Zadání 5. série 33. ročníku

Na mostě dlouhém $300\,\mathrm{m}$ stojí nákladní vlak, jehož váha je rovnoměrně rozložena na plochu všech devíti ocelových pilířů mostu. Každý pilíř má podstavu tvaru čtverce se stranou $a = 2{,}0\,\mathrm{m}$ a je vysoký $h=10\,\mathrm{m}$. O kolik sa vlivem tíhy vlaku stlačí ocelové pilíře? Modul pružnosti oceli v tlaku je $E = 200\,\mathrm{GPa}$, celková hmotnost vlaku je $m = 574\,\mathrm{t}$.

Jáchym chce doma nakládat zelí, a tak si koupil válcový sud. Z obchodu ho však musí nějak dostat metrem domů. Sud i s víkem si můžeme představit jako dutý válec s vnějším poloměrem $r$ a s vnější výškou $h$. Šířka stěn, podstavy i víka je $t$. Sud je vyrobený z materiálu s hustotou $\rho$. S jakým největším zrychlením se může souprava metra pohybovat, aby se volně stojící sud vůči ní nijak nepohnul? Koeficient tření mezi podlahou vagónu a sudem je $f$.

Přesně na hraně stolu leží homogenní koule o poloměru $r$. Jelikož je to „polovratká“ poloha, začne koule padat ze stolu. Na jakou úhlovou rychlost se roztočí? Předpokládejte, že koule neprokluzuje.

Kruhová kovová smyčka s poloměrem $r = 15\,\mathrm{cm}$ má hmotnost $m = 18\,\mathrm{g}$. Pokud bychom ji rozstřihli, vznikl by drát s odporem $R = 3{,}5\,\mathrm{m\Omega}$. Na počátku je smyčka v klidu. V čase $t = 0$ zapneme homogenní magnetické pole kolmé k rovině smyčky s časovým průběhem $B(t) = \alpha t$, kde $\alpha = 1\,\mathrm{mT\cdot s^{-1}}$ je konstanta. Smyčka se v důsledku přítomnosti nestacionárního magnetického pole začne nepatrně otáčet kolem své osy. Určete velikost úhlové rychlosti $\omega$ v čase $t = 0{,}1\,\mathrm{s}$. Deformaci smyčky neuvažujte.

Určete, jaký fázový posun $\Delta \Phi$ vznikne přechodem laserového svazku s vlnovou délkou $\lambda_0$ přes skleněnou desku s klidovou tloušťkou $h$ a s indexem lomu $n$, která se pohybuje ve směru svazku rovnoměrně rychlostí $v$, oproti případu, kdy je deska vůči zdroji i pozorovateli v klidu. Zajímá nás především první nenulový člen rozvoje podle rychlosti desky.

Odhadněte čas, který uplyne mezi stlačením vypínače a rozsvícením světelného zdroje. Zvlášť vyřešte pro žárovku, zářivku, LED a neonovou trubici. Diskutujte co nejvíc faktorů, které tento čas ovlivňují.

Změřte závislost teploty kapaliny v otevřeném hrnku na čase. Jako kapalinu použijte nejdříve vodu, potom olej a nakonec vodu s malou vrstvou oleje na povrchu. Vrstva by měla být co nejtenčí, ale zároveň musí pokrývat celý povrch vody. Měřte v rozsahu od $90\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$ do $50\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$. Dávejte pozor na to, aby veškeré podmínky byly při všech experimentech stejné (použijte stejný hrnek se stejnou počáteční teplotou, teploměr ponechte celou dobu v kapalině pokaždé na stejném místě atd.). Popište co nejlépe experimentální aparaturu, srovnejte chladnutí v jednotlivých případech a výsledky diskutujte.

1. Máme PET lahev s vodou, která stojí na nekonečné rovině. V jaké výšce bychom měli vytvořit v lahvi malý otvor, aby voda dostříkla co nejdále od lahve? Lahev po celou dobu nehybně stojí na rovině a otvor prochází kolmo stěnou. Průřez otvoru je výrazně menší než průřez lahve.
2. Kam bychom měli umístit otvor (viz předchozí podúloha), pokud chceme, aby byl dostřik nejdelší po jedné minutě? Předpokládejte, že lahev má konstantní průřez $S$ a otvor má výrazně menší průřez $s$. Pro numerické řešení odhadněte rozumné hodnoty konstant.
3. Jaký může mít baterie maximální výkon na spotřebiči, pokud má elektromotorické napětí $U_{\mathrm{e}}$ a vnitřní odpor $R_{\mathrm{i}}$? Pro jaký odpor spotřebiče to nastane? Popřípadě, pro jakou impedanci to nastane, pokud bude obvod tvořen rezistorem, cívkou a kondenzátorem?
4. Jak nejblíže se k sobě mohou dostat dvě jádra dusíku $14$, která se pohybují se střední kvadratickou rychlostí odpovídající plynu za normálních podmínek?
5. Najděte maximální možnou teplotu, kterou by mohl mít plyn, ve kterém by probíhal děj $p = p_0 \mathrm{e}^{-\alpha V}$, kde $\alpha$ je kladná konstanta a $p_0$ je tlak plynu v počátečním stavu.