Text seriálu 3. série Brožurka s řešeními

1... zatmění

2 body

Kolem hvězdy obíhá po kruhové dráze planeta a kolem ní obíhá taktéž po kruhové dráze měsíc, a to v rovině jejího oběhu. Víme, že při zatmění slunce je úhlová velikost měsíce stejná jako úhlová velikost slunce, pozorováno z planety (tj. měsíc slunce přesně zakryje). Dále ještě víme, že při zatmění měsíce naopak planeta přesně zakryje měsíc. Určete, jaký je poměr poloměrů planety $R$ a měsíce $r$, jestliže je vzdálenost planety od hvězdy mnohem větší než vzdálenost měsíce od planety $L$ a ta je zase řádově větší než rozměry $R$, $r$.

2... Středozemní moře

2 body

Jak rychle v průměru teče voda Gibraltarským průlivem, když umožňuje střídání přílivu a odlivu ve Středozemním moři? Potřebné údaje si najděte na internetu a nezapomeňte citovat!

3... pohárkovo vanová

4 body

Vezměme prázdný válcový kelímek. Otočme ho dnem vzhůru a tlačme ho pod klidnou vodní hladinu. Jak vysoký bude vzduchový sloupec v kelímku v závislosti na jeho ponoření?

4... Ani k stáru, ani k stáru...

4 body

Balón i s košem má hmotnost $M$. Koš balónu se ponoří do přehrady a nateče do něj voda. Nyní trochu přitopíme a zvýšíme vztlak balónu na $Mg+F$. Koš má tvar hranolu se čtvercovou podstavou o hraně $a$ a je ponořený do hloubky $H$. Otvory v koši tvoří $p≪1$ z celkové plochy koše, o kterém předpokládáme, že je prázdný (kromě vody). Zanedbejme viskozitu vody a vlastní objem koše. Jak rychle se bude koš vynořovat v závislosti na hloubce ponoření?

Bonus: Za jak dlouho se vynoří?

Nápověda: Střední rychlost výtoku vody z části koše nad hladinou je rovna 2/3 maximální rychlosti výtoku.

5... mig-mig!

5 bodů

Chudák hladový kojot chce ulovit proradného ptáka Uličníka a přichystal na něj následující past: na pevné lano přiváže 500tunovou kovadlinu, přehodí ji přes větev tak, aby visela nad silnicí, a bude čekat. Kolikrát musí lano kolem větve obtočit, jestliže chce kovadlinu udržet ve vzduchu pouze vlastní vahou? Předpokládejte, že hmotnost lana je vůči hmotnosti kojota zanedbatelná.

P... solární pohon

5 bodů

Mohlo by letadlo létat na solární pohon?

E... viskozoidní

8 bodů

Každá kapalina má svou specifickou viskozitu. Pokuste se doma vyrobit průtokový viskozimetr a změřit relativní viskozitu několika vhodných tekutin (alespoň tří) vůči vodě. Vaše výsledky porovnejte s údaji vyhledanými na internetu.

Návod pro řešení experimentálních úloh

S... Aplikační

6 bodů

 

  • V textu seriálu jsme využili přibližný vztah pro $\sqrt{1 + h^2}$, kde $h$ malá hodnota. Zkoumejte, jak přesná je to aproximace. Jak moc se může $h$ lišit od nuly, aby se aproximovaná a přesná hodnota lišily o méně než deset procent? Podobnou aproximaci můžeme provést pro libovolnou rozumnou funkci pomocí tzv. Taylorova rozvoje. Pokuste se na internetu najít Taylorův rozvoj například pro funkce $\cos h$ a $\sin h$ kolem bodu $h=0$, zanedbejte členy vyšší než $h$ a najděte přibližnou mezní hodnotu $h$, kdy se aproximovaná a přesná hodnota liší o 0,1.
  • Uvažujme vlnovou rovnici pro klasickou strunu ze seriálu a nechť je struna pevně upevněna na jednom konci v bodě $[x;y]=[0;0]$ a na druhém konci v bodě $[x;y]=[l;0]$. Pro jaké hodnoty $ω,α,a$ a $b$ je výraz

$$y(x,t)=\sin ({\alpha} x)\left [a\sin {({\omega} t)} b\cos {({\omega} t)}\right ]$$

řešením vlnové rovnice? //Tip:// Dosaďte do pohybové rovnice a využijte okrajové podmínky.

  • V minulém díle seriálu jsme porovnávali hodnoty akce pro různé trajektorie částice. Nyní vypočtěte hodnotu Nambu-Gotovy akce pro uzavřenou strunu, která od času 0 do času $t$ stojí na místě v rovině $(x^1, x^2)$ a má tvar kruhu o poloměru $R$. Máme tedy

$$X({\tau} , {\sigma} )=(c{\tau} , R\cos {{\sigma} }, R\sin {{\sigma} },0)$$

pro $σ∈<0,2π>.$ Načrtněte dále, jak vypadá světoplocha této struny (na poslední nulovou komponentu zapomeňme) a jak vypadají čáry konstantního $τ$ a $σ.$

Pokud hledáte starou webovou stránku, najdete ji na https://old.fykos.cz