Vyhledávání úloh podle oboru

Představte si dva rybáře sedící naproti sobě na březích řeky široké $30\, \jd{m}$. Zlatá rybka plavající ve vodě spolkne v jednu chvíli návnadu obou z nich. Vzdálenost od rybky k prvnímu rybáři je $17\, \jd{m}$, ke druhému $20\, \jd{m}$. V tu chvíli začnou oba rybáři navíjet, pořád rychleji a rychleji avšak oba zrychlují stejně. A my se ptáme, po jaké křivce (před jejím analytickým vyjádřením preferujeme její název) se rybka dostane na přímku mezi oběma navijáky.

Fykosák se (po absolvování letošního soustředění) rozhodne cvičit v hodu granátem. Nemá ale k dispozici rovný terén, tak hází ve svahu. Směrem dolů dokáže dohodit $62\, \jd{m}$, ale proti svahu jen $53\, \jd{m}$ (udělal mnoho pokusů, takže v obou případech nalezl optimální úhel). Určete sklon svahu.

Auto zrychlí z klidu na $100\, \jd{km\cdot h^{-1}}$ za půl minuty, přičemž ujede kilometr. Určete průběh rychlosti tak, aby se minimalizovala maximální velikost absolutní hodnoty zrychlení, kterého auto během pohybu dosáhne.

V dešťovém mraku je množství malých kapiček vody, jejichž hustotu (tj. celkovou hmotnost kapiček v nějakém objemu lomeno tímto objemem) označme $\rho_{1}$, hustotu vody $\rho_{0}$. Spojením několika kapiček vznikne větší kapka, která začne padat a postupně na sebe nabaluje další a další kapičky. Spočítejte, jak se bude měnit poloměr padající kapky, a s jakým zrychlením se bude pohybovat.

Pro jednoduchost neuvažujte odpor vzduchu působící na kapku a malé kapičky považujte za nehybné.

Mějme dvě na sebe kolmé nevodivé tyče a na nich nabité kuličky (viz obrázek), které se po nich mohou po tyčích volně pohybovat. Kuličky mají stejnou hmotnost $m$ a náboje $q$ a $-2q$. Na počátku jsou v klidu a jejich vzdálenost od průsečíku tyčí je $d$ a $2d$. Určete, kde se bude nacházet druhá kulička v okamžiku, kdy první dosáhle průsečíku tyčí.

V autoškole každého upozorňují na nebezpečí bočního větru při vjezdu ze závětří na otevřené prostranství. Zejména nebezpečné je to prý na dálnici při velké rychlosti.

Uvažujte konstatní rychlost bočního větru a spočtěte, jak se mění síla působící z boku v závislosti na rychlosti auta. Tvar auta předpokládejte takový, abyste úlohu dokázali vyřešit. Diskutujte vliv větru na následný pohyb vozidla.

• Dokažte, že těleso, které má v čase $t$ polohu $x = gt^{2}/2$ + $v_{0}t$ + $x_{0}$ se pohybuje se zrychlením $g$.

• Spočítejte $lim_{x→1}(x^{2} - 4x + 3)/(x^{2} + 2x - 3)$
• Nahraďte co nejlépe funkcí $f$ v okolí bodu $x = 0$ lineární funkcí, víte-li $f(0)=3$ a $f'(0)=-2$.

• Jaký je poměr výšky a průměru podstavy válce, který má při daném povrchu maximální objem?

Organizátor Fykosu dostal k narozeninám hračku, která je schematicky znázorněna na obr. Hračka, která slouží také jako záložka, se skládá z malého cínového kalíšku délky $l$ s cínovou kuličkou.

Poraďte organizátorovi, jakou rychlost má udělit kuličce, aby spadla do kalíšku. Uvažujme, že kalíšek je v klidu, je velmi malý v porovnání s délkou provázku a ztráty mechanické energie jsou minimální.

Bod, ve kterém má gravitační síla Země a Slunce stejnou velikost, je k Zemi blíže, než obíhá Měsíc. Proč tedy Měsíc neobíhá kolem Slunce?

Mějme volný hmotný bod, jehož klidová hmotnost je $m_{0}$ a který je v naší vztažné soustavě v klidu. V čase $t = 0$ začne na hmotný bod v našem systému působit konstantní urychlující síla o velikosti $F$.

• Vypočtěte časovou závislost rychlosti hmotného bodu v naší soustavě. Z této závislosti určete zrychlení hmotného bodu vůči našemu systému. (Řešte pouze pro časy $t>0$).

• V každém okamžiku můžeme s uvažovaným hmotným bodem spojit tzv. klidovou inerciální soustavu. Jak již název napovídá, jedná se o inerciální systém, ve kterém je hmotný bod v daném okamžiku v klidu. S jakým zrychlením se hmotný bod pohybuje ve svých klidových soustavách? Jak velká síla na něj v těchto systémech působí?