Vyhledávání úloh podle oboru

Postavíme si konečný Sierpińského trojúhelník stupně $N$ (tedy pro $N=1$ to bude jen trojúhelník, pro $N=2$ to budou už čtyři trojúhelníky atd.). Na spodních stranách budou vždy rezistory o odporu $R=150 \mathrm{\ohm }$, na levých stranách cívky o indukčnosti $L=0,4 \mathrm{H}$ a na zbylých stranách kondenzátory s kapacitou $C=20 \mathrm{\micro F}$. Mezi levým a pravým dolním rohem trojúhelníku měříme impedanci. Úhlová frekvence zdroje je $\omega = 50 \mathrm{s^{-1}}$. Najděte rekurentní vztahy, které tuto impedanci vyčíslí, a určete její hodnotu pro $N=7$. Nalezněnte rekurentní vztah pro situaci, kdybychom cívky a kondenzátory nahradili odpory $R$ a vyčíslete ji pro $N=15$.

Mějme dvě cívky navinuté na stejné papírové ruličce. První má hustotu vinutí $10 \mathrm{cm^{-1}}$ a druhá $20 \mathrm{cm^{-1}}$. Rulička měří $40 \mathrm{cm}$ na délku a $1 \mathrm{cm}$ v průměru. Obě cívky jsou navinuté po celé její délce, přičemž druhá je navinutá přes první. Vzhledem k rozměrům ruličky můžeme zanedbat okrajové efekty a pracovat s cívkami jako s ideálními solenoidy. Uvažujme, že je zapojíme do obvodu sériově za sebou. Toto uspořádání můžeme pomyslně nahradit jedinou cívkou. Jaká by byla její indukčnost?

Dojde-li k výronu koronální hmoty ze Slunce, začne se tato hmota velkou rychlostí šířit prostorem. Někdy může zasáhnout Zemi a ovlivnit její magnetické pole. Odhadněte, jak velké elektrické proudy by mohl takový výron generovat na Zemi v síti elektrického vedení. Na jakých parametrech to závisí? Okomentujte, jaké by měla taková událost dopady na lidskou civilizaci.

Změřte kapacitu libovolné baterie (například tužkové AA) a porovnejte ji s deklarovanou hodnotou.

Elektrický obvod znázorněný na obrázku může sloužit jako detektor nestacionárního magnetického pole. Jedná se o devět hran krychle tvořených elektrickým drátem. Elektrický odpor jedné hrany je $R$. Nachází-li se tato konstrukce v nestacionárním homogenním magnetickém poli, které má pro jednoduchost konstantní směr a jeho velikost se mění jen pomalu, tečou na vyznačených místech proudy $I_1$, $I_2$, $I_3$. Určete ze znalosti těchto proudů směr a časovou změnu velikosti magnetického pole v prostoru.

Uvažujme obvod, ve kterém jsou sériově zapojeny cívka, kondenzátor, rezistor a zdroj napětí. Cívka má indukčnost $L$, kondenzátor má kapacitu $C$ a rezistor má odpor $R$. Zdroj vytváří střídavé napětí $U = U_0 \f {\cos }{\omega t}$. Všechny součástky považujte za ideální. S pomocí zákona zachování energie napište rovnici pro náboj, rychlost náboje (proud $I$) a zrychlení náboje (rychlost změny proudu $I$). Jedná se o rovnici tlumených kmitů. Porovnáte-li ji s rovnicí pro tlumené kmity závaží na pružině, co v tomto obvodu hraje roli hmotnosti, tuhosti pružiny a tření? Jaká je přirozená frekvence kmitů?

Dále pomocí veličin $L$, $R$ a $\omega $ vyjádřete kapacitu kondenzátoru, při které by byl fázový posun napětí na kondenzátoru roven $\frac {\pi }{4}$. Jaká bude amplituda napětí na kondenzátoru při tomto fázovém posunu?

Odhadněte čas, který uplyne mezi stlačením vypínače a rozsvícením světelného zdroje. Zvlášť vyřešte pro žárovku, zářivku, LED a neonovou trubici. Diskutujte co nejvíc faktorů, které tento čas ovlivňují.

1. Máme PET lahev s vodou, která stojí na rozlehlé rovině. V jaké výšce bychom měli vytvořit v láhvi malý otvor, aby voda dostříkla do nejdále od láhve? Láhev necháme stát na rovině a otvor prochází kolmo stěnou.
2. Kam bychom měli umístit otvor (viz předchozí podúloha), pokud chceme, aby byl dostřik nejdelší po jedné minutě? Předpokládejte, že láhev má konstantní průřez $S$ a otvor má výrazně menší průřez $s$. Pro numerické řešení odhadněte rozumné hodnoty konstant.
3. Jaký může mít baterie maximální výkon na spotřebiči, pokud má elektromotorické napětí $U_e$ a vnitřní odpor $R_i$? Pro jaký odpor spotřebiče to nastane? Respektive pro jakou impedanci to nastane, pokud bude obvod tvořen rezistorem, cívkou a kondenzátorem?
4. Jak nejblíže se k sobě mohou dostat dvě jádra dusíku $14$, která se pohybují se střední kvadratickou rychlostí odpovídající plynu za normálních podmínek?
5. Najděte maximální možnou teplotu, kterou by mohl mít plyn, ve kterém by probíhal děj $p = p_0 e^{-\alpha V}$, kde $\alpha $ je kladná konstanta a $p_0$ je tlak plynu v základním stavu.

1. Jak velký je odpor mezi sousedními vrcholy $n$-dimenzionálního drátěného „čtyřstěnu“? Každá hrana má odpor $R$. Začněte výpočtem pro $n = 1$ (úsečka), $n = 2$ (trojúhelník) a $n = 3$ (čtyřstěn) a následně najděte obecný vztah.
2. Jaké umístění a velikost bude mít zrcadlový elektrický náboj k přímce s homogenní délkovou hustotou náboje $\lambda $, která je umístěna ve vzdálenosti $r > R$ od středu uzemněného dutého nekonečně dlouhého válcového vodiče o poloměru $R$? Válcový vodič a přímka jsou rovnoběžné.
3. Mějme nekonečnou rovinu s plošnou hustotou náboje $\sigma _1$. Té se téměř dotýká kulová slupka s poloměrem $R$ a s plošnou hustotou náboje $\sigma _2$. Jaký musí být vztah mezi uvedenými veličinami, aby v místě, kde jsou k sobě deska se slupkou nejblíže, byla intenzita elektrického pole nulová?

Bonus: Jaká je intenzita gravitačního pole uvnitř a vně planety o poloměru $R$, jejíž hustota záleží pouze na vzdálenosti od středu $r$ podle vztahu $\rho = \rho \_{max} \(1 - \(\frac {r}{R}\)^2\)$?

Jak dlouho potrvá vybití plně nabité autobaterie ($12 \mathrm{V}$, $60 \mathrm{Ah}$), zapomene-li někdo vypnout potkávací světla auta, zamkne a odejde pryč? Konkrétně nás zajímá situace pro přední světla H4 (výrobce udává $55 \mathrm{W}$ každé) a zadní světla P21/5W (dle výrobce $5 \mathrm{W}$ každé). Pro jednoduchost považujte transport energie z baterie do světel za bezztrátový, odběr dalších spotřebičů (jako GPS sledování) za zanedbatelný a napětí na baterii za konstantní.