Zadání 1. série 39. ročníku

Na dně Mrtvého moře žije vodník, jenž v hrnečcích vězní dušičky lidí, kteří se zde utopili. Protože se ale lidská dušička do hrnečku nevejde, musí její objem nejprve izotermicky pětkrát zmenšit. Jednoho dne už ho tahle lokalita začala nudit, a tak si řekl, že se přestěhuje do vodní nádrže Orlík. Pokud si chce nechat své hrnečky i s obsahem, v jaké minimální hloubce musí žít, aby dušičky neodklopily hmotná víčka hrnečků a neutekly mu?

Původně žil vodník v hloubce $33\,\mathrm{m}$ tak, že i při nejmenším nazdvihnutí hrnečků by došlo k jejich otevření. Dušičky považujte za ideální plyn o teplotě okolní vody, v okamžiku utonutí člověka (před jejich stlačením) mají atmosférický tlak. Teplota Mrtvého moře je $23\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$, teplota nádrže Orlík $6\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$, hustota Mrtvého moře je $1{,}24\,\mathrm{g\cdot cm^{-3}}$, zatímco hustota vody v nádrži Orlík je $0{,}99\,\mathrm{g\cdot cm^{-3}}$. Uvažujte konstantní vlastnosti vody v celém objemu pro obě vodní plochy. Během stěhování byly hrnečky po celou dobu uzavřeny.

Mějme pavučinu tvořenou kružnicí o poloměru $r$ se dvěma kolmými příčkami, které prochází jejím středem. Do kružnice vložíme $N-1$ soustředných kružnic tak, že se příčky protínají vždy ve vzdálenostech $r/N$. Jaký odpor je mezi konci jedné příčky? Materiál pavučiny má délkový odpor $\lambda$ a uzly jsou vodivě propojené.

Bonus: Určete totéž pro tři příčky pootočené o $120^\circ$.

Jardovi se při jezení dortík na jeho talíři často převrhne na stranu. Jaká je práce potřebná k takovému neštěstí? Uvažujte polárně (nebo polárkově) symetrický dort o hmotnosti $M$ a poloměru $R$, jehož těžiště se nachází ve výšce $h$; řešte obecně pro jeho rozkrojení na $n$ stejných kousků.

Bonus: Upečte svůj vlastní dort a pošlete fotku i recept. Nejlepší zveřejníme do vzorového řešení!

Tato úloha má otevřené řešení, proto nezapomeňte uvést všechny použité zdroje.

Představte si, že za větrného dne jedete na kole ve zvlněném terénu. Kvalitativně diskutujte vlastnosti pohybu různými směry a různou rychlostí; diskutujte také, jak by se změnil popis tohoto pohybu, kdybychom zanedbali

• odpor vzduchu,
• valivý odpor kol,
• sklon terénu,
• různé odporové síly.

Možná se i vy divíte, kam až se dokáže dostat malý předmět poté, co vám omylem spadl na zem. Vyberte si drobný předmět (šroubek, matičku apod.) a změřte vzdálenost místa nalezení předmětu od místa dopadu v závislosti na výšce upuštění od země. Pro každou počáteční výšku proveďte dostatečně mnoho měření pro snížení statistické chyby. Zamyslete se nad vhodnými předměty a podložkami.

1. Na monokrystal ruthenia $\ce{Ru}$ byla naprašována vrstva iridia $\ce{Ir}$ po dobu $240\,\mathrm{min}$. Po naprašování jsme v XPS (Al K$\alpha$, $hf=1486{,}71\,\mathrm{eV}$) změřili útlum podkladového signálu $\ce{Ru}$, přičemž výsledné spektrum je na obrázku 3 v textu seriálu. Určete tloušťku nadeponované vrstvy $\ce{Ir}$. Uvažujte emisi kolmou k povrchu a efektivní střední volnou dráhu fotoelektronů v $\ce{Ir}$ $\lambda_{\ce{Ir}}=1{,}6\,\mathrm{nm}$. – 4 body

2. Uvažujte, že máme vzorek iridia, který je na povrchu pokrytý $2\,\mathrm{nm}$ vrstvou oxidu $\ce{IrO_2}$. Naším cílem je zkoumat pouze aktivní $\ce{IrO_2}$. Toho by šlo dosáhnout měřením na synchrotronu, kde bychom nastavili primární energii fotonů na $\approx 150\,\mathrm{eV}$, abychom se s energií fotoelektronů pohybovali v minimu křivky na obrázku 2 seriálového textu. Jak bychom tento problém mohli alternativně řešit, pokud nemáme synchrotron? Zkuste najít konkretní podmínky, které by to umožnily i s laboratorní rentgentkou o energii $1486{,}71\,\mathrm{eV}$, při které je střední volná dráha fotoelektronů $\lambda_{\ce{IrO_2}} = 3{,}2\,\mathrm{nm}$. Má tento postup nějaké nevýhody? – 2 body

   Nápověda: Využijte rovnici 1 v textu seriálu.

3. Na obrázku 9 v textu seriálu vidíme naměřený difraktogram pro polykrystalický oxid ceričitý při energii fotonů $77\,\mathrm{keV}$. Jakým mezirovinným vzdálenostem odpovídají první tři maxima? Jak tyto roviny vypadají v krystalické mřížce? A na jakém úhlu $2\theta$ bychom je naměřili, kdybychom použili rentgen o energii $90 keV$? – 4 body