Vyhledávání úloh podle oboru

Představme si, že v přístavu vyšel z hospody H kapitán Brown. Kapitán je zcela opitý, a tak kráčí náhodně (krok vpřed i vzad jsou stejně pravděpodobné). Předpokládejme, že kráčí podél mola v přímkové dráze. Snaží se dojít ke své lodi, která kotví $k$ kroků od výchozího bodu H.

Nalezněte pravděpodobnost, že po $n$ krocích kapitán dojde ke své lodi. Úlohu se pokuste řešit analyticky, tj. přímo nalezněte hledanou pravděpodobnost $p=p(n,k)$. Úlohu se také pokuste modelovat. Pomocí vhodného generátoru náhodných čísel. (Zkuste třeba házet mincí, eventuelně použít mikropočítač atp.) nechte mnohokrát vyjít námořníka z počátečního bodu a sledujte v kolika pokusech dojde ke své lodi. (Zkuste číselně pro $n=20$, $k=8$).

Rozřešení předchozí úlohy použijte k zodpovězení této otázky: kapitán udělá $n$ kroků; jaká je střední hodnota druhé mocniny jeho vzdálenosti od bodu H?

Návod: Požadované střední hodnoty jsou definovány takto. $$\langle r\rangle=\sum_{k}p(n,k)\cdot k \langle r^2\rangle=\sum_{k}p(n,k)\cdot k^2$$ Potřebné pravděpodobnosti $p(n,k)$ můžete odhadnout z vašich modelových pokusů, i když je neznáte analyticky.

Dovedli byste zdůvodnit analogii mezi kráčením kapitána Browna s pohybem pylových zrnek v kapalině? Je z hlediska vámi spočtených středních hodnot $\langle r\rangle$, $\langle r^2\rangle$ podstatné, že kapitán Brown kráčí v přímce, kdežto pylová zrnka se pohybují v rovině?