Zadání 4. série 39. ročníku

Jarda jede autem rychlostí $70\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}$ a dojíždí auto, které právě vjelo do obce a zpomalilo na $50\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}$. V odrazu na rovném zadním skle tohoto auta Jarda vidí stromy za sebou. Jakou rychlostí a jakým směrem se vůči Jardovi stromy v odraze pohybují?

Mějme dvě nádoby s ideálním plynem stejného objemu i teploty, který je směsí kyslíku a dusíku. Obě jsou ve stejné výšce shora uzavřeny písty stejné tloušťky ze stejného materiálu. Písty působí na plyn jenom vlastní tíhou a se stěnami nádob neinteragují.

Poměr parciálních tlaků kyslíku v první a druhé nádobě je $3:5$. Parciální tlak dusíku v první nádobě je o $40\,\mathrm{Pa}$ větší než v druhé nádobě a součet parciálních tlaků kyslíku v nádobách je stejný jako součet parciálních tlaků dusíku. Spočítejte, jak se změní poloha pístů a jaký bude celkový tlak, když nádoby propojíme.

Jakou minimální rychlostí musí Malý princ skočit z planetky B-612 o hustotě $\rho_1=3~000\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ a poloměru $R=5\,\mathrm{km}$, aby dopadl na povrch planetky krále o hustotě $\rho_2 = 2~500\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ a poloměru $r=3\,\mathrm{km}$? Vzájemná vzdálenost středů planetek je držená na hodnotě $d=50\,\mathrm{km}$. Planetky se k sobě nepřibližují a můžete zanedbat atmosféru, obíhaní i rotaci obou homogenních planetek.

Uvažujme ideální impulzní moment. Máme dvě rakety na oběžné dráze Země. Obě obíhají po kruhové dráze o poloměru $r_0$ stejnou rychlostí, přičemž úhel $\theta$, který svírají průvodiče raket, je konstantní. Zadní raketa o hmotnosti $m$ si udělí radiální impulz hybnosti $\Delta \vec{p}$ tak, že její oběžná dráha nezmění velkou poloosu, ale změní excentricitu. Tedy elipsy, jež jsou trajektoriemi před a po udání impulsu, mají stejné velké poloosy.

Za méně než polovinu oběžné doby se srazí s první raketou. Určete dobu letu $\tau$ od okamžiku změny oběžné dráhy do srážky a určete také směr a velikost impulzu $\Delta \vec{p}$. Uvažujte, že obě rakety jsou v dostatečné vzdálenosti od Země, a tudíž mají dostatečný prostor k manévrování.

Na kladce jsou zavěšena dvě bodová závaží. Jedno má hmotnost $m_1$ a druhé má hmotnost $m_2$. Závaží „$m_1$“ nese elektrický náboj $Q_1$, závaží „$m_2$“ není nabité. Nahoře nad kladkou nebo dole pod kladkou ve vzdálenosti $h$ se nachází bodový elektrický náboj $Q$. Existuje nějaká rovnovážná poloha závaží na kladce? Je tato poloha stabilní? Poloměr kladky považujte za zanedbatelně malý. Řešte úlohu pro případy:

1. Náboj $Q = -1{,}00\cdot 10^{-5}\,\mathrm{C}$ se nachází ve výšce $h = 0{,}15\,\mathrm{m}$ nad kladkou. Hodnoty závaží jsou $m_1 = 1{,}00\,\mathrm{kg}$, $m_2 = 2{,}00\,\mathrm{kg}$, $Q_1 = -1{,}00\cdot 10^{-5}\,\mathrm{C}$. Délka lana spojujícího obě závaží přes kladku je $l = 1{,}00\,\mathrm{m}$.
2. Náboj $Q = 5{,}00\cdot 10^{-6}\,\mathrm{C}$ se nachází ve výšce $h = 0{,}30\,\mathrm{m}$ nad kladkou. Hodnoty závaží jsou $m_1 = 1{,}50\,\mathrm{kg}$, $m_2 = 2{,}00\,\mathrm{kg}$, $Q_1 = 2{,}00\cdot 10^{-4}\,\mathrm{C}$. Délka lana spojujícího obě závaží přes kladku je $l = 0{,}75\,\mathrm{m}$.
3. Náboj $Q = 4{,}00\cdot 10^{-5}\,\mathrm{C}$ se nachází v hloubce $h = 0{,}50\,\mathrm{m}$ pod kladkou. Hodnoty závaží jsou $m_1 = 1{,}20\,\mathrm{kg}$, $m_2 = 1{,}90\,\mathrm{kg}$, $Q_1 = -2{,}00\cdot 10^{-5}\,\mathrm{C}$. Délka lana spojujícího obě závaží je $l = 2{,}00\,\mathrm{m}$.

Tato úloha má otevřené řešení, proto nezapomeňte uvést všechny použité zdroje.

Vyberte si libovolnou čokoládu bez náplně (oříšky, sušenky atd.) a co nejpřesněji odhadněte, kolik je potřeba energie na to, aby se jedna její tabulka dostala až k vám (tedy od samotné výroby až po prodej). Porovnejte s energetickou hodnotou vybrané tabulky čokolády.

Změřte periodu malých kmitů klasického šatního ramínka zavěšeného na tenké vodorovné tyči. Pokuste se periodu odhadnout také výpočtem a oba výsledky porovnejte.