Zadání 2. série 28. ročníku

V chladném ranním oparu odcházíte z domu a zahradní branka funguje tak, jak má – na zmáčknutí kliky se otevře, po zavření a puštění kliky zůstane zavřená, zaklapnutá. Odpoledne se vracíte a říkáte si, který lump zase nezavřel... A ejhle, ono zavřít nejde. Ani po stisknutí kliky nezaleze ocelový jazýček natolik, aby prošel kolem hliníkového rámu. Branka je také z hliníku. Kde je problém? Co zapomněl výrobce při navrhování branky uvažovat? Navrhněte, jaké rozměry by měla mít branka při 20 °C, jestliže uvažujeme, že teplota během roku neklesá pod −30 °C a nepřesahuje 50 °C.

Odhadněte na základě znalostí pouze makroskopicky měřitelných veličin, počtu buněk v lidském těle a počtu částic v látkovém množství jednoho molu, kolik molekul kyslíku „spotřebuje“ denně jedna lidská buňka. Potřebné údaje k výpočtu si nalezněte a svoje zdroje nezapomeňte citovat.

Jádro bismutu $^{209}Bi$ sedí nedočkavě v pokoji na místě. V jednom okamžiku to nevydrží a rozpadne se. Zůstane nám z něj jádro thalia $^{205}Tl$ a od něho letí pryč $α$-částice. Jakou rychlostí by se pohybovala $α$-částice, pokud by se energie uvolněná při rozpadu přeměnila pouze na její kinetickou energii? Jakou rychlostí se bude $α$-částice pohybovat ve skutečnosti? Výsledky porovnejte. Klidové hmotnosti atomů jsou $M=m_{^{209}Bi}=208,980399u$, $M′=m_{^{205}Tl}=204,974428u$, $m=m_{^{4}He}=4,002602u$. Nezapomeňte ověřit, jestli není potřeba používat relativistické vztahy.

Uvažujte pneumatiku válcovitého tvaru o poloměru $R$ s vnitřním otvorem o poloměru $r$ šířky $d$ huštěnou na tlak $p$. Pneumatiku zatížíme silou $F$. Při tomto zatížení se změní tvar pneumatiky z válce na válcovou úseč se stejným vnitřním i vnějším poloměrem. Předpokládejte, že se teplota pneumatiky zatížením nezmění. Určete plochu styku pneumatiky s vozovkou.

Máme družici, která obíhá Slunce po eliptické dráze. Pokud zmenšíme rychlost v afelu $v_{a}$ na 4⁄5 původní rychlosti (tj. na 4⁄5$v_{a})$, jak se změní rychlost družice v periheliu? Vyjádřete novou rychlost za pomoci původní rychlosti $v_{p}$ a parametrů elipsy (hlavní poloosa $a$ a relativní excentricita $ε)$.

Když se začínaly prosazovat digitální mobilní telefony, byl často problém se příjmem hovorů v automobilu. Nyní se to nejvíce týká vlaků. Jaké faktory ovlivňují přenos dat v GSM síti a jak mohou ovlivnit dostupnost signálu operátora? Jak by se proti tomu dalo bojovat?

V jaké hloubce pod vodovodním kohoutkem se rozpadá pramínek vody na kapičky? Jak to závisí na průtoku vody?

• Délkové veličiny zadáváme v metrech, časové v sekundách a hmotnostní v kilogramech. Úhlovou rychlost $Ω$ zadáváme v radiánech za čas. Když vezmete ze seriálu rovnice pro pohyb míče, nachází se v nich ale ještě tři parametry: $α$, $β$, $γ$. Jaké jsou jejich rozměry?
• Uvažujte volný pád míče s $Ω=0$ a $v_{x}=0$. Existuje pak konečná rychlost $v_{z}^{t}$, při které se vyrovná třecí síla a tíhové zrychlení a pád míče už nezrychluje.
• Určete tuto rychlost pomocí parametrů z rovnic pohybu pro míč.
• Obraťte tuto rovnost tak, aby vyjadřovala $β$. $v_{z}^{t}$ se dá dobře měřit a pro fotbalový míč o hmotnosti $m=0,5\;\mathrm{kg}$ je typicky okolo $25\, m\cdot s^{ −1}$. Kolik je pak $β$?
• Vyjádřete si počáteční $v_{x}$ a $v_{z}$ pomocí úhlu výstřelu $φ$ při fixní počáteční rychlosti $v=10\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{−1}$. Sepište program podle seriálu a vyzkoušejte měnit počáteční podmínky a parametry následovně
• Zvolte nějaké kladné $β$, vypněte rotaci $Ω=0$ a zjistěte, zda je úhel výstřelu, pod kterým doletí míč nejdál, menší nebo větší než 45°. Svoje zjištění demonstrujte pomocí grafů letu.
• Zvolte nenulové kladné $α$ s numerickou hodnotou v daných jednotkách stejnou jako $β$, $γ=0,01$ (v daných jednotkách) a $Ω=±5rad\cdot \;\mathrm{s}^{−1}$. Jak se v daných případech změní optimální úhel výstřelu?

Bonus: Jak byste tedy nejdále dohodili krikeťákem? Je náš model pro tuto úvahu dostatečný?