Vyhledávání úloh podle oboru

Matěje začaly nudit klasické houpačky, které jsou na dětských hřištích a lze se na nich houpat pouze dopředu a dozadu. Proto vymyslel vlastní atrakci, na které se bude houpat nahoru a dolů. Mezi dva stejně vysoké body ve vzdálenosti $l$ natáhne gumu s klidovou délkou $l$. Následně se pomalu posadí přesně doprostřed gumy, přičemž se její střed vychýlí dolů o vzdálenost $h$. Nyní se velmi lehce odstrčí směrem nahoru a začne se houpat. Určete periodu malých kmitů.

Najděte dvě rovné plochy ze stejného materiálu a změřte, jaký je mezi nimi koeficient tření. Následně zjistěte, jak se tento koeficient změní, když mezi plochy dáte nějakou sypkou nebo kapalnou látku. Můžete použít vše od vody a oleje, přes med a roztavenou čokoládu až po mouku a písek. Měřte pro alespoň 4 různé látky. Hodně pozornosti věnujte diskuzi výsledků a především toho, které vlastnosti použitých látek měly na výsledek největší vliv.

1. Majme klasické matematické kyvadlo, ktoré vychýlime zo stabilnej polohy o $120\dg $. Dĺžka závesu kyvadla je po celý čas konštantá, záves je nehmotný a na jeho konci je upevnený hmotný bod s hmotnosťou $m$. Zostavte Lagrangeove rovnice prvého druhu pre kyvadlo a pomocou nich určte, kedy je sila pôsobiaca na vlákno kyvadla najväčšia.
   
2. Vezmime klasické kyvadlo, rovnaké ako v prvej časti úlohy. K jeho hmotnému bodu pripevníme ďalšie kyvadlo s rovnakou zavesenou hmotnosťou ako aj rovnakou dĺžkou závesu. Zostavte lagrangián pre túto situáciu a určte aj Lagrangeove pohybové rovnice (2. druhu).
   
3. Majme hmotný bod, ktorý je schopný sa voľne pohybovať v smere osy $x$. Ďalej majme matematické kyvadlo, ktorého záves je upevnený v tomto bode. Nájdite lagrangián tejto sústavy a pomocou Hamiltonovej variačnej metódy nájdite príslušné pohybové rovnice tak, že postupne budete Gateauxove derivácie podľa všetkých zovšeobecnených premenných pokladať rovné nule. Celkovo tak každá nulová Gateauxova derivácia dá jednu pohybovú rovnicu. Porovnajte, či ste touto metódou dostali rovnaké pohybové rovnice ako pri použití štandardného odvodenia Lagrangeových rovníc z lagrangiánu.

Matěj jde podél silnice konstantní rychlostí a každých 7 minut potká tramvaj, která jede proti němu. Jednou za 10 minut ho mine tramvaj jedoucí opačným směrem. Tramvaje jezdí v obou směrech se stejnou frekvencí. S jakou?

Tuhou kouli ve vzduchu roztočíme dostatečně velkou úhlovou rychlostí $\omega $ rovnoběžnou se zemí. Poté hopík pustíme z výšky $h_0$ na vodorovnou podložku. Od ní se odrazí do výšky $h_1$ a dopadne nedaleko původního místa dopadu. Určete vzdálenost těchto dvou bodů dopadu, jestliže je třecí koeficient mezi koulí a zemí $f$ dostatečně malý.

1. Mějme nějaké kosmické těleso s hmotností pěti Sluncí, okolo kterého se nachází sféricky symetrický homogenní oblak plynu a prachu s hmotností dvou Sluncí a s průměrem $1 \mathrm{ly}$. Oblak začne kolabovat do centrálního kosmického tělesa. Zanedbejte vzájemnou interakci částic oblaku (kromě gravitace). Určete, jak dlouho bude trvat, než celý oblak zkolabuje do centrálního tělesa. Úlohu neřešte numericky.
2. V úvodu seriálu jsme řešili diferenciální rovnici pro pohyb částic v centrálním poli, při jejímž řešení jsme použili takzvaný Binetův vzorec. Ukažte, že tento vzorec skutečně řeší zadanou diferenciální rovnici.
3. Sestavte lagrangián pro soustavu Slunce-Země-Měsíc. Předpokládejte, že Slunce je nehybné. Země i Měsíc se pohybují jak pod vlivem Slunce, tak pod vlivem sebe navzájem. Při sestavování lagrangiánu se zamyslete nad tím, jestli používáte správný počet zobecněných souřadnic.

Máme (nehmotný) provázek délky $l$ a na jeho konci kuličku (hmotný bod) s hmotností $m$. Víme, že maximální tíha, co unese, je síla $F = mg$, kde $g$ je místní tíhové zrychlení, ale už nic víc. Provázek upevníme a kuličku budeme držet ve stejné výšce jako je místo upevnění, akorát ve vzdálenosti délky provázku, ale tak abychom ho nenapínali. Kuličku uvolníme a ta se začne vlivem tíhového zrychlení pohybovat. Pod jakým úhlem provázku vůči svislé rovině se provázek přetrhne?

Dva hmotné body skákaly na trampolíně do výšky $h_0 = 2 \mathrm{m}$. Ve chvíli, kdy oba byly v nejnižším možném místě trajektorie (výchylka $y = 160 \mathrm{cm}$), jeden z nich záhadně zmizel. Do jaké nejvyšší výšky byl druhý vymrštěn? Kruhová trampolína má obvod $o = 10 \mathrm{m}$ a pruží díky $N = 42$ pružinám s tuhostí $k = 1720 \mathrm{N\cdot m^{-1}}$. Trampolínu modelujme $N$ pružinami rozmístěnými rovnoměrně a spojenými ve středu. Hmotnost zmizelého hmotného bodu je $M = 400 \mathrm{kg}$.

V závere seriálu ste si určite všimli Lagrangián a diferenciálnu rovnicu, ktoré akoby „spadli z neba“. To nie je vôbec náhoda, veľkou časťou tejto seriálovej úlohy bude tieto dve rovnice odvodiť.

1. Ukážte, že ak máme pohyb častice v ľubovoľnom centrálnom poli, teda v poli, kde potenciál závisí len na vzdialenosti, bude sa častica zaručene pohybovať len v rovine.
   Návod: Zostavte Lagrangeove rovnice II. druhu pre túto situáciu, použite pri tom vhodné zovšeobecnené súranice. Následne bez ujmy na všeobecnosti položte súradnicu $\theta = \pi /2$ a počiatočnú rýchlosť v smere tejto súradnice nulovú. Zamyslite sa a vysvetlite, prečo je takáto voľba v poriadku a nestratíme pri nej žiadne riešenie.
   
2. Zostavte Lagrangián pre hmotný bod pohybujúci sa v rovine v centrálnom poli. Mali by ste dostať ten istý, ako je uvedený v závere seriálu. Pre tento Lagrangián následne nájdite všetky intergály pohybu a pomocou nich nájdite diferenciálnu rovnicu prvého rádu pre premennú $r$. Pre vašu kontrolu, mala by vám vyjsť rovnako ako na konci seriálu.
   
3. Zamyslite sa, ako určiť uhlovú vzdialenosť medzi dvoma bodmi na sfére, ak máte zadané ich sférické súradnice. Ukážte to napríklad pre hviezdy Betelgeuze a Sírius, ktorých súradnice si nájdite.
   Pomôcka: Táto úloha sa dá jednoducho vyriešiť aj bez znalosti sférickej trigonometrie.

Uvažujme hmotný bod umístěný v jednodimenzionálním prostoru. Jeho počáteční pozice i rychlost je nulová. Bod se dokáže pohybovat s libovolným zrychlením z intervalu $\left (- a , a\right )$. Nazvěme $M\left (t\right )$ množinu všech možných stavů $\left (x, v\right )$ takových, že bod se v čase $t$ může nacházet na pozici $x$ a zároveň mít rychlost $v$. Sestrojme graf závislosti $v$ na $x$ v čase $t$. Množina $M\left (t\right )$ v tomto grafu vytvoří plochu $S\left (t\right )$. Analyticky popište křivky ohraničující $S\left (t\right )$.

Bonus: Najděte funkční závislost $S\left (t\right )$.