Zadání 2. série 39. ročníku

Jarda je vzdálený $110\,\mathrm{m}$ od semaforu, na kterém svítí červená, a blíží se k němu rychlostí $50\,\mathrm{km/h}$. Chce přitom zpomalovat se zrychlením nejvýše $3{,}0\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}$. Jakou nejvyšší rychlostí může semafor projet v době, kdy bude svítit zelená, pokud nechce ani na chvíli sešlápnout plyn? Předpokládejte, že pokud Jarda záměrně nebrzdí, jede auto stálou rychlostí. Do bliknutí zelené zbývá $21\,\mathrm{s}$.

K tenké vodorovné tyči připojíme hmotný bod pomocí provázku o délce $L$. Hmotný bod umístíme tak, aby provázek byl ve vodorovné poloze a kolmý k tyči. Napneme jej a pustíme hmotný bod. Pod touto tyčí se rovnoběžně s ní nachází ještě jedna stejná tyč ve vzdálenosti $d<L$. Hmotný bod se tak začne omotávat okolo ní. Jaká minimálně musí být vzdálenost $d$, aby spodní tyčku hmotný bod obkroužil a provázek byl přitom vždy napnutý? Uvažujte, že provázek je ohebný, nepružný a nehmotný.

Malému fotbalistovi se stalo, že se mu po nepodařené střele zasekl fotbalový míč mezi dvěma rovnoběžnými svislými deskami, které jsou od sebe vzdáleny $21\,\mathrm{cm}$. Klučina však dokáže působit pouze silou $450\,\mathrm{N}$, zatímco koeficient tření mezi míčem a stěnami je $0{,}6$. Protože to byl ale řešitel Výfuku, věděl toho hodně o fyzice, a tak začal balón kropit studenou vodou o teplotě $10\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$. Podaří se mu poté míč vytáhnout? Balón má poloměr $11\,\mathrm{cm}$, plochy dotyku se stěnami jsou kruhy. Uvažujte, že objem balónu se nemění, a to ani při deformaci při průniku mezi stěny ani při ochlazování. Balón byl před střelou natlakovaný na $120\,\mathrm{kPa}$ a jeho teplota byla $44\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$.

Mějme zapojení jako na obrázku. Určete interval frekvencí zdroje střídavého napětí, při kterém je efektivní napětí na kondenzátoru $C_2$ alespoň poloviční oproti maximální dosažitelné hodnotě.

Mějme nehybnou homogenní nenabitou vodivou sféru o poloměru $R$. Z nekonečna v záměrné vzdálenosti $b$ k ní byla rychlostí $v$ vystřelena částice s nábojem $q$. Určete, za jakých podmínek nedojde ke srážce částice s vodivou sférou. Přítomnost indukovaného magnetického pole zanedbejte. Záměrnou vzdáleností rozumíme vzdálenost středu sféry od přímky, po které se částice asymptoticky pohybuje z nekonečna, v angličtině najdeme termín impact parameter.

Tato úloha má otevřené řešení, proto nezapomeňte uvést všechny použité zdroje.

Jsou plány vytvořit sondu, která by se skládala ze dvou stejných hmotných částí s přístroji a vlákna mezi těmito shodně hmotnými částmi. Části s přístroji by měly být z jedné strany černé a z druhé co nejlépe odrazivé, aby se mohla tato sonda roztočit na co nejvyšší úhlovou rychlost díky slunečnímu záření. V okamžiku maximální rychlosti by se vlákno rozpojilo a části sondy s přístroji – či alespoň jedna její část – by se dostaly mimo Sluneční soustavu. Jakou maximální rychlost by mohla dosáhnout část sondy s použitím současných nejpevnějších materiálů? Uvažujte, že každá přístrojová část má hmotnost $M = 1{,}0\,\mathrm{kg}$, zatímco hmotnost vlákna je rovna $m = 0{,}50\,\mathrm{kg}$. Jakou maximální rychlostí by pak mohla část sondy opustit Sluneční soustavu, pokud uvažujeme, že před rozpojením by obíhala Slunce po elipse s periheliem $a_{\mathrm{pe}} = 0{,}50\,\mathrm{au}$ a afeliem $a_{\mathrm{af}} = 1{,}0\,\mathrm{AU}$?

Bonus: Jak dlouho by urychlování sondy na danou rychlost trvalo? Za jak dlouho bychom mohli uvažovat, že sonda opustila Sluneční soustavu?

Libovolnou metodou změřte rychlost pomocí Dopplerova jevu. Měření zopakujte několikrát pro různé rychlosti, použijte k tomu vhodný software na generaci a analýzu frekvencí. Získané hodnoty diskutujte a porovnejte s odhadovanými či jinak určenými. Posuďte také, jak kvalitní bylo měření vámi zvolenou metodou pro různé rychlosti.

1. Pokuste se interpretovat jednoduché spektrum hydroxonia, neboli oxoniového kationtu $\ce{H3O+}$. Na základě poznatků ze seriálového textu přiřaďte čtyři konkrétní píky v infračerveném a Ramanově spektru molekulovým vibracím, které jsme nechali určit v programu pro kvantově-chemické výpočty.

   

   Vlnočty ve spektru mají maxima intenzit odhadovaná na $872\,\mathrm{cm^{-1}}$, $1~686\,\mathrm{cm^{-1}}$, $3~611\,\mathrm{cm^{-1}}$ a $3~700\,\mathrm{cm^{-1}}$. Druhý a čtvrtý mód v tomto pořadí jsou ve skutečnosti zdvojené díky symetrii kationtu, což nicméně neovlivňuje tuto úlohu. Přiřaďte tedy znázorněné módy vibrací z obrázku 9 v textu seriálu k jednotlivým vlnočtům. Odpověď se pokuste co nejlépe zdůvodnit z hlediska symetrie vibrací, posunu náboje, resp. změn vektoru dipólového momentu a molekulových orbitalů. – 5 bodů

   Nápověda: Můžete se inspirovat spektrem vody, která má shodný počet elektronů jako hydroxonium a i s interpretací jej najdete na mnoha stránkách online.

2. Využijte úkol 1 a určete tuhost myšlené „pružiny“ odpovídající vibraci oxoniového kationtu na vlnočtu $3~611\,\mathrm{cm^{-1}}$. Klidová délka $\ce{O-H}$ vazby v kationtu je $98\,\mathrm{pm}$. Složitější efekty, jako je možná změna efektivní hmotnosti v průběhu vibrace, zanedbejte. – 3 body.

3. Odvoďte, kam se posune maximum zmíněné v předešlé úloze při nahrazení lehkých atomů vodíku $(\ce{^1 H})$ deuteriem $(\ce{^2 H})$. Je tento odhad rozumný, pokud budeme mít v kyselém deuterovaném roztoku přítomné molekuly běžné vody? Diskutujte, co bychom skutečně pozorovali ve vodných roztocích. – 2 body.

   Nápověda: Uvažujte, že v roztoku dochází k solvataci, tj. obklopení látky solventem (rozpouštědlem). To je často předmětem modelování v kvantové chemii. Celý děj je dynamický, dochází při něm ke shlukování do klastrů tvorbou vodíkových vazeb a (de)protonacím klastrů vody.