Zadání 1. série 35. ročníku

Dvě auta vyjedou ve stejný čas ze stejného bodu rychlostmi $v_1 = 100\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}$ a $v_2 = 60\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}$. Je možné, aby se auta od sebe vzdalovala některými z následujících rychlostí? Pokud ano, příslušné situace načrtněte. \begin{alignat*}{2} v_a &= 160\,\mathrm{km\cdot h^{-1}} \,, \quad & v_b &= 40\,\mathrm{km\cdot h^{-1}} \,, \\ v_c &= 30\,\mathrm{km\cdot h^{-1}} \,, \quad & v_d &= 90\,\mathrm{km\cdot h^{-1}} \end{alignat*}

Pravidlo dvou sekund je pomůcka pro řidiče, která tvrdí, že bezpečný rozestup dvou vozidel jsou minimálně dvě sekundy. Mějme dopravní uzel, ve kterém $n_1$-proudá silnice přechází v $n_2$-proudou. Maximální povolená rychlost v prvním úseku je $v_1$. Jaká může být nejmenší možná maximální povolená rychlost $v_2$ ve druhém úseku, aby se v něm netvořily zácpy a všichni měli možnost dodržet pravidlo dvou sekund? Průměrná délka jednoho auta je $l$ a předpokládáme, že svoji rychlost dokáže měnit skokově.

Na bruslích se dá brzdit metodou „parallel slide“, při které se nože obou bruslí natočí kolmo na směr pohybu, což výrazně zvýší tření s podložkou. Aby bruslař nespadl, musí se naklonit o úhel $\phi = 35^\circ$ od svislého směru. Předpokládejte, že člověk vážící $m = 70\,\mathrm{kg}$ je i s bruslemi vysoký $H = 1{,}8\,\mathrm{m}$, přičemž těžiště má ve výšce $h = 1{,}1\,\mathrm{m}$ nad ledem. Spočítejte, na jak dlouhé dráze zastaví z počáteční rychlosti $v_0 = 15\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}$.

Kapsle válcového tvaru (Puddle Jumper – Stargate) s průměrem $d = 4\,\mathrm{m}$, délkou $l = 10\,\mathrm{m}$ a vodotěsnou přepážkou v polovině délky je ponořena pod hladinu oceánu a rychlostí $v = 20\,\mathrm{ft\cdot min^{-1}}$ klesá ke dnu. V hloubce $h = 1~200\,\mathrm{ft}$ praskne sklo na přední podstavě a příslušná polovina kapsle se zaplní vodou. Jakou rychlostí bude nyní klesat? Za jak dlouho klesne až na dno v hloubce $H = 3~000\,\mathrm{ft}$? Osa válce má před prasknutím skla horizontální směr. Předpokládejte, že stěny kapsle jsou vůči jejím rozměrům tenké.

Představme si nabitý deskový kondenzátor, jehož jedna vodorovná deska je ve fixní pozici a druhá levituje přímo pod ní v rovnovážné pozici. Spodní deska není nijak mechanicky fixována. Jaká bude kapacita takového kondenzátoru v závislosti na přiloženém napětí? Je tento kondenzátor mechanicky stabilní?

Možná jste si všimli, že sopky na Zemi nemají univerzální tvar – navzájem se mohou dost lišit. Srovnejte například fotografie havajské sopky Mauna Loa a italského Vesuvu. Liší se nejen strmostí stěn, ale i stylem erupcí. Obě tyto vlastnosti úzce souvisí s viskozitou magmatu. Jak viskozita magmatu ovlivňuje styl a nebezpečnost erupcí? Souvisí to nějak s geografickou polohou sopek?

Změřte závislost času začátku varu vody na jejím množství v nádobě. Měření opakujte několikrát pro alespoň pět různých objemů. Dbejte přitom na konzistentnost podmínek, zejména kritérium varu a počáteční teplotu vody, nádoby a sporáku. Výslednou závislost se pokuste vysvětlit.

1. Spočítejte energetický výtěžek následujících reakcí a kinetické energie produktů reakce \begin{align*} {}^{2}\mathrm{D} + {}^{3}\mathrm{T} &\rightarrow {}^{4}\mathrm{He} + \mathrm{n} \,,\\ {}^{2}\mathrm{D} + {}^{2}\mathrm{D} &\rightarrow {}^{3}\mathrm{T} + \mathrm{p} \,,\\ {}^{2}\mathrm{D} + {}^{2}\mathrm{D} &\rightarrow {}^{3}\mathrm{He} + \mathrm{n} \,,\\ {}^{3}\mathrm{T} + {}^{3}\mathrm{T} &\rightarrow {}^{4}\mathrm{He} + 2\mathrm{n} \,,\\ {}^{3}\mathrm{He} + {}^{3}\mathrm{He} &\rightarrow {}^{4}\mathrm{He} + 2\mathrm{p} \,,\\ {}^{3}\mathrm{T} + {}^{3}\mathrm{He} &\rightarrow {}^{4}\mathrm{He} + \mathrm{n} + \mathrm{p} \,,\\ {}^{3}\mathrm{T} + {}^{3}\mathrm{He} &\rightarrow {}^{4}\mathrm{He} + {}^{2}\mathrm{D} \,,\\ \mathrm{p} + {}^{11}\mathrm{B} &\rightarrow 3\;{}^{4}\mathrm{He} \,,\\ {}^{2}\mathrm{D} + {}^{3}\mathrm{He} &\rightarrow {}^{4}\mathrm{He} + \mathrm{p} \,. \end{align*}

2. Pomocí grafu rychlosti výtěžku v textu seriálu pro vámi zvolenou teplotu odvoďte Lawsonovo kritérium pro dobu udržení inerciální fúze deuteria s deuteriem, protonu s borem a deuteria s heliem 3 a pro jednotlivé případy určete součin velikosti palivové peletky a hustotu stlačeného paliva. Mají tyto reakce nějakou výhodu oproti tradiční DT fúzi?
3. Určete, jak by vypadalo Lawsonovo kritérium pro nemaxwellovské rozdělení rychlostí, kdyby kinetická energie částic byla
   1. $E_{\mathrm{k}} = k_{\mathrm{B}} T^{\alpha}$,
   2. $E_{\mathrm{k}} = a T^3 + b T^2 + c T$.
   Byla by takováto fúze vůbec realizovatelná? Pokud ano, jaké by mělo být palivo (fúzní reakce), jak velká by měla být palivová peletka a na jakou hustotu by se měla stlačit?