Zadání 3. série 38. ročníku

Jarda si v akvaparku jen tak leží na svém lehátku a nechává se unášet proudem v místní umělé řece, když tu si všimne, že k němu plave rychlostí $0{,}5\,\mathrm{m\!\cdot\! s^{-1}}$ vůči proudu jeho kamarád, aby jej převrhnul. Už je vzdálený jen $3\,\mathrm{m}$ od Jardy, když tu náhle se zúží plocha průřezu koryta z $4\,\mathrm{m^2}$ na $3\,\mathrm{m^2}$. Kolik má Jarda času připravit se na převrhnutí, jestliže byla počáteční rychlost proudu $0{,}8\,\mathrm{m\!\cdot\! s^{-1}}$?

Mišo našel v práci starý zářič, který obsahuje $\ce{^{90}Sr}$ a v roce 1974 měl aktivitu $5\,\mathrm{mCi}$. Jak dlouho by se Mišo musel nechat rovnoměrně ozařovat tímto žářičem, aby dosáhl smrtelné dávky $10\,\mathrm{Sv}$? Předpokládejme, že všechny následné rozpady jsou okamžité a že všechny produkty rozpadu Mišo pohltí rovnoměrně. Mišo váží $65\,\mathrm{kg}$ a zářič objevil v roce 2020.

Pták Fykosák objevil v laboratoři dosud neznámý druh interakce. V zapadlé skříni našel malý sférický předmět a zjistil, že pokud do jeho blízkosti postaví hmotný bod o hmotnosti $m$ a pustí jej, vždy se s neznámým předmětem srazí za stejný čas $t$. Určete, jakou silou je hmotný bod přitahován k neznámému předmětu v závislosti na vzájemné vzdálenosti. Uvažujte, že vše probíhá na vodorovné ploše bez odporových sil, a to v rámci klasické mechaniky. Pták Fykosák navíc neznámý předmět upevnil k podložce, takže se vůči místnosti nepohybuje.

Nápověda: Zkuste najít analogii s nějakou silou, kterou znáte.

Marek má dvouštěrbinu, jejíž otvory mají zanedbatelnou šířku, jsou velmi vysoké a jejich vzájemná vzdálenost je $b$. Na štěrbinu dopadá světlo o vlnové délce $\lambda$. Blízké stínítko, na kterém se tvoří interferenční obrazec, ujíždí malou rychlostí $v$ pryč od dvouštěrbiny. Jakou rychlostí se bude na stínítku pohybovat maximum $m$-tého řádu?

Jakou úhlovou rychlostí $\omega$ musíme roztočit skleničku na víno otočenou dnem vzhůru, abychom v ní udrželi její obsah? Stěny skleničky modelujte jako tenkou kulovou slupku o poloměru $R$, ze které byl odstraněn vrchlík o polárním úhlu $\theta\in \langle 0,\pi\rangle$. Stojí-li sklenička v klidu na stole, sahá hladina do výšky $h\in \langle 0,R(1+\cos\theta)\rangle $. Skleničkou rotujeme kolem její osy symetrie.

Tato úloha má otevřené řešení, proto nezapomeňte uvést všechny použité zdroje.

Chleba dokážeme poměrně dobře zmáčknout, je v něm totiž mnoho prostoru naplněného plynem. Určete vnitřní povrch všech dutin pro chléb Šumava.

Určete měrnou tepelnou kapacitu kuchyňské soli.

1. V seriálu jsme pro výpočet změny aktivačních bariér pro dopřednou i zpětnou reakci použili model, kdy Gibssova volná energie lineárně roste a následně klesá v závislosti na reakční souřadnici. Uvažujme, že sklony těchto přímých úmerností na obrázku 4 v seriálu jsou $s_{\mathrm{f}} > 0$ pro dopřednou reakci a $s_{\mathrm{b}} < 0$ pro zpětnou. Najděte vztah mezi $\alpha$ a právě $s_{\mathrm{f}}$ a $s_{\mathrm{b}}$. – 3 body

2. Ke stlačování plynů můžeme místo mechanických pístů použít elektrochemickou celu. Uvažujme zjednodušený model takové cely pro kompresi vodíku. Mějme dvě standardní vodíkové elektrody v kádinkách s roztokem o koncentraci $\left[\ce{H^+} \right] = 1\,\mathrm{M}$. U jedné elektrody je rezervoár plynného vodíku o tlaku $1\,\mathrm{bar}$, u druhé je také vodík o stejném tlaku, ale pouze o objemu $10\,\mathrm{l}$. Na celu připojíme napětí o velikosti $25\,\mathrm{mV}$ tak, že na druhé jmenované elektrodě se začne vytvářet plynný vodík. Na tlak $2\,\mathrm{bar}$ v láhvi jsme se dostali za čas $t_{2\,\mathrm{bar}} = 1{,}2\,\mathrm{h}$. Za jak dlouho se tlak zvýšil na $90\,\mathrm{\%}$ své maximální hodnoty? Kádinky s $\ce{H^+}$ jsou tak velké, že se v průběhu procesu jejich koncentrace nemění, a vše probíhá při teplotě $25\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$. – 5 bodů

3. Uvažujme Carnotův tepelný stroj s odpovídající účinností, kde teplota chladiče je $T_{\mathrm{c}} = 40\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$. Od jaké teploty $T_{\mathrm{h}}$ bychom získali vyšší účinnost pro tento tepelný zdroj než pro elektrochemickou reakci vodíku za vzniku vody, která by také probíhala za teploty $T_{\mathrm{h}}$? Pro vodní páru počítejte s $\Delta G_{100} = 225\,\mathrm{kJ\!\cdot\! mol^{-1}}$ a $\Delta H_{100} = 248\,\mathrm{kJ\!\cdot\! mol^{-1}}$, které jsou platné při teplotě $100\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$. – 2 body