Vyhledávání úloh podle oboru

Mějme nádobu tvaru kvádru zanedbatelné hmotnosti o čtvercové podstavě strany $a$ a výšce $2a$. V této nádobě se nachází krychlové vodní těleso. V jaké maximální výšce $h$ ode dna můžeme naši nádobu zavěsit, aby se po zmrznutí vody převrátila? (Viz obrázek 2, který znázorňuje řez nádoby vertikální rovinou procházející těžištěm.) Uvažujte dva případy:

• nádoba je dokonale tuhá a voda zamrzá ode dna,

• voda si během zamrzání uchovává stále svůj krychlový tvar, nádoba je tedy dostatečně pružná. Přitom podél stěn led klouže, tedy výška závěsu nad podstavou zůstává konstantní.

Na obrázku 1 plove loďka. Její majitel, známý vynálezce a kutil Nezbeda, vyřešil problém bezvětrného počasí následujícím způsobem: na záď lodi připevnil výkonný fén značky Fukar a nasměroval jej vpřed přímo na malou lodní plachtu. Na vás teď je, abyste usoudili, za jakých podmínek se loďka rozjede vpřed či vzad. Můžete se také zamyslet nad tím, jaké zlepšovací návrhy byste Nezbedovi poradili, aby jeho pohon pracoval za bezvětří co nejefektivněji.

Dva stejné válce o poloměru $R$, jejichž osy jsou rovnoběžné a leží ve vodorovné rovině ve vzdálenosti $a$, rotují opačnými směry. Na tyto válce položíme vodorovně desku délky $2a$ o hmotnosti $m$ tak, že přečnívá vpravo více než vlevo (viz obr. 2). Mezi deskou a válcem působí tření s koeficientem $μ$. Co se bude dít s deskou,

• pokud jsou obvodové rychlosti stejně veliké,

• pokud je obvodová rychlost levého válce dvakrát větší než obvodová rychlost pravého?

Na obrázku je letecký snímek parních lokomotiv s oblaky dýmu, které se pohybují rovnoměrně po přímých rovnoběžných kolejích. Rychlost první parní lokomotivy je $v_{1}=50\;\mathrm{km} \cdot \mathrm{h}^{-1}$, rychlost třetí $v_{3}=70\;\mathrm{km} \cdot \mathrm{h}^{-1}$. Směry rychlostí jsou vyznačeny na obrázku. Jaká je rychlost $v_{2}$ druhé lokomotivy?

Kometární rodina Jupiteru vzniká následujícím způsobem (viz. obrázek). Kometa přilétá k Jupiteru z velké vzdálenosti s téměř nulovou počáteční rychlostí. Po opuštění Jupiterova gravitačního pole (přesně sféry gravitačního vlivu Jupitera), má její rychlost (vzhledem ke Slunci) přesně opačný směr než rychlost Jupitera. Poté se pohybuje opět v gravitačním poli Slunce. V jaké vzdálenosti od něj se bude nacházet perihelium dráhy komety a jaká je její oběžná doba (jaká je velikost velké poloosy dráhy komety)? Uvažujte, že Jupiter obíhá kolem Slunce po kružnici o poloměru $R=5,2\;\mathrm{AU}$.

Tři planetky o stejné hmotnosti $M=10^{26}\; \textrm{g}$ jsou umístěny ve vrcholech rovnostranného trojúhelníka o straně $l=100\; \textrm{Gm}$ [gigametry]. Nemajíce počáteční rychlosti nezbývá jim než padat vstříc jisté záhubě. Určete, za jak dlouho se srazí (rozměry planetek zanedbejte).

Chceme-li demonstrovat metodu řešení soustavy rovnic na našem skokanovi, budeme muset přidat další podmínku: dejme tomu, že první dopad na prkno se mu zdál příliš tvrdý; rozhodl se tedy rozkývat prkno natolik (změnit amplitudu kmitů), aby druhá srážka s prknem proběhla se zanedbatelnou vzájemnou rychlostí. Tedy jak hodnota Funkce, tak Derivace (uvedená v minulém díle) byla v okamžik srážky rovna nule. Vašim úkolem je najít potřebnou amplitudu $A_{n}$ a dobu druhého skoku $T_{n}$ (odráží se opět dole).

Nabitá částice vstupuje do prostředí, ve kterém na ni působí odporová síla. Směr této síly je opačný, než směr rychlosti částice, a její velikost je rychlosti přímo úměrná. Než se částice zastaví, urazí v prostředí dráhu $l_{1}=10\;\mathrm{cm}$. Je-li v prostředí navíc homogenní magnetické pole kolmé na směr rychlosti částice, pak se částice zastaví ve vzdálenosti $l_{2}=6\;\mathrm{cm}$ od místa, kde do prostředí vstoupila. V jaké vzdálenosti $l_{3}$ od místa vstupu do prostředí se částice zastaví, když bude magnetické pole dvakrát menší?

Dřevěný válec o poloměru $R$ a hmotnosti $m$ se valil po podlaze rychlostí $v$ do okamžiku, kdy se zarazil o zeď. O jaký úhel se ještě válec pootočí, než se úplně zastaví? Koeficient tření mezi válcem a stěnou resp. podlahou je $μ$.

Malý Bobeš přitáhl pod kopec sáňky. Hledí na jeho vrchol, který je o $h$ metrů výše než on a vzdálený (vodorovně) $l$ metrů. Těžké sáňky o hmotnosti $m$ drhnou na čerstvém sněhu s koeficientem tření $f$. Přemýšlí, při jakém tvaru svahu by se dostal nahoru s vynaložením nejmenší práce. Co mu poradíte (dřív než tam zmrzne, filosof jeden)? Zkuste tuto práci pro zvolený tvar svahu také vypočítat.