Zadání 4. série 38. ročníku

Během pozorování dalekohledy na observatoři La Silla v Chile se často používá vzdálený přístup. Pokud změříme rychlost datového přenosu, obvykle dostaneme čas $t=213\,\mathrm{ms}$ pro cestu signálu z Prahy na observatoř a zpět. Jakým způsobem může být toto připojení realizované? Uvažujte přenos dat přes geostacionární telekomunikační družice nebo optickým kabelovým spojením.

Dávno zapomenutí bohové se při koukání na Zemi náramně nudili, a tak se rozhodli, že změní její tvar z koule na válec, jehož osa otáčení prochází středem jeho podstavy a je na ni kolmá. Jaký bude poměr délky dne na nové Zemi ku původní délce dne? Považte, že to jsou sice bohové, ale rozhodně ne nějací kouzelníci, a tak hmotnost, hustota i moment hybnosti válce zůstanou stejné jako hmotnost, hustota a moment hybnosti původní Země. Výška válce je rovna průměru původní Země.

Malá kulička se nachází v co největší vzdálenosti od Země tak, aby ji ještě celou pokryl stín planety. Na jaké teplotě se kulička ustálí, pokud budeme Zemi považovat za dokonalé černé těleso o homogenní teplotě $T_{\mathrm{Z}} = 20\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$? Zdroje světla jiné než Slunce zanedbejte a předpokládejte, že se paprsky světla šíří po přímkách, lom světla v atmosféře nebo relativistické jevy tedy neuvažujte.

Jarda se na svou zkoušku z STR připravuje na své chatě na jednom z Jupiterových měsíců. Nějak si nehlídal čas a najednou zjistil, že mu zkouška začíná už za dvě hodiny (čas má synchronizovaný s pozemským). Nasedl proto do své extrémně rychlé rakety a vydal se na cestu k Zemi, která je momentálně vzdálená $8\,\mathrm{AU}$ od jeho chaty. Po cestě se v raketě bude ještě učit. Jde mu to tam ovšem $1{,}5$krát pomaleji než při čekání ve škole před zkouškou, protože se musí soustředit i na řízení. Jak rychle musí letět, aby se toho stihl co nejvíce naučit? Loď se celou cestu pohybuje konstantní rychlostí. Čas na zrychlení a zpomalení zanedbejte.

Jarda stojí na zastávce a čeká na tramvaj. Ta ale stále nepřijíždí, a proto se Jarda vydá rychlostí $v$ k informační ceduli vzdálené $d$, aby se podíval na jízdní řád. Hned vedle cedule si ale někdo krátí čekání pokuřováním cigarety. Určete, kdy se Jarda dostane do takové vzdálenosti od kuřáka, že kouř ucítí. Koncentrace kouřových částic ve vzdálenosti $d_0 = 1\,\mathrm{m}$ od kuřáka je $c_0$. Jarda ho ucítí, jestliže u něj bude koncentrace kouřových částic $c_0/N$. Kuřáka považujte za sféricky symetrický zdroj smradu. Předpokládejte, že nefouká.

Tato úloha má otevřené řešení, proto nezapomeňte uvést všechny použité zdroje.

Navrhněte co nejvíce způsobů separace látek ze směsi a detailně popište fyzikální princip i experimentální postup u alespoň třech z nich (tak, aby každá rozepsaná možnost využívala jinou fyzikální/chemickou vlastnost látky).

Najděte v kuchyni hladkou mouku a mák. Ověřte, jestli jejich sypný úhel závisí na výšce hromádky vytvořené sypáním. Dále změřte závislost sypného úhlu na hmotnostní koncentraci směsi hladké mouky a máku.

1. Geometrická plocha naší platinové elektrody je $4\,\mathrm{cm^2}$. Její povrch je ale členitý, takže jeho aktivní plocha může být vyšší. V experimentu jsme naměřili kapacitu celé elektrody $700\,\mathrm{\upmu{}F}$. Jestliže vzdálenost adsorbovaných iontů v roztoku od povrchu platiny odhadneme na $1\,\mathrm{nm}$, kolikrát větší je plocha aktivního povrchu ku geometrickému? Experiment probíhá ve vodě s $\varepsilon_{\mathrm{r}} \doteq 80$. – 2 body

2. Nakreslete impedanční spektrum v Nyquistově grafu pro

   1. rezistor $R = 23\,\mathrm{m\Omega}$,

   2. kondenzátor s kapacitou $C = 0{,}5\,\mathrm{mF}$,

   3. CPE s $Q = 0{,}3\,\mathrm{\Omega^{-1}\!\cdot\! s^{\alpha}}$ a $\alpha = 0{,}6$,

   pro frekvence od $f_1 = 1\,\mathrm{kHz}$ do $f_2 = 10\,\mathrm{kHz}$. – 2 body

3. Z přiloženého spektra určete všechny parametry Randlesova obvodu. Jednotlivé body leží ve frekvenčním intervalu od $10\,\mathrm{Hz}$ do $10\,\mathrm{kHz}$, kde jsou logaritmicky rozdělené a na jednu dekádu frekvencí připadá 5 bodů. – 3 body

   

4. Impedanční spektra jednoduché reakce popsatelné Randlesovým obvodem jsme naměřili při stejnosměrných proudech $I$ uvedených v tabulce 1. Z fitování spekter jsme zjistili, že ohmický odpor byl pro všechna spektra $R_\Omega = 55\,\mathrm{\Omega}$. Odpor přenosu náboje $R_{\mathrm{ct}}$ má hodnoty uvedené níže v tabulce. Uvažujte, že měření probíhalo v Tafelově režimu. Určete parametr $b$ v exponenciále v Tafelově rovnici tvaru $j = j_0 \exp\!\left(\eta/b\right)$, která byla odvozena ve třetím dílu seriálu. – 3 body

   Tabulka 1: Hodnoty proudu a odporu.

   měření	$\dfrac{I}{mA}$	$\dfrac{R_{ct}}{\Omega}$
   1	0,13	208
   2	0,24	99
   3	0,57	45
   4	1,11	22
   5	2,04	14