Text seriálu 5. série Brožurka s řešeními

1... natlakovaná žirafa

2 body

Porovnejte krevní tlak v hlavě dospělé žirafy a dospělého člověka. Systolický tlak na úrovni srdce je u člověka ph1=120mmHg a u žirafy pg1=280mmHg, hustota krve obou živočichů je ρ=1050kgm3. Uvažujte pouze případ, kdy člověk i žirafa stojí. Rychlost proudění krve v těle považujte za konstantní.

2... uranová hvězda

2 body

Představme si, že ve hvězdách neprobíhá termojaderná fúze, nýbrž štěpná jaderná reakce. Odhadněte, jak dlouho by taková hvězda dokázala vyzařovat, jestliže na počátku svého životního cyklu sestává pouze z uranu 235, její hmotnost i zářivý výkon jsou přibližně konstantní a odpovídají současným hodnotám pro Slunce.

3... ta jemná nádoba

3 body

Mějme válcovou nádobu, jež zaujímá objem V=1\jdl. Nádoba je uzavřena vzduchotěsným pohyblivým pístem, který má nezanedbatelnou hmotnost M. Dále víme, že nádoba je vodorovnými přepážkami rozdělena na n komor a v i-té komoře (číslováno odshora) je 2ia částic, kde a je blíže neurčená konstanta. Přepážky nejsou k nádobě připevněny, přesto nedovolují, aby si komory, v nichž je ideální plyn, vyměňovaly teplo nebo částice. Celý systém je v rovnováze. Poté zdvojnásobíme hmotnost pístu a počkáme, až se náš systém opět ustaví v rovnováze. Jak se změní objem, který plyn v nádobě zaujímá? Atmosferický tlak neuvažujte.

4... trojúhelníkový odporníček

4 body

Určete odpor trojúhelníku vytvořeného z odporového drátu mezi svorkami A a B, které vidíte na obrázku. Jedna strana malého trojúhelníčku (ze kterých se skládá velký trojúhelník) má odpor R0. Odpor přívodních vodičů neuvažujte.

5... hlídání dětí

5 bodů

Mějme houpačku zavěšenou na dvou svislých lanech délky l=1,5m na vodorovné tyči o poloměru r=4cm. Dítěti sedícímu na houpačce udělíme v dolní úvrati takovou rychlost v0, aby dítě vykonalo celou otočku kolem horizontální tyče a lana byla během namotávání stále napnutá. Zároveň chceme, aby počáteční rychlost byla nejmenší možná. Určete rozdíl úhlové rychlosti ω1 houpačky s dítětem po návratu do dolní úvrati a počáteční úhlové rychlosti ω0.

Nápověda: Pro výpočet odstředivého zrychlení můžete uvažovat, že se dítě pohybuje lokálně po kružnici.

P... fyzika v plamenech

5 bodů

Na jakých fyzikálních (a chemických) parametrech závisí teplota, kterou hoří nějaká konkrétní látka? Jak? Určete tuto teplotu pro nějakou konkrétní látku.

E... gumipuk

8 bodů

Závaží o hmotnosti m na gumičce délky l0 je zavěšeno v pevném bodě o souřadnicích x=0 a y=0. Z osy x, která je horizontálně, závaží pouštíme. Jaká bude závislost nejnižšího dosaženého bodu na poloze na ose x?

Návod pro řešení experimentálních úloh

S... struna

6 bodů

Uvažujme otevřené struny a omezme se jen na tři prostorové rozměry. Namalujte, jak vypadá

  • struna volně se pohybující v časoprostoru,
  • struna připevněná oběma konci k D2-bráně,
  • struna natažená mezi D2-bránou a D1-bránou.

Jaké jsou možnosti, kde mohou struny končit v případě konfigurace tří rovnoběžných D2-brán?

Vyberte si jednu z funkcí Pμτ nebo Pμσ definovanou v první části seriálu a najděte její explicitní tvar (tj. přímo závislost na X˙μ a Xμ). Ukažte, že podmínky \vectX\vectX˙=0 a |\vectX˙|2=|\vectX|2 opravdu vedou na zjednodušení uvedené v textu.

Najděte spektrum energií harmonického oscilátoru.

  • Energie harmonického oscilátoru je dána Hamiltoniánem

\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2\hat{x}^2\,. Druhý člen je očividně potenciální energií zatímco první dává po dosazení p^=mv^ kinetickou energii. Definujme lineární kombinaci α^=ax^+ibp^. Určete reálné konstanty a a b, tak aby měl Hamiltonián tvar \hat{H}=\hbar \omega \left(\hat{\alpha} ^{\dagger}\hat{\alpha} + \frac{1}{2}\right)\,, kde α^ je komplexní sdružení α^.

  • Ukažte ze znalosti kanonických komutačních relací pro x^ a p^, že platí

\left[\hat{\alpha},\hat{\alpha}\right]=0\,,\quad\left[\hat{\alpha} ^{\dagger},\hat{\alpha} ^{\dagger}\right]=0\,,\quad\left[\hat{\alpha} ,\hat{\alpha} ^{\dagger}\right]=1

  • Ve spektru oscilátoru bude určitě stav s minimální energií odpovídající nejmenšímu možnému kmitání. Označme ho |0. Tento stav musí splňovat α|0=0. Ukažte, že je jeho energie rovna ω/2, tj. H^|0=ω/2|0. Dále ověřte, že pokud by bylo α|00, pak máme spor s tím, že má |0 minimální energii, tj. H^α|0=Eα|0, kde nyní je E<ω/2. Všechny vlastní stavy Hamiltoniánu můžeme potom psát jako (α)n|0 pro n=0,1,2, Najděte energie těchto stavů, tj. čísla En taková, že H^(α)n|0=En(α)n|0

Tip Použijte komutační relace pro α^ a α^ .

Text seriálu 5. série