Vyhledávání úloh podle oboru

Databáze úloh FYKOSu odjakživa

astrofyzika (79)biofyzika (18)chemie (20)elektrické pole (68)elektrický proud (70)gravitační pole (78)hydromechanika (137)jaderná fyzika (40)kmitání (53)kvantová fyzika (28)magnetické pole (39)matematika (85)mechanika hmotného bodu (276)mechanika plynů (80)mechanika tuhého tělesa (209)molekulová fyzika (68)geometrická optika (73)vlnová optika (60)ostatní (157)relativistická fyzika (36)statistická fyzika (20)termodynamika (141)vlnění (48)

jaderná fyzika

5. Série 21. Ročníku - S. posloupnosti, horká dutina a bílý trpaslík

 

  • Odvoďte Taylorův rozvoj exponenciály a pro $x=1$ graficky znázorněte posloupnost částečných součtů řady $\sum_{k=1}^{∞}1⁄k!$ spolu s posloupností ${ ( 1 - 1 ⁄ n)^{n}}_{n=1,2,\ldots}$.

Stejným způsobem porovnejte posloupnost ${ ( 1 - 1 ⁄ n)^{n}}_{n=1,2,\ldots}$ a posloupnost částečných součtů řady $\sum_{k=1}^{∞}x^{k}⁄k!$, čili posloupnost ${\sum_{k=1}^{n}x^{k}⁄k!}_{n=1,2,\ldots}$, tentokráte však pro $x=-1$.

  • Druhý úkol bude určit závislost koncentrace elektronů a pozitronů na teplotě při celkovém náboji $Q=0$ v prázdné uzavřené horké dutině.

(Bude-li se vám chtít, i při jiných vámi zvolených hodnotách $Q.)$ Dále určete závislost poměru vnitřní energie $U_{e}$ elektronů a pozitronů ku celkové vnitřní energii systému $U$ (tj. součtu energie elektromagnetického záření a částic) na teplotě a určit hodnoty teploty odpovídající některým význačným hodnotám tohoto poměru (např. 3 ⁄ 4, 1 ⁄ 2, 1 ⁄ 4, …; může tento poměr nabývat všech těchto hodnot?).

Pokuste se své výsledky pěkně graficky zpracovat ve formě grafů (můžete zkusit i trojrozměrné).

Při vašem snažení vám může hodně pomoci, pokud si zavedete vhodné bezrozměrné jednotky (např. $βE_{0}$ místo $β$ apod.).

  • Řešte soustavu diferenciálních rovnic pro $M(r)$ a $ρ(r)$ v modelu bílého trpaslíka pro několik vhodně zvolených hodnot $ρ(0)$

a pro každou z nich sledujte hodnotu, ke které se blíží $M(r)$ při $r→∞$. Ta je zřejmě rovna hmotnosti celé hvězdy. Pokuste se prozkoumat závislost této celkové hmotnosti na $ρ(0)$ a odhadnout její horní mez. Srovnejte váš výsledek s horní mezí hmotnosti bílého trpaslíka, kterou najdete v literatuře nebo na internetu. Uvažujte, že je hvězda tvořena héliem.

Zadali autoři seriálu Marek Pechal a Lukáš Stříteský.

4. Série 21. Ročníku - S. kvantový harmonický oscilátor

Modelujte časový vývoj vlnové funkce částice, kterou umístíme do potenciálu $V(x)=\frac{1}{2}kx$ a která je v čase $τ=0$ popsána vlnovou funkcí

$ψ_{R}(X,0)=\exp(-((X-X_{0}))⁄4)$,

ψ$_{I}(X,0)=0$.

Jedná se tedy o vlnový balík se středem mimo počátek. Prozradíme vám, že jde o tzv. koherentní stav harmonického oscilátoru a vlnový balík by měl harmonicky kmitat kolem počátku s úhlovou frekvencí $\sqrt{k⁄m}$ stejně jako klasická částice.

Pokud se vám toto podaří namodelovat, můžete vyzkoušet, jak se budou chovat vlnové balíky o jiné šířce (tedy se jmenovatelem v exponenciále odlišným od čtyř), případně jak bude situace vypadat při jiném průběhu potenciálu.

Zadal autor seriálu Marek Pechal.

2. Série 21. Ročníku - S. porcování divokých rovin

Skladování uranu

Palčivá otázka jaderné energetiky je skladování vyhořelého radioaktivního paliva. Většinou se skladuje ve válcových článcích ponořených ve vodní lázni, která drží jejich povrch na konstantní teplotě asi $20\,\jd{ °C}$. Na vás je nyní zjistit, jaké bude rozložení teploty v článcích tvaru kvádru se čtvercovou podstavou o hraně délky $20\,\jd{ cm}$. Článek bude poměrně vysoký a proto nás zajímá rozložení tepla v příčném řezu. Uran bude zaujímat koncentrický kvádr se čtvercovou podstavou o hraně $5\,\jd{ cm}$. Ze zkušenosti s válcovými kapslemi víme, že bude mít konstantní teplotu okolo $200\,\jd{ °C}$.

Zahřívající se drát

Máme velmi dlouhý drát kruhového průřezu o poloměru $r$ z materiálu o tepelné vodivosti $λ$ a měrné elektrické vodivosti $σ$. Přiložíme na něj konstantní elektrické napětí. Nechť je intenzita elektrického pole (tj. napěťový spád) uvnitř drátu konstantní, rovnoběžná s jeho osou a její velikost budiž $E$. Pak drátem bude procházet proud o plošné hustotě $j=σE$ a bude se vytvářet Jouleovské teplo s objemovým výkonem $p=σE$.

Protože materiál drátu má nenulovou tepelnou vodivost, vytvoří se v něm jisté rovnovážné rozložení teploty, které – jak víme – splňuje Poissonovu rovnici $λΔT=-p$. Předpokládáme, že okraj drátu udržujeme na dané teplotě $T_{0}$. Tím máme dánu okrajovou podmínku potřebnou k vyřešení rovnice. Vzhledem k symetrii problému se můžeme omezit na její řešení pouze ve dvou rozměrech – na průřezu vodiče (teplota jistě nebude záviset na posunutí podél osy vodiče). Nyní by již bylo jednoduché problém vyřešit popsanými metodami.

My si však situaci maličko zkomplikujeme a budeme předpokládat (zcela oprávněně), že měrná elektrická vodivost $σ$ závisí na teplotě. Budeme tedy mít rovnici typu $ΔT=f(T)$.

Pokuste se tuto rovnici numericky vyřešit pro nějakou danou závislost vodivosti na teplotě (můžete si ji najít v literatuře, na internetu, nebo si klidně nějakou vymyslet) a najít tak rozložení teploty na průřezu drátu. Můžete se pokusit měnit intenzitu elektrického pole $E$ a nakreslit voltampérovou charakteristiku drátu, vyzkoušet více druhů závislostí $σ(T)$ (třeba pro polovodič, jehož vodivost s rostoucí teplotou na rozdíl od obyčejného kovu roste) atd.

Vaší iniciativě samozřejmě meze neklademe a těšíme na pěkné nápady.

Kapacita krychle

Vypočítejte kapacitu dokonale vodivé krychle o straně délky $2a$. Pokud se budete nudit, můžete zkusit kvádr (a třeba závislost kapacity na délkách jednotlivých stran), případně jiné geometrické objekty.

Nápověda: Kapacita je poměr náboje na krychli rozmístěného ku potenciálu povrchu krychle (za předpokladu, že potenciál v nekonečnu je nulový). Problém tedy lze řešit tak, že si zvolíme libovolně potenciál krychle, vyřešíme Laplaceovu rovnici $Δφ=0$ vně krychle a vypočítáme celkový náboj na krychli užitím Gaussova zákona (tj. určením intenzity elektrického pole derivováním potenciálu a výpočtem jeho toku vhodně zvolenou plochou obklopující krychli).

Úplným řešením je vymyšlení vhodného fyzikálního modelu, návrh jeho numerického řešení a realizace této úlohy na počítači. Bodově ohodnotíme, pokud úlohu fyzikálně rozvážíte a okomentujete. Nějaký bod by se našel i za návrh algoritmu, který byste rádi počítači předložili.

Zadali autoři seriálu Lukáš Stříteský a Marek Pechal.

4. Série 20. Ročníku - 3. dostavba Temelína

Odhadněte tloušťku vody potřebnou k odstínění záření z jaderného reaktoru s výkonem $980\, \jd{MW}$ v plánovaném novém bloku JE Temelín. Z celkové energie uvolněné při štěpení jádra uranu připadne zhruba 82 % na kinetickou energii fragmentů, 6 % odnesou neutrina, po 6 % mají neutrony a gama fotony.

Nápověda: Pravděpodobnost, že částice projde materiálem do hloubky $d$, je přibližně rovna $e^{-σnd}$, kde $n=N/V$ je hustota molekul materiálu (v našem případě počet molekul vody v $1\, \jd{m^{-3}}$) a $σ$ je účinný průřez (cross section) pro absorpci částice na molekule. Účinný průřez má rozměr plochy ($\jd{m^2}$, často se užívá jednotka $\jd{barn} = 100\, \jd{fm^2}$) a závisí na energii částic. Hodnoty účinných průřezů se pokuste najít na internetu nebo v příslušných tabulkách.

Úloha řešil Karel Tůma na zkoušce z jaderné fyziky.

5. Série 19. Ročníku - 4. přírodní reaktor

Ve vzorku přirozeného uranu je 0,72 % izotopu $^{235}U$ s poločasem rozpadu 704 miliónů let a zbytek izotopu $^{238}U$, který má poločas rozpadu 4 468 miliónů let.

V sedmdesátých letech minulého století byla při těžbě uranu v oblasti Okla v rovníkovém Gabonu objevena ruda s relativním zastoupením
izotopu $^{235}U$ 0,44 % . Tento nesoulad lze vysvětlit tím, že se v ložisku kdysi samovolně zažehl přírodní jaderný reaktor.

Určete, po jakou dobu jaderná reakce probíhala, bylo-li štěpení $^{235}U$ vyvoláno pomalými neutrony. Ke srážce nějakého pomalého neutronu s daným jádrem dojde průměrně jednou za 352 tisíc let.

Úloha ze zápočtové písemky z jaderné fyziky.

6. Série 18. Ročníku - 3. sonda NASA

figure

Jet Propulsion Laboratory v Kalifornii vyvíjí pro NASA nový typ raketových pohonů. Pohonná jednotka využívá hybnost $α$-částic při rozpadu nuklidu fermia $^{257}_{100}Fm_{157}$, jehož hmotnost je $m_{Fm}$ a poločas rozpadu $T$. Druhým produktem přeměny je nuklid kalifornia $^{253}_{98}{Cf}_{155}$. Hmotnost $α$-částice je $m_{α}$, hmotnost nuklidu kalifornia je $m_{Cf}$, přeměnou se uvolní energie $E$. Předpokládejte, že každá $α$-částice opouští raketu ve stejném směru.

Vesmírná sonda s popsaným pohonem je na počátku v klidu, její hmotnost je $M$, hmotnost pohonné látky je také $M$. Určete rychlost sondy $v$ po přeměně poloviny hmotnosti nuklidů fermia. Výslednou hodnotu dopočítejte i číselně pro hodnoty $E = 1,106\cdot 10^{-12}\, \jd{J}$, $M = 4\, \jd{kg}$ a $T = 100,5\, \jd{dní}$, ostatní hodnoty najdete v tabulkách.

SR olympiáda.

5. Série 18. Ročníku - 3. beta rozpad

Při měření rozpadu neutronu na elektron a proton proměřovali čeští vědci energii vylétávajícího elektronu. Jak mohou pouze na základě údajů z tohoto měření poznat, zda nevzniká při tomto rozpadu ještě jiná částice? Uvažujte, že neutron je před rozpadem v klidu.

Pavel Augustinský

4. Série 18. Ročníku - 4. Mössbauerův jev

Frekvence fotonu vyzářeného jádrem radioaktivního železa není vždy stejná, ale při rozpadech různých jader se nepatrně liší (to platí i pro jiná jádra). Pro jednoduchost předpokládejte, že hodnota energie fotonu v klidové soustavě jádra železa leží náhodně v intervalu ( $E_{0}-ΔE,E_{0}+ΔE)$, kde $E_{0}=14,4\;\mathrm{keV}$ (keV = kiloelektronvolt), $ΔE≈10^{-8}\;\mathrm{eV}$ ($1\, \jd{eV} = 1,602 \cdot 10^{-19} \jd{J}$).

  • Vyzáří-li volný nehybný atom železa foton, musí mít tento atom podle zákona zachování hybnosti opačnou hybnost než vyzářený foton. Vypočítejte kinetickou energii takového atomu a porovnejte ji s veličinou $ΔE$.
  • Takzvaný Mössbauerův jev spočívá v tom, že je-li foton vyzářen atomem železa vázaným v krystalu, může se hybnost „zpětného rázu“ předat celému krystalu. Vypočítejte kinetickou energii krystalu (posun energie fotonu) v tomto případě za předpokladu, že krystal je složen z řádově $10^{23}$ atomů.

Stejně jako emise fotonu může probíhat i jeho absorpce. Foton však může být absorbován jen tehdy, když jeho energie v klidové soustavě jádra leží v intervalu ( $E_{0}-ΔE,E_{0}+ΔE)$.

  • Rozhodněte, zda může nehybný atom železa absorbovat foton vyzářený jiným nehybným atomem.
  • Vypočítejte, jak rychle se vůči sobě musí pohybovat dva kusy železa, aby už první kus nemohl kvůli Dopplerovu jevu absorbovat fotony vyzářené druhým kusem. Dopplerovým jevem myslíme to, že frekvence záření $f$, kterou vyzařuje zdroj přibližující se rychlostí $v$, se v naší soustavě změní na $f′=(1+v⁄c)f$.

Předpokládejte, že při emisi i absorpci se uplatňuje výše zmíněný Mössbauerův jev.

Potřebné konstanty nalezněte v tabulkách.

Navrhl Pavel Augustinský.

6. Série 15. Ročníku - 3. stáří Země

Předpokládejme, že při vzniku Země na ní byly izotopy uranu $^{238}U$ a $^{235}U$, ale ne produkty jejich rozpadu. Izotop $^{238}U$ resp. $^{235}U$ se rozpadá s poločasem $T_{1} = 4,50 \cdot 10^{9}$ roků resp. $T_{2} = 0,710 \cdot 10^{9}$ roků. Ve srovnání s těmito časy jsou poločasy rozpadu produktů zanedbatelné, rozpadové řady končí stabilními izotopy $^{206}Pb$ a $^{207}Pb$.

Je-li v uranové rudě poměr počtu atomů uranu $^{238}U$ : $^{235}U$ = $137 : 1$ a poměr počtu atomů olova $^{206}Pb : ^{207}Pb = 28 : 17$, odhadněte stáří Země.

6. Série 14. Ročníku - 4. rychlý proton

Jednou zaregistrovali v Utahu (USA) detektorem kosmického záření proton s energií $51\,\jd{J}$. Spočtěte jeho rychlost (nebo spíše o kolik se její rychlost liší od rychlosti světla). Odhadněte také zakřivení jeho dráhy v magnetickém poli $10\,\jd{T}$.

Zjištěná zajímavost.

Tato stránka využívá cookies pro analýzu provozu. Používáním stránky souhlasíte s ukládáním těchto cookies na vašem počítači.Více informací

Partneři

Pořadatel

Pořadatel MSMT_logotyp_text_cz

Generální partner neuron-logo.jpg

Partner

Mediální partner


Created with <love/> by ©FYKOS – webmaster@fykos.cz