Text seriálu 5. série Brožurka s řešeními

1... natlakovaná žirafa

2 body

Porovnejte krevní tlak v hlavě dospělé žirafy a dospělého člověka. Systolický tlak na úrovni srdce je u člověka $p_{h1}=120\;\mathrm{mm}Hg$ a u žirafy $p_{g1}=280\;\mathrm{mm}Hg$, hustota krve obou živočichů je $ρ=1050\;\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$. Uvažujte pouze případ, kdy člověk i žirafa stojí. Rychlost proudění krve v těle považujte za konstantní.

2... uranová hvězda

2 body

Představme si, že ve hvězdách neprobíhá termojaderná fúze, nýbrž štěpná jaderná reakce. Odhadněte, jak dlouho by taková hvězda dokázala vyzařovat, jestliže na počátku svého životního cyklu sestává pouze z uranu 235, její hmotnost i zářivý výkon jsou přibližně konstantní a odpovídají současným hodnotám pro Slunce.

3... ta jemná nádoba

3 body

Mějme válcovou nádobu, jež zaujímá objem $V=1\, \jd{l}$. Nádoba je uzavřena vzduchotěsným pohyblivým pístem, který má nezanedbatelnou hmotnost $M$. Dále víme, že nádoba je vodorovnými přepážkami rozdělena na $n$ komor a v $i$-té komoře (číslováno odshora) je $2^{i}a$ částic, kde $a$ je blíže neurčená konstanta. Přepážky nejsou k nádobě připevněny, přesto nedovolují, aby si komory, v nichž je ideální plyn, vyměňovaly teplo nebo částice. Celý systém je v rovnováze. Poté zdvojnásobíme hmotnost pístu a počkáme, až se náš systém opět ustaví v rovnováze. Jak se změní objem, který plyn v nádobě zaujímá? Atmosferický tlak neuvažujte.

4... trojúhelníkový odporníček

4 body

Určete odpor trojúhelníku vytvořeného z odporového drátu mezi svorkami A a B, které vidíte na obrázku. Jedna strana malého trojúhelníčku (ze kterých se skládá velký trojúhelník) má odpor $R_{0}$. Odpor přívodních vodičů neuvažujte.

5... hlídání dětí

5 bodů

Mějme houpačku zavěšenou na dvou svislých lanech délky $l=1,5\;\mathrm{m}$ na vodorovné tyči o poloměru $r=4\;\mathrm{cm}$. Dítěti sedícímu na houpačce udělíme v dolní úvrati takovou rychlost $v_{0}$, aby dítě vykonalo celou otočku kolem horizontální tyče a lana byla během namotávání stále napnutá. Zároveň chceme, aby počáteční rychlost byla nejmenší možná. Určete rozdíl úhlové rychlosti $ω_{1}$ houpačky s dítětem po návratu do dolní úvrati a počáteční úhlové rychlosti $ω_{0}$.

Nápověda: Pro výpočet odstředivého zrychlení můžete uvažovat, že se dítě pohybuje lokálně po kružnici.

P... fyzika v plamenech

5 bodů

Na jakých fyzikálních (a chemických) parametrech závisí teplota, kterou hoří nějaká konkrétní látka? Jak? Určete tuto teplotu pro nějakou konkrétní látku.

E... gumipuk

8 bodů

Závaží o hmotnosti $m$ na gumičce délky $l_{0}$ je zavěšeno v pevném bodě o souřadnicích $x=0$ a $y=0$. Z osy $x$, která je horizontálně, závaží pouštíme. Jaká bude závislost nejnižšího dosaženého bodu na poloze na ose $x?$

Návod pro řešení experimentálních úloh

S... struna

6 bodů

Uvažujme otevřené struny a omezme se jen na tři prostorové rozměry. Namalujte, jak vypadá

  • struna volně se pohybující v časoprostoru,
  • struna připevněná oběma konci k D2-bráně,
  • struna natažená mezi D2-bránou a D1-bránou.

Jaké jsou možnosti, kde mohou struny končit v případě konfigurace tří rovnoběžných D2-brán?

Vyberte si jednu z funkcí $\mathcal{P}_{\mu}^{\tau}$ nebo $\mathcal{P}_{\mu}^{\sigma}$ definovanou v první části seriálu a najděte její explicitní tvar (tj. přímo závislost na $\dot{X}^{\mu}$ a $X'^{\mu}$). Ukažte, že podmínky $\vect{X}'\cdot \dot{\vect{X}}=0$ a $|\dot{\vect{X}}|^2=-|\vect{X}'|^2$ opravdu vedou na zjednodušení uvedené v textu.

Najděte spektrum energií harmonického oscilátoru.

  • Energie harmonického oscilátoru je dána Hamiltoniánem

$$\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2\hat{x}^2\,.$$ Druhý člen je očividně potenciální energií zatímco první dává po dosazení $\hat{p}=m\hat{v}$ kinetickou energii. Definujme lineární kombinaci $\hat{\alpha}=a\hat{x} + \;\mathrm{i} b\hat{p}$. Určete reálné konstanty $a$ a $b$, tak aby měl Hamiltonián tvar $$\hat{H}=\hbar \omega \left(\hat{\alpha} ^{\dagger}\hat{\alpha} + \frac{1}{2}\right)\,,$$ kde $\hat{\alpha} ^{\dagger}$ je komplexní sdružení $\hat{\alpha}$.

  • Ukažte ze znalosti kanonických komutačních relací pro $\hat{x}$ a $\hat{p}$, že platí

$$\left[\hat{\alpha},\hat{\alpha}\right]=0\,,\quad\left[\hat{\alpha} ^{\dagger},\hat{\alpha} ^{\dagger}\right]=0\,,\quad\left[\hat{\alpha} ,\hat{\alpha} ^{\dagger}\right]=1$$

  • Ve spektru oscilátoru bude určitě stav s minimální energií odpovídající nejmenšímu možnému kmitání. Označme ho $|0\rangle$. Tento stav musí splňovat $\alpha |0\rangle =0$. Ukažte, že je jeho energie rovna $\hbar\omega/2$, tj. $\hat{H}|0\rangle=\hbar\omega/2|0\rangle$. Dále ověřte, že pokud by bylo $\alpha |0\rangle \neq 0$, pak máme spor s tím, že má $|0\rangle$ minimální energii, tj. $\hat{H}\alpha |0\rangle=E\alpha|0\rangle$, kde nyní je $E<\hbar\omega/2$. Všechny vlastní stavy Hamiltoniánu můžeme potom psát jako $\left(\alpha^{\dagger}\right) ^n|0\rangle$ pro $n=0,1,2,\dots$ Najděte energie těchto stavů, tj. čísla $E_n$ taková, že $\hat{H}\left(\alpha^{\dagger}\right) ^n|0\rangle=E_n\left(\alpha^{\dagger}\right)^n|0\rangle$

Tip Použijte komutační relace pro $\hat{\alpha}^{\dagger}$ a $\hat{\alpha}$ .

Text seriálu 5. série
Pokud hledáte starou webovou stránku, najdete ji na https://old.fykos.cz