr vodorovně pod úhlem $25\dg $ od směru jízdy. Při vyšší rychlosti $v' = 20 \mathrm{km\cdot h^{-1}}$ je tento úhel už jenom $15\dg $. Určete rychlost a směr větru vzhledem k nehybnému pozorovateli.

Ve vzdálenosti $0,8 \mathrm{au}$ od Slunce se vznáší solární plachetnice ve tvaru tenké desky o ploše $S = 500 \mathrm{m^2}$ s plošnou hustotou $\sigma =1,4 \mathrm{kg\cdot m^{-2}}$. Jakou silou na ni působí záření dopadající ze Slunce v okamžiku, kdy se plachetnice právě začíná pohybovat? Jaké bude v mít tu chvíli zrychlení? Zářivý výkon Slunce je $L_{\odot } =3,826 \cdot 10^{26} \mathrm{W}$. Předpokládejte, že záření dopadá na plachetnici kolmo a odráží se pružně.

Nápověda: Doporučujeme najít zrychlení při malé počáteční rychlosti $v_0$ a poté dosadit $v_0 = 0$.

Mějme kouli o poloměru $R$ a cyklickou nehmotnou gumičku o poloměru $r_0$ s tuhostí $k$, přičemž $r_0 < R$. Třecí koeficient mezi gumičkou a koulí je $f$. Určete podmínku pro hodnoty těchto parametrů, aby bylo možné přetáhnout gumičku přes kouli tak, že se gumičky budeme dotýkat jenom v jednom bodě.

Pro jednoduchost uvažujte, že gumička je pružná pouze v tečném směru (takže vždy leží v jedné rovině).

Změřte závislost průměru kráteru, vzniklého dopadem kamene do vhodného pískoviště, na hmotnosti kamene a na výšce vypuštění. Závisí velikost kráteru jenom na energii dopadu? Doporučujeme měřit, když je písek suchý.

Seriál začneme zkoumáním několika mechanických oscilátorů, u kterých nás bude zajímat především určení frekvence volných kmitů. Dále si zopakujeme, jak vypadá oscilátor ve fázovém prostoru.

1. Uvažujme dutý nehmotný kužel, do jehož špičky vložíme kámen o hmotnosti $M$. Kužel ponoříme špičkou napřed do vody o hustotě $\rho $, ve které bude plovat. Určete rovnovážnou hloubku ponoru kužele měřenou od špičky $h$, pokud je celková výška kužele $H$ a poloměr základny $R$. Dále nalezněte úhlovou frekvenci malých vertikálních kmitů kuželu.
2. Představme si závaží o hmotnosti $m$ přidělané na nehmotné pružině o tuhosti $k$ a klidové délce $L$. Pokud pružinu na druhém konci upevníme, dostaneme kyvadlo. Spočítejte přirozenou úhlovou frekvenci jeho oscilací, přičemž předpokládejte, že délka pružiny se během pohybu nemění. Následně určete malý rozdíl v úhlové frekvenci $\Delta \omega $, o který se úhlová rychlost tohoto kyvadla liší od případu, ve kterém je pružina nahrazena nedeformovatelnou tyčí se stejnou klidovou délkou. Přitom předpokládejte $k L \gg m g$.
3. V terénu, který se skládá z periodicky se opakujících parabol s výškou $H$ a šířkou $L$, se nachází kostka cukru s hmotností $m$. Popište její potenciální energii jako funkci souřadnice v horizontálním směru a následně načrtněte možné trajektorie jejího pohybu ve fázovém prostoru v závislosti na rychlosti $v_0$, kterou má při průchodu vrcholem paraboly. Na náčrtku označte všechny významné vzdálenosti. Pro výchylku použijte horizontální souřadnici, vhodně přizpůsobte jednotky hybnosti v horizontálním směru. Při výpočtech zanedbejte kinetickou energii pohybu kostky ve vertikálním směru a předpokládejte, že stále zůstává v kontaktu s terénem.

Jak těžké závaží můžeme zavěsit na konec ramínka věšáku bez toho, aby se převrhnul? Věšák je tvořen háčkem z velmi lehkého drátu, který je připevněn ke středu rovné dřevěné tyčky o délce $l=30 \mathrm{cm}$ a o hmotnosti $m=200 \mathrm{g}$. Háček má tvar kružnicového oblouku s poloměrem $r=2,5 \mathrm{cm}$ a s úhlovým rozpětím $\theta =240 \mathrm{\dg }$. Vzdálenost středu oblouku a středu tyčky je $h=5 \mathrm{cm}$. Veškeré tření zanedbejte.

Na mostě dlouhém $300 \mathrm{m}$ stojí nákladní vlak, jehož váha je rovnoměrně rozložena na plochu všech devíti ocelových pilířů mostu. Každý pilíř má podstavu tvaru čtverce se stranou $a = 2,0 \mathrm{m}$ a je vysoký $h=10 \mathrm{m}$. O kolik sa vlivem tíhy vlaku stlačí ocelové pilíře? Modul pružnosti oceli v tlaku je $E = 200 \mathrm{GPa}$, celková hmotnost vlaku je $m = 574 \mathrm{t}$.

Jáchym chce doma nakládat zelí, a tak si koupil válcový sud. Z obchodu ho však musí nějak dostat metrem domů. Sud i s víkem si můžeme představit jako dutý válec s vnějším poloměrem $r$ a s vnější výškou $h$. Šířka stěn, podstavy i víka je $t$. Sud je vyrobený z materiálu s hustotou $\rho $. S jakým největším zrychlením se může souprava metra pohybovat, aby se volně stojící sud vůči ní nijak nepohnul? Koeficient tření mezi podlahou vagónu a sudem je $f$.

1. Máme PET lahev s vodou, která stojí na rozlehlé rovině. V jaké výšce bychom měli vytvořit v láhvi malý otvor, aby voda dostříkla do nejdále od láhve? Láhev necháme stát na rovině a otvor prochází kolmo stěnou.
2. Kam bychom měli umístit otvor (viz předchozí podúloha), pokud chceme, aby byl dostřik nejdelší po jedné minutě? Předpokládejte, že láhev má konstantní průřez $S$ a otvor má výrazně menší průřez $s$. Pro numerické řešení odhadněte rozumné hodnoty konstant.
3. Jaký může mít baterie maximální výkon na spotřebiči, pokud má elektromotorické napětí $U_e$ a vnitřní odpor $R_i$? Pro jaký odpor spotřebiče to nastane? Respektive pro jakou impedanci to nastane, pokud bude obvod tvořen rezistorem, cívkou a kondenzátorem?
4. Jak nejblíže se k sobě mohou dostat dvě jádra dusíku $14$, která se pohybují se střední kvadratickou rychlostí odpovídající plynu za normálních podmínek?
5. Najděte maximální možnou teplotu, kterou by mohl mít plyn, ve kterém by probíhal děj $p = p_0 e^{-\alpha V}$, kde $\alpha $ je kladná konstanta a $p_0$ je tlak plynu v základním stavu.

Máme kosmonauta s hmotností $M$, který se v beztížném stavu vznáší ve vzdálenosti $l$ od stěny vesmírné stanice. Najednou se rozhodne, že těžké nářadí s hmotností $m$, které dosud držel v ruce, hodí po stanici ve směru kolmém na její stěnu. V jaké vzdálenosti od stěny kosmonaut bude, až do ní nářadí narazí?