Vyhledávání úloh podle oboru

Databáze úloh FYKOSu odjakživa

astrofyzika (85)biofyzika (18)chemie (24)elektrické pole (71)elektrický proud (76)gravitační pole (81)hydromechanika (146)jaderná fyzika (44)kmitání (57)kvantová fyzika (31)magnetické pole (43)matematika (89)mechanika hmotného bodu (298)mechanika plynů (87)mechanika tuhého tělesa (221)molekulová fyzika (72)geometrická optika (78)vlnová optika (65)ostatní (167)relativistická fyzika (37)statistická fyzika (21)termodynamika (155)vlnění (51)

ostatní

(10 bodů)3. Série 31. Ročníku - S. na procházce s integrály

  1. Vymyslete tři odlišné příklady markovovského procesu, z toho alespoň jeden fyzikální. Je procházka bez návratu markovovská? A co procházka bez křížení?
  2. Mějme 2D náhodnou procházku bez návratu na čtvercové síti s počátkem v bodě $(x,y) = (0,0)$, která je omezena absorpčními bariérami $b_1: y = -5$, $b_2: y = 10$. Nalezněte pravděpodobnost, že v bariéře $b_1$ skončíme dříve než v $b_2$.
  3. Proveďte simulaci pohybu brownovské částice ve 2D a vykreslete graf závislosti střední vzdálenosti od počátku na čase. Uvažujeme diskrétní čas a konstantní délku kroku (jeden krok simulace trvá $\Delta t = \textrm{konst.} $, délka kroku je $\Delta l = \textrm{konst.} $) a umožňujeme pohyb do libovolného směru, tj. každý krok je specifikován délkou a úhlem $\theta \in [0,2\pi )$, přičemž všechny směry jsou stejně pravděpodobné. Zajímá nás především asymptotické chování, tedy vývoj střední vzdálenosti pro $t \gg \Delta t$.
  4. Chybová funkce je definována vztahem \[ \mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x \eu^{-t^2}\,\d t\,.\] Tabelujte tuto funkci, tedy vypočtěte integrál pro mnoho různých $x$. Do řešení nevkládejte tabulku hodnot, ale graf funkce. Zkuste tuto funkci opět numericky zderivovat. Co dostanete?
  5. Najděte si definici hustoty pravděpodobnosti Maxwellova-Boltzmannova rozdělení $f(v)$, tedy rozdělení rychlostí molekul ideálního plynu. Spočítejte pak pomocí MC integrace střední hodnotu rychlosti definovanou \[ \langle v\rangle = \int_0^{\infty} v f(v)\,\d v\,, \] přičemž pro vzorkování použijte náhodná čísla dle Maxwellova-Boltzmannova rozdělení získaná Metropolisovým-Hastingsovým algoritmem. Hodnotu pro konkrétní zvolené parametry srovnejte s hodnotou z literatury.

Mirek a Lukáš se náhodně procházejí do školy.

(3 body)2. Série 31. Ročníku - 1. Zuběnka

Jak velké skladovací prostory by musela mít Víla Zubnička, aby mohla skladovat všechny mléčné zuby všech dětí? Resp. jakým tempem by její nároky na uskladnění rostly? Za jakou dobu by teoreticky měla ve svých skladech většinu zásob fosforu na Zemi?

Karel se myšlenkách vrací na Zeměplochu.

(12 bodů)2. Série 31. Ročníku - E. sypká

Změřte sypný úhel alespoň 2 látek běžně používaných v kuchyni (např. mouka, cukr, sůl apod.).

Michal se málem sesypal.

(10 bodů)2. Série 31. Ročníku - S. derivace a Monte Carlo integrace

 

  1. Vykreslete závislost chyby na velikosti kroku pro metodu odvozenou pomocí Richardsonovy extrapolace v textu seriálu. Jaký je optimální krok a minimální chyba? Porovnejte s centrovanou a dopřednou diferencí. Jako derivovanou funkci použijte $\exp(\sin(x))$ v bodě $x=1$.
    Bonus: Vypočtěte pro tuto metodu teoretickou velikost optimálního kroku pomocí odhadu chyb.
  2. Na webu se nachází soubor s experimentálně zjištěnými $t$, $x$ a $y$ souřadnicemi poloh hmotného bodu. Pomocí numerické derivace nalezněte časovou závislost složek rychlosti a zrychlení a vyneste obě závislosti do grafu. Jaký fyzikální děj bod nejspíše konal? Numerickou metodu si zvolte sami, svoji volbu ale odůvodněte.
    Bonus: Existuje v tomto případě přesnější varianta získání rychlosti a zrychlení, než přímočará aplikace numerické derivace?
  3. Máme zadán integrál $\int _0^{\pi } \sin ^2 x\,\d x$.
    1. Nalezněte hodnotu integrálu z geometrické úvahy za pomoci Pythagorovy věty.
    2. Nalezněte hodnotu integrálu pomocí Monte Carlo simulace. Určete směrodatnou odchylku výsledku.
      Bonus: Vyřešte Buffonovu úlohu ze seriálu (odhad hodnoty čísla $\pi$) pomocí MC simulace.
  4. Nalezněte vztah pro výpočet objemu šestidimenzinální koule pomocí metody Monte Carlo.
    Nápověda: Pythagorovu větu lze využít k měření vzdáleností i ve vyšších dimenzích.

Mirek a Lukáš čtou dokumentaci k Pythonu.

(10 bodů)1. Série 31. Ročníku - S. Rozjezdová

 

  1. Upravte výraz $\sqrt {x+1}-\sqrt {x}$ tak, aby nebyl náchylný k problémům cancellation, ordering a smearing. Ke kterým z těchto problémů byl původně náchylný a proč? Jaký je rozdíl ve výsledku původního a opraveného výrazu, pokud jej vyčíslíme v double precision pro $x=1{,}0 \cdot 10^{10}$?
  2. Popište funkci následujícího kódu. Jaký je rozdíl mezi funkcemi a() a b()? Pro jaké hodnoty x je lze použít? Nebojte se kód spustit a hrát si s hodnotou proměnné x. Určete také asymptotickou časovou složitost programu v závislosti na proměnné x.
    def a(n):
      if n == 0:
        return 1
      else:
        return n*a(n-1)
    def b(n):
      if n == 0:
        return 1.0
      else:
        return n*b(n-1)
    x=10
    print("{} {} {}".format(x, a(x), b(x)))
  3. Označme $o_k$ a $O_k$ obvod vepsaného a opsaného pravidelného $k$-úhelníku ke kružnici. Pak pro ně platí rekurentní vztahy \[\begin{equation*} O_{2k}=\frac {2o_k O_k}{o_k + O_k} ,\; o_{2k}=\sqrt {o_k O_{2k}} . \end {equation*}\] Napište program, který pomocí těchto vztahů vypočítá hodnotu $\pi $, začněte přitom s opsaným a vepsaným čtvercem. S jakou přesností dokážete $\pi $ takto aproximovat? Obdobu tohoto postupu původně navrhl a použil Archimedes.
  4. Lukáš a Mirek hrají hru. Házejí férovou mincí a když padne orel, dá Mirek Lukášovi jedno Fykosí tričko, když padne panna, dá jedno tričko Lukáš Mirkovi. Oba dohromady mají $t$ triček, z toho $l$ patří Lukášovi a $m$ Mirkovi. Pokud jednomu z hráčů dojdou trička, hra končí.
    1. Nechť $m = 3$ a Lukášova zásoba triček je nekonečná. Určete nejpravděpodobnější dobu trvání hry, tedy počet hodů mincí, po nichž hra skončí (protože Mirkovi dojdou trička).
    2. Nechť $m = 10$, $l = 20$. Proveďte simulaci pomocí generátoru pseudonáhodných čísel a nalezněte pravděpodobnost, že Mirek vyhraje všechna Lukášova trička. Celou hru nechejte proběhnout alespoň 100krát (čím více opakování, tím lépe).
    3. Jak se změní výsledek předchozí úlohy, jestliže Mirek minci „vylepší“ a panna nyní padá s pravděpodobností $5/9$?
      Bonus: Vypočtěte pravděpodobnosti analyticky a porovnejte výsledek se simulací.
  5. Mějme lineární kongruenční generátor s parametry $a = 65539$, $m = 2^{31}$, $c = 0$.
    1. Vygenerujte alespoň $1 000$ čísel a spočtěte jejich střední hodnotu a rozptyl. Porovnejte se střední hodnotou a rozptylem rovnoměrného rozdělení na stejném intervalu.
    2. Nalezněte vztah, který vyjádří číslo v generované sekvenci jako lineární kombinaci čísel na dvou předchozích pozicích, tj. nalezněte koeficienty $A$, $B$ v rekurentním vztahu $x_{k+2} = Ax_{k+1} + Bx_k$. Pokud budeme považovat každá tři po sobě následující čísla za souřadnice bodu ve trojrozměrném prostoru, jak rekurentní vztah ovlivní prostorové rozložení těchto bodů?
      Bonus: Vygenerujte sekvenci alespoň $10 000$ čísel a vykreslete 3D bodový graf, který ilustruje význam uvedeného rekurentního vztahu.

Mirek a Lukáš oprašovali staré učební texty.

(3 body)0. Série 31. Ročníku - 2. Carnotův počítač

Spočítejte účinnost procesoru, kterou definujeme pomocí snížení entropie dat a tepelného výkonu. Veškeré potřebné údaje si dohledejte.

(9 bodů)0. Série 31. Ročníku - P. teoretická

Jak všichni dobře víme, na velmi malých rozměrech dobře funguje kvantová teorie pole. Na kosmických škálách se naopak projevuje především obecná teorie relativity. Vymyslete konzistentní teorii, která obě předchozí teorie sjednotí.

(12 bodů)6. Série 30. Ročníku - E. skladba jako od Cimrmana

Sežeňte si skleničku na víno, ideálně tenkou se zabroušeným okrajem. Nejprve změřte vnitřní průměr skleničky v závislosti na výšce ode dna. Pak ji rozeznívejte, ideálně navlhčeným prstem pohybem po jejím okraji – někdy to chce trochu trpělivosti. Změřte závislost frekvence tónů, které sklenička vydává v závislosti na výšce naplnění vody v ní (alespoň pro 5 hladin vody a dvě frekvence v každé výšce).

Nápověda: Pokud je sklenička tenkostěnná, můžete její vnitřní rozměry považovat za stejné jako vnější a díky tomu závislost jejího průměru na výšce určit z vhodné fotografie s měřítkem. Pro měření zvuku doporučujeme freeware program Audacity (Rozbor → Kreslit spektrum).

Karel si rád hraje se skleničkami na společenských večeřích.

(12 bodů)5. Série 30. Ročníku - E. vlasec

Změřte modul pružnosti v torzi vlasce $G$, který jsme vám poslali společně se zadáním.

(3 body)4. Série 30. Ročníku - 1. svitková relativita

Pohádkové postavy to nemají lehké, chtějí-li zjistit, kdy se objevují na scéně. Dnešní technika jim to ale usnadňuje. Třeba princezna Pointa z pohádky o délce šest kapitol. Všechny kapitoly jsou stejně dlouhé, a tak každá na Karlově displeji měří $1200$ pixelů na výšku (samotný displej ale zobrazí jen výšku $900\; \mathrm{px}$). Při čtení Karel souvisle scrolluje a navíc čte pořád stejně rychle. Po třech minutách od začátku čtení Pointa minula první konec posuvníku ve scrollbaru a po sedmi minutách i druhý. V kolikáté kapitole se objeví Pointa?

Poznámka: Poměr výšky posuvníku vůči výšce displeje je stejný jako poměr výšky displeje vůči výšce celého textu pohádky.

Michalovi prokluzoval scrollbar.

Tato stránka využívá cookies pro analýzu provozu. Používáním stránky souhlasíte s ukládáním těchto cookies na vašem počítači.Více informací

Pořadatelé a partneři

Pořadatel

Pořadatel MSMT_logotyp_text_cz

Generální partner

Hlavní partner

Partner

Mediální partner


Created with <love/> by ©FYKOS – webmaster@fykos.cz