Zadání 2. série 28. ročníku

V chladném ranním oparu odcházíte z domu a zahradní branka funguje tak, jak má – na zmáčknutí kliky se otevře, po zavření a puštění kliky zůstane zavřená, zaklapnutá. Odpoledne se vracíte a říkáte si, který lump zase nezavřel… A ejhle, ono zavřít nejde. Ani po stisknutí kliky nezaleze ocelový jazýček natolik, aby prošel kolem hliníkového rámu. Branka je také z hliníku. Kde je problém? Co zapomněl výrobce při navrhování branky uvažovat? Navrhněte, jaké rozměry by měla mít branka při $20\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$, jestliže uvažujeme, že teplota během roku neklesá pod $-30\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$ a nepřesahuje $50\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$.

Odhadněte na základě znalostí pouze makroskopicky měřitelných veličin, počtu buněk v lidském těle a počtu částic v látkovém množství jednoho molu, kolik molekul kyslíku „spotřebuje“ denně jedna lidská buňka. Potřebné údaje k výpočtu si nalezněte a svoje zdroje nezapomeňte citovat.

Jádro bismutu $\ce{^{209}Bi}$ sedí nedočkavě v pokoji na místě. V jednom okamžiku to nevydrží a rozpadne se. Zůstane nám z něj jádro thalia $\ce{^{205}Tl}$ a od něho letí pryč $\alpha$ částice. Jakou rychlostí by se pohybovala $\alpha$ částice, pokud by se energie uvolněná při rozpadu přeměnila pouze na její kinetickou energii? Jakou rychlostí se bude $\alpha$ částice pohybovat ve skutečnosti? Výsledky porovnejte. Klidové hmotnosti atomů jsou $M=m(\ce{^{209}Bi})=208{,}980\,399\,\mathrm{u}$, $M'=m(\ce{^{205}Tl})=204{,}974\,428\,\mathrm{u}$, $m=m(\ce{^4 He})=4{,}002\,602\,\mathrm{u}$. Nezapomeňte ověřit, jestli není potřeba používat relativistické vztahy.

Uvažujte pneumatiku válcovitého tvaru o poloměru $R$ s vnitřním otvorem o poloměru $r$ šířky $d$ huštěnou na tlak $p$. Pneumatiku zatížíme silou $F$. Při tomto zatížení se změní tvar pneumatiky z válce na válcovou úseč se stejným vnitřním i vnějším poloměrem. Předpokládejte, že se teplota pneumatiky zatížením nezmění. Určete plochu styku pneumatiky s vozovkou.

Máme družici, která obíhá Slunce po eliptické dráze. Pokud zmenšíme rychlost v afelu $v_{\mathrm{a}}$ na $4/5$ původní rychlosti (tj. na $(4/5) v_{\mathrm{a}}$), jak se změní rychlost družice v periheliu? Vyjádřete novou rychlost za pomoci původní rychlosti $v_{\mathrm{p}}$ a parametrů elipsy (hlavní poloosa $a$ a relativní excentricita $\varepsilon$).

Tato úloha má otevřené řešení, proto nezapomeňte uvést všechny použité zdroje.

Když se začínaly prosazovat digitální mobilní telefony, byl často problém se příjmem hovorů v automobilu. Nyní se to nejvíce týká vlaků. Jaké faktory ovlivňují přenos dat v GSM síti a jak mohou ovlivnit dostupnost signálu operátora? Jak by se proti tomu dalo bojovat?

V jaké hloubce pod vodovodním kohoutkem se rozpadá pramínek vody na kapičky? Jak to závisí na průtoku vody?

1. Délkové veličiny zadáváme v metrech, časové v sekundách a hmotnostní v kilogramech. Úhlovou rychlost $\varOmega$ zadáváme v radiánech za sekundu. Když vezmete ze seriálu rovnice pro pohyb míče, nachází se v nich ale ještě tři parametry: $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. Jaké jsou jejich rozměry?

2. Uvažujte volný pád míče s $\varOmega=0$ a $v_x = 0$. Existuje pak konečná rychlost $v_z^{\rm t}$, při které se vyrovná třecí síla a tíhové zrychlení a pád míče už nezrychluje.

   1. Určete tuto rychlost pomocí parametrů z rovnic pohybu pro míč.

   2. Obraťte tuto rovnost tak, aby vyjadřovala $\beta$. $v_z^{\rm t}$ se dá dobře měřit a pro fotbalový míč o hmotnosti $m=0{,}5\,\mathrm{kg}$ je typicky okolo $25\,\mathrm{m\!\cdot\! s^{-1}}$. Kolik je pak $\beta$?

3. Vyjádřete si počáteční $v_x$ a $v_z$ pomocí úhlu výstřelu $\varphi$ při fixní počáteční rychlosti $v=10\,\mathrm{m\!\cdot\! s^{-1}}$. Sepište program podle seriálu a vyzkoušejte měnit počáteční podmínky a parametry následovně:

   1. Zvolte nějaké kladné $\beta$, vypněte rotaci $\varOmega=0$ a zjistěte, zda je úhel výstřelu, pod kterým doletí míč nejdál, menší nebo větší než $45^\circ$. Svoje zjištění demonstrujte pomocí grafů letu.

   2. Zvolte nenulové kladné $\alpha$ s numerickou hodnotou v daných jednotkách stejnou jako $\beta$, $\gamma=0{,}01$ (v daných jednotkách) a $\varOmega = \pm 5\,\mathrm{rad\!\cdot\! s^{-1}}$. Jak se v daných případech změní optimální úhel výstřelu?

   3. Bonus Jak byste tedy nejdále dohodili krikeťákem? Je náš model pro tuto úvahu dostatečný?