Deadline pro odeslání: 5. 10. 2025, 23:59.

Zadání 1. série 39. ročníku

O semináři Pravidla Jak psát řešení Pořadí řešitelů

Ročník 39

1

1

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5

1 2 3 4

1... vodnická

3 body

Na dně Mrtvého moře žije vodník, jenž v hrnečcích vězní dušičky lidí, kteří se zde utopili. Protože se ale lidská dušička do hrnečku nevejde, musí její objem nejprve izotermicky pětkrát zmenšit. Jednoho dne už ho tahle lokalita začala nudit, a tak si řekl, že se přestěhuje do vodní nádrže Orlík. Pokud si chce nechat své hrnečky i s obsahem, v jaké minimální hloubce musí žít, aby dušičky neodklopily hmotná víčka hrnečků a neutekly mu?

Původně žil vodník v hloubce $50\,\mathrm{m}$ tak, že i při nejmenším nazdvihnutí hrnečků by došlo k jejich otevření. Dušičky považujte za ideální plyn o teplotě okolní vody, v okamžiku utonutí člověka (před jejich stlačením) mají atmosférický tlak. Teplota Mrtvého moře je $23\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$, teplota nádrže Orlík $6\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$, hustota Mrtvého moře je $1{,}24\,\mathrm{g\cdot cm^{-3}}$, zatímco hustota vody v nádrži Orlík je $0{,}99\,\mathrm{g\cdot cm^{-3}}$. Tíhové zrychlení $9{,}8\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ a atmosférický tlak $0{,}10\,\mathrm{MPa}$ je možno považovat za stejné pro obě místa. Uvažujte konstantní vlastnosti vody v celém objemu pro obě vodní plochy. Během stěhování byly hrnečky po celou dobu uzavřeny.

Hydromechanika Mechanika plynu

2... turbocyklista

3 body

Jakou maximální rychlostí může cyklista projet levotočivou zatáčku o poloměru $r = 7{,}5\,\mathrm{m}$, aby se kvádrovým pedálem nedotkl země? Cyklista a kolo váží dohromady $m = 80\,\mathrm{kg}$, jejich společné těžiště leží v rovině symetrie kola. Klika levého pedálu je po celou dobu jízdy v dolní poloze; samotný pedál není pootočen ani dopředu, ani dozadu, jeho poloha vůči klice tedy setrvává ve stejné pozici jako na přiloženém obrázku. Pedál je vysoký $a = 2{,}0\,\mathrm{cm}$ a široký $b = 10\,\mathrm{cm}$, rozměry kliky jsou $d = 15\,\mathrm{cm}$ a $l = 6{,}5\,\mathrm{cm}$, vizte obrázek. Když je kolo ve svislé poloze, vodorovná osa otáčení kliky kolem rámu $o$ je ve výšce $h = 30\,\mathrm{cm}$ nad zemí. Svislá čerchovaná čára naznačuje svislou symetrii kola, v níž se nachází těžiště, délku $l$ tedy měříme od prostředku středového složení. Tření považujte za dostatečné, aby kolo nepodklouzlo.

Mechanika hmotného bodu

3... odpor k pavučinám

6 bodů

Mějme pavučinu tvořenou kružnicí o poloměru $r$ se dvěma kolmými příčkami, které prochází jejím středem. Do kružnice vložíme $N-1$ soustředných kružnic tak, že se příčky protínají vždy ve vzdálenostech $r/N$. Jaký odpor je mezi konci jedné příčky? Materiál pavučiny je má délkový odpor $\lambda$ a uzly jsou vodivě propojené.

Bonus: Určete totéž pro tři příčky pootočené o $120^\circ$.

Elektrický proud

4... dortíková

8 bodů

Jardovi se při jezení dortík na jeho talíři často převrhne na stranu. Jaká je práce potřebná k takovému neštěstí? Uvažujte polárně (nebo polárkově) symetrický dort o hmotnosti $M$ a poloměru $R$, jehož těžiště se nachází ve výšce $h$; řešte obecně pro jeho rozkrojení na $n$ stejných kousků.

Bonus: Upečte svůj vlastní dort a pošlete fotku i recept. Nejlepší zveřejníme do vzorového řešení!

Mechanika tuhého tělesa

5... eliptická čočka

9 bodů

Mějme protáhlý rotační elipsoid z průhledného materiálu o indexu lomu $n=1{,}5$. Uvažujme rovinu, která je rovnoběžná s rotační osou a protíná elipsoid blízko vedlejšího vrcholu. Touto rovinou provedeme řez a analogický řez provedeme i na druhé straně. Oba odříznuté kousky k sobě slepíme plochou stranou tak, že dostaneme tenkou čočku. Jak se zobrazí světelný bod od středu čočky vzdálený $d=4\,\mathrm{m}$, jenž leží na optické ose? Průmět původního tělesa je elipsa na přiloženém nákresu s hlavní poloosu $a=3\,\mathrm{m}$ a vedlejší $b=2\,\mathrm{m}$.

Geometrická optika

E... ztracený předmět

11 bodů

Možná se i vy divíte, kam až se dokáže dostat malý předmět poté, co vám omylem spadl na zem. Vyberte si drobný předmět (šroubek, matičku apod.) a změřte vzdálenost místa nalezení předmětu od místa dopadu v závislosti na výšce upuštění od země. Pro každou počáteční výšku proveďte dostatečně mnoho měření pro snížení statistické chyby. Zamyslete se nad vhodnými předměty a podložkami.

Návod pro řešení experimentálních úloh
Mechanika tuhého tělesa