Zadání 2. série 31. ročníku

Jak velké skladovací prostory by musela mít Víla Zubnička, aby mohla skladovat všechny mléčné zuby všech dětí? Resp. jakým tempem by její nároky na uskladnění rostly? Za jakou dobu by teoreticky měla ve svých skladech většinu zásob fosforu na Zemi?

Solární konstanta, či správněji solární irradiace, je tok energie přicházející ze Slunce ve vzdálenosti Země od Slunce. Nejde o konstantu, ale uvažujme, že má hodnotu $P=1370\mathrm{W}\cdot {\mathrm{m}}^{-2}$. Uvažujme, že Země obíhá Slunce po kružnici a sklon zemské osy vůči kolmici k její oběžné rovině je $23,5\text{dg}$. Jaký bude maximální výkon zachycený solárním panelem o ploše $S=1{\mathrm{m}}^2$ o letním a zimním slunovratu, pokud panel leží na rovném povrchu Země v Praze? Uvažujte, že ani atmosféra ani budovy nijak neovlivní měření.

Jakou část povrchu kulové planety není možné vidět ze stacionární oběžné dráhy planety (taková dráha, že se obíhající objekt nachází stále nad stejným bodem na planetě), která má hustotu $\rho$ a periodu rotace $T$?

Představme si, že máme něco (například jaderný odpad) a chceme se toho zbavit. Těleso dostaneme na oběžnou dráhu Slunce shodnou s oběžnou dráhou Země, ale dostatečně daleko od Země, abychom mohli gravitační působení Země nadále zanedbávat. Otázka je, jaký způsob zbavení se inkriminovaného předmětu by nás stál kolik energie a který postup by byl tedy nejvýhodnější. Varianty jsou

• Hodit to do Slunce. Stačí, aby se to dostalo na sluneční povrch a bude to dostatečně usmažené.
• Převést to na kruhovou dráhu v Hlavním pásu (pás planetek mezi Marsem a Jupiterem).
• Vyhodit to zcela ze Sluneční soustavy.

Dělník si na stavbu mrakodrapu přinesl vak se skleněnkami, aby se s nimi mohl pochlubit svým kolegům. A co se nestane -- vak se vysype a kuličky padají skrze lešení směrem k zemi. Lešení se skládá z jednotlivých poschodí o výšce $h$. Podlaha každého poschodí se skládá ze stejných mříží, ve kterých díry zaujímají $k\hspace{0.17em}\mathrm{\%}$ z celkové plochy mříže. Uvažujme zjednodušený model propadávání kuliček lešením, kdy, pokud kulička spadne na díru v lešení, tak projde bez ovlivnění, a pokud spadne na pevnou část mříže, tak se její rychlost sníží na $0$ a ihned začne dále padat (tj. velikost kuliček je zanedbatelná vůči velikosti děr v lešení, kuličky se od lešení nijak neodráží a po dopadu na pevnou část mříže se ihned skutálí do díry a dále začínají padat). Nakonec neuvažujme ani potenciální srážky kuliček mezi sebou. Předpokládejte, že kuličky se z tašky sypou s konstantním hmotnostním průtokem $Q$. Jakou silou budou kuličky působit na každé patro lešení, až se situace ustálí?

Jaké vlastnosti má 118. prvek periodické soustavy prvků? Respektive jaké by asi měl, kdyby byl stabilní? Diskutujte alespoň tři fyzikální vlastnosti.

Změřte sypný úhel alespoň 2 látek běžně používaných v kuchyni (např. mouka, cukr, sůl apod.).

1. Vykreslete závislost chyby na velikosti kroku pro metodu odvozenou pomocí Richardsonovy extrapolace v textu seriálu. Jaký je optimální krok a minimální chyba? Porovnejte s centrovanou a dopřednou diferencí. Jako derivovanou funkci použijte $\exp (\sin (x))$ v bodě $x=1$.
   Bonus: Vypočtěte pro tuto metodu teoretickou velikost optimálního kroku pomocí odhadu chyb.
2. Na webu se nachází soubor s experimentálně zjištěnými $t$, $x$ a $y$ souřadnicemi poloh hmotného bodu. Pomocí numerické derivace nalezněte časovou závislost složek rychlosti a zrychlení a vyneste obě závislosti do grafu. Jaký fyzikální děj bod nejspíše konal? Numerickou metodu si zvolte sami, svoji volbu ale odůvodněte.
   Bonus: Existuje v tomto případě přesnější varianta získání rychlosti a zrychlení, než přímočará aplikace numerické derivace?
3. Máme zadán integrál ${\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}x\text{d}x$.
   1. Nalezněte hodnotu integrálu z geometrické úvahy za pomoci Pythagorovy věty.
   2. Nalezněte hodnotu integrálu pomocí Monte Carlo simulace. Určete směrodatnou odchylku výsledku.
      Bonus: Vyřešte Buffonovu úlohu ze seriálu (odhad hodnoty čísla $\pi$) pomocí MC simulace.
4. Nalezněte vztah pro výpočet objemu šestidimenzinální koule pomocí metody Monte Carlo.
   Nápověda: Pythagorovu větu lze využít k měření vzdáleností i ve vyšších dimenzích.