Vyhledávání úloh podle oboru

Mějme nekonečný drát stočený do pravotočivé šroubovice (helixu). Drát je rovnoměrně nabitý a osa helixu je totožná s osou $z$. Do vzniklého pole pošleme nabitou částici (drát je tenký, takže do něj částice nenarazí). V jistém časovém okamžiku známe její $p_{z}$ a $L_{z}$, tedy $z$ové komponenty hybnosti a momentu hybnosti. Můžeme v jiném okamžiku určit $p_{z}$, známe-li v tomto okamžiku $L_{z}?$

(Problém lze vyřešit zcela exaktně. Naproti tomu není určitě nezajímavé zkusit situaci počítačově simulovat a dostat tak hledanou závislost v podstatě experimentálně, v případě ověřit teoretickou předpověď.)

• Autíčko o hmotnosti $m$ se rozjíždí z klidu tak, že výkon $P$ je konstantní. Určete závislost zrychlení, rychlosti a polohy na čase. Návod: znáte-li výkon, je jednoduché určit závislost kinetické energie autíčka na čase.

• Autíčko jede při maximálním výkonu do kopce rychlostí

$v_{1}=95~\jd{km.h^{-1}}$. Ze stejného kopce dolů jede při plném výkonu rychlostí $v_{2}=162~\jd{km.h^{-1}}$. Jak rychle pojede po rovině? Odporová síla je úměrná $v^{2}$.

Brouček o hmotnosti $m$ stojí na obruči o hmotnosti $M$ a poloměru $r$, tato obruč leží na absolutně hladkém vodorovném stole. Náhle se brouček něčeho lekne a dá se do běhu. Poběží po obruči. Vaším úkolem je popsat trajektorii středu obruče (za předpokladu nulového tření mezi obručí a stolem).

Mějme pevně upevněný válec o poloměru $R_{V}$ umístěný ve vakuu mimo jakékoliv silové pole. K tomuto válci připevníme (např. přilepíme) jeden konec niti, která má mez pevnosti v tahu $σ_{t}$, poloměr $r$ a délku $l$, na jejímž druhém konci je upevněna olověná kulička o hmotnosti $m$. Nit napneme a kuličce udělíme rychlost $v_{0}$, jejíž směr bude kolmý na napnutou nit a na osu válce. Nit se začne na válec namotávat. Určete, v jaké vzdálenosti od válce se kulička utrhne a jaká bude v tomto okamžiku její rychlost.

Řešte nejprve obecně a pak pro hodnoty: $v_{0}=1\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$, $m=2\;\mathrm{kg}$, $r=0,2\;\mathrm{mm}$, $σ_{t}=160\,\jd{MPa}$, $R_{V}=5\;\mathrm{cm}$, $l=2\;\mathrm{m}$.

Dokonale pružnou ocelovou kuličku spustíme z výšky $h$ (měřeno od místa dopadu) na nakloněnou rovinu, svírající s vodorovnou rovinou úhel $α$. Ve vzdálenosti $d$ od místa dopadu kuličky (ve směru klesání roviny) je svislá stěna. Určete jak vysoko (nad místem dopadu) v ní musíme udělat otvor, aby jím kulička proletěla. Řešte nejprve obecně a pak pro hodnoty $h=50\;\mathrm{cm}$, $d=15\;\mathrm{cm}$, $α=15^{\circ}$. Diskutujte pohyb kuličky v případě, že nakloněná rovina je nekonečná a kuličce nic v cestě nestojí.

Na tyči zanedbatelné hmotnosti o celkové délce $4a$ jsou navlečeny symetricky ve vzdálenosti $a$ od osy otáčení dvě koule o hmotnosti $m$. Na obou koncích tyče jsou umístěny dokonale pružné odrazné destičky. Tyč je roztočena na úhlovou rychlost $ω_{0}$ a poté jsou uvolněny obě koule. Za předpokladu, že se tyč nadále pohybuje volně a bez tření určete:

• Po jaké trajektorii se budou pohybovat obě kuličky vzhledem k pozorovateli v inerciální soustavě.
• Jak se bude měnit úhlová rychlost soustavy $ω$ v závislosti na čase.
• Jak by se změnily výsledky předešlých úloh, kdybychom udržovali (např. pomocí motoru) úhlovou rychlost na konstantní hodnotě $ω_{0}$.

Jeden náš řešitel, který se vracel ze soustředění za deštivého počasí vlakem domů si všiml, že kapky na skle vytvářejí přímé stopy. Změřil, že jsou od svislého směru odkloněny o úhel $α=35^{o}$. Určete jakou rychlostí jel vlak, mají-li kapky poloměr $r=2\;\mathrm{mm}$.

Představte si, že po přímé silnici jedou dva automobily o hmotnosti $m$ konstantní rychlostí $v$. Jeden z nich pak zrychlí na rychlost $2v$ a jeho kinetická energie se tím zvětší o $3mv^{2}/2$. Při pohledu ze soustavy spojené s druhým autem zrychlí první z nulové rychlosti na rychlost $v$, čímž získá kinetickou energii $mv^{2}/2$. Vysvětlete, jak je to možné, když z hlediska obou soustav by se měla uvolnit stejná energie paliva.

Spočtěte práci, kterou musí vykonat námořník na to, aby svinul plachtu o hmotnosti $M$, která má šířku $a$ a výšku $b$. Plachta visí celá svisle dolů z ráhna a námořník ji navíjí na ráhno konstantní rychlostí.

Člověk padá z můstku do bazénu, přičemž v bazénu je voda a můstek je ve výšce $h$ nad hladinou. Náš skokan má hmotnost $M=80\;\mathrm{kg}$, hustotu $ρ=0,9\; \textrm{g}\cdot \mathrm{cm}^{-3}$, je vysoký $L=1,7\;\mathrm{m}$ a na počátku skoku (volného pádu) byl v klidu. Do jaké největší hloubky $H$ se skokan ponoří? Jaký bude jeho další pohyb? Odpor vodního prostření:

• zanedbejte
• nezanedbejte