Vyhledávání úloh podle oboru

Kačka a Katka sledují loď plující konstantní rychlostí do přístavu. Kačka stojí na skále nad přístavem, přičemž má oči ve výšce $h_1 = 20 \mathrm{m}$ nad hladinou. Katka se nachází dole pod skálou, její oči jsou v nadmořské výšce $h_2 = 1,7 \mathrm{m}$. Pokud Katka zahlédne na obzoru vrchol blížící se lodi se zpožděním $t = 25 \mathrm{min}$ oproti Kačce, za jak dlouho loď vysoká $h = 30 \mathrm{m}$ dopluje do přístavu? Zemi považujte za dokonalou kouli se známým poloměrem.

Karlovo auto, jedoucí rychlostí $v_0$, zastaví na vzdálenosti $s_0$ při použití konstantní brzdné síly $F_0$. Kolikrát delší bude brzdná dráha při stejné síle, ale dvojnásobné počáteční rychlosti? Kolikrát větší musí být brzdná síla, aby auto zastavilo na stejné dráze při dvojnásobné počáteční rychlosti?

Vašek jede za větrného počasí na kole. Jede-li rovně rychlostí $v = 10 \mathrm{km\cdot h^{-1}}$, naměří, že proti němu fouká vítr vodorovně pod úhlem $25\dg $ od směru jízdy. Při vyšší rychlosti $v' = 20 \mathrm{km\cdot h^{-1}}$ je tento úhel už jenom $15\dg $. Určete rychlost a směr větru vzhledem k nehybnému pozorovateli.

Ve vzdálenosti $0,8 \mathrm{au}$ od Slunce se vznáší solární plachetnice ve tvaru tenké desky o ploše $S = 500 \mathrm{m^2}$ s plošnou hustotou $\sigma =1,4 \mathrm{kg\cdot m^{-2}}$. Jakou silou na ni působí záření dopadající ze Slunce v okamžiku, kdy se plachetnice právě začíná pohybovat? Jaké bude v mít tu chvíli zrychlení? Zářivý výkon Slunce je $L_{\odot } =3,826 \cdot 10^{26} \mathrm{W}$. Předpokládejte, že záření dopadá na plachetnici kolmo a odráží se pružně.

Nápověda: Doporučujeme najít zrychlení při malé počáteční rychlosti $v_0$ a poté dosadit $v_0 = 0$.

Mějme kouli o poloměru $R$ a cyklickou nehmotnou gumičku o poloměru $r_0$ s tuhostí $k$, přičemž $r_0 < R$. Třecí koeficient mezi gumičkou a koulí je $f$. Určete podmínku pro hodnoty těchto parametrů, aby bylo možné přetáhnout gumičku přes kouli tak, že se gumičky budeme dotýkat jenom v jednom bodě.

Pro jednoduchost uvažujte, že gumička je pružná pouze v tečném směru (takže vždy leží v jedné rovině).

Změřte závislost průměru kráteru, vzniklého dopadem kamene do vhodného pískoviště, na hmotnosti kamene a na výšce vypuštění. Závisí velikost kráteru jenom na energii dopadu? Doporučujeme měřit, když je písek suchý.

Seriál začneme zkoumáním několika mechanických oscilátorů, u kterých nás bude zajímat především určení frekvence volných kmitů. Dále si zopakujeme, jak vypadá oscilátor ve fázovém prostoru.

1. Uvažujme dutý nehmotný kužel, do jehož špičky vložíme kámen o hmotnosti $M$. Kužel ponoříme špičkou napřed do vody o hustotě $\rho $, ve které bude plovat. Určete rovnovážnou hloubku ponoru kužele měřenou od špičky $h$, pokud je celková výška kužele $H$ a poloměr základny $R$. Dále nalezněte úhlovou frekvenci malých vertikálních kmitů kuželu.
2. Představme si závaží o hmotnosti $m$ přidělané na nehmotné pružině o tuhosti $k$ a klidové délce $L$. Pokud pružinu na druhém konci upevníme, dostaneme kyvadlo. Spočítejte přirozenou úhlovou frekvenci jeho oscilací, přičemž předpokládejte, že délka pružiny se během pohybu nemění. Následně určete malý rozdíl v úhlové frekvenci $\Delta \omega $, o který se úhlová rychlost tohoto kyvadla liší od případu, ve kterém je pružina nahrazena nedeformovatelnou tyčí se stejnou klidovou délkou. Přitom předpokládejte $k L \gg m g$.
3. V terénu, který se skládá z periodicky se opakujících parabol s výškou $H$ a šířkou $L$, se nachází kostka cukru s hmotností $m$. Popište její potenciální energii jako funkci souřadnice v horizontálním směru a následně načrtněte možné trajektorie jejího pohybu ve fázovém prostoru v závislosti na rychlosti $v_0$, kterou má při průchodu vrcholem paraboly. Na náčrtku označte všechny významné vzdálenosti. Pro výchylku použijte horizontální souřadnici, vhodně přizpůsobte jednotky hybnosti v horizontálním směru. Při výpočtech zanedbejte kinetickou energii pohybu kostky ve vertikálním směru a předpokládejte, že stále zůstává v kontaktu s terénem.

Jak těžké závaží můžeme zavěsit na konec ramínka věšáku bez toho, aby se převrhnul? Věšák je tvořen háčkem z velmi lehkého drátu, který je připevněn ke středu rovné dřevěné tyčky o délce $l=30 \mathrm{cm}$ a o hmotnosti $m=200 \mathrm{g}$. Háček má tvar kružnicového oblouku s poloměrem $r=2,5 \mathrm{cm}$ a s úhlovým rozpětím $\theta =240 \mathrm{\dg }$. Vzdálenost středu oblouku a středu tyčky je $h=5 \mathrm{cm}$. Veškeré tření zanedbejte.

Na mostě dlouhém $300 \mathrm{m}$ stojí nákladní vlak, jehož váha je rovnoměrně rozložena na plochu všech devíti ocelových pilířů mostu. Každý pilíř má podstavu tvaru čtverce se stranou $a = 2,0 \mathrm{m}$ a je vysoký $h=10 \mathrm{m}$. O kolik sa vlivem tíhy vlaku stlačí ocelové pilíře? Modul pružnosti oceli v tlaku je $E = 200 \mathrm{GPa}$, celková hmotnost vlaku je $m = 574 \mathrm{t}$.

Jáchym chce doma nakládat zelí, a tak si koupil válcový sud. Z obchodu ho však musí nějak dostat metrem domů. Sud i s víkem si můžeme představit jako dutý válec s vnějším poloměrem $r$ a s vnější výškou $h$. Šířka stěn, podstavy i víka je $t$. Sud je vyrobený z materiálu s hustotou $\rho $. S jakým největším zrychlením se může souprava metra pohybovat, aby se volně stojící sud vůči ní nijak nepohnul? Koeficient tření mezi podlahou vagónu a sudem je $f$.