Zadání 4. série 39. ročníku

Jarda jede autem rychlostí $70\,\mathrm{km\!\cdot\! h^{-1}}$ a dojíždí auto, které právě vjelo do obce a zpomalilo na $50\,\mathrm{km\!\cdot\! h^{-1}}$. V odrazu na rovném zadním skle tohoto auta Jarda vidí stromy za sebou. Jakou rychlostí a jakým směrem se vůči Jardovi stromy v odraze pohybují?

Mějme dvě nádoby s ideálním plynem stejného objemu i teploty, který je směsí kyslíku a dusíku. Obě jsou ve stejné výšce shora uzavřeny písty stejné tloušťky ze stejného materiálu. Písty působí na plyn jenom vlastní tíhou a se stěnami nádob neinteragují.

Poměr parciálních tlaků kyslíku v první a druhé nádobě je $3:5$. Parciální tlak dusíku v první nádobě je o $40\,\mathrm{Pa}$ větší než v druhé nádobě a součet parciálních tlaků kyslíku v nádobách je stejný jako součet parciálních tlaků dusíku. Spočítejte, jak se změní poloha pístů a jaký bude celkový tlak, když nádoby propojíme.

Jakou minimální rychlostí musí Malý princ skočit z planetky B-612 o hustotě $\rho_1=3\,000\,\mathrm{kg\!\cdot\! m^{-3}}$ a poloměru $R=5\,\mathrm{km}$, aby dopadl na povrch planetky krále o hustotě $\rho_2 = 2\,500\,\mathrm{kg\!\cdot\! m^{-3}}$ a poloměru $r=3\,\mathrm{km}$? Vzájemná vzdálenost středů planetek je držená na hodnotě $d=50\,\mathrm{km}$. Planetky se k sobě nepřibližují a můžete zanedbat atmosféru, obíhaní i rotaci obou homogenních planetek.

Uvažujme ideální impulzní moment. Máme dvě rakety na oběžné dráze Země. Obě obíhají po kruhové dráze o poloměru $r_0$ stejnou rychlostí, přičemž úhel $\theta \ll 1$, který svírají průvodiče raket, je konstantní. Zadní raketa o hmotnosti $m$ si udělí impulz hybnosti $\Delta \vect{p}$ tak, že její oběžná dráha nezmění velkou poloosu, ale změní excentricitu.

Za méně než polovinu oběžné doby se srazí s první raketou. Určete dobu letu $\tau$ od okamžiku změny oběžné dráhy do srážky a určete také směr a velikost impulzu $\Delta \vect{p}$. Uvažujte, že obě rakety jsou v dostatečné vzdálenosti od Země, a tudíž mají dostatečný prostor k manévrování.

Na kladce jsou zavěšena dvě bodová závaží. Jedno má hmotnost $m_1$ a druhé má hmotnost $m_2$. Závaží $m_1$ nese elektrický náboj $Q_1$, závaží $m_2$ není nabité. Nahoře nad kladkou nebo dole pod kladkou ve vzdálenosti $h$ se nachází bodový elektrický náboj $Q$. Existuje nějaká rovnovážná poloha závaží na kladce? Je tato poloha stabilní? Poloměr kladky považujte za zanedbatelně malý. Řešte úlohu pro případy:

1. Náboj $Q = -1{,}00\cdot 10^{-5}\,\mathrm{C}$ se nachází ve výšce $h = 0{,}15\,\mathrm{m}$ nad kladkou. Hodnoty závaží jsou $m_1 = 1{,}00\,\mathrm{kg}$, $m_2 = 2{,}00\,\mathrm{kg}$, $Q_1 = -1{,}00\cdot 10^{-5}\,\mathrm{C}$. Délka lana spojujícího obě závaží přes kladku je $l = 1{,}00\,\mathrm{m}$.

2. Náboj $Q = 5{,}00\cdot 10^{-6}\,\mathrm{C}$ se nachází ve výšce $h = 0{,}30\,\mathrm{m}$ nad kladkou. Hodnoty závaží jsou $m_1 = 1{,}50\,\mathrm{kg}$, $m_2 = 2{,}00\,\mathrm{kg}$, $Q_1 = 2{,}00\cdot 10^{-4}\,\mathrm{C}$. Délka lana spojujícího obě závaží přes kladku je $l = 0{,}75\,\mathrm{m}$.

3. Náboj $Q = 4{,}00\cdot 10^{-5}\,\mathrm{C}$ se nachází v hloubce $h = 0{,}50\,\mathrm{m}$ pod kladkou. Hodnoty závaží jsou $m_1 = 1{,}20\,\mathrm{kg}$, $m_2 = 1{,}90\,\mathrm{kg}$, $Q_1 = -2{,}00\cdot 10^{-5}\,\mathrm{C}$. Délka lana spojujícího obě závaží je $l = 2{,}00\,\mathrm{m}$.

Závaží se mohou pohybovat pouze ve vertikálním směru.

Tato úloha má otevřené řešení, proto nezapomeňte uvést všechny použité zdroje.

Vyberte si libovolnou čokoládu bez náplně (oříšky, sušenky atd.) a co nejpřesněji odhadněte, kolik je potřeba energie na to, aby se jedna její tabulka dostala až k vám (tedy od samotné výroby až po prodej). Porovnejte s energetickou hodnotou vybrané tabulky čokolády.

Změřte periodu malých kmitů klasického šatního ramínka zavěšeného na tenké vodorovné tyči. Pokuste se periodu odhadnout také výpočtem a oba výsledky porovnejte.

1. V přiloženém souboru¹ najdete naměřené doby života atomů radioaktivního izotopu $\ce{^214Po}$. Čas je v nanosekundách. Určete poločas rozpadu tohoto izotopu. – 3 body

2. Do detektoru vletěl elektron s kinetickou energií $150\,\mathrm{keV}$ a tuto svou energii celou odevzdal detektoru. Určete nejistotu změřené energie, pokud detektor byl

   • plynový detektor s argonem;

   • křemíkový polovodičový detektor;

   • scintilátor $\ce{LaBr_3 (Ce)}$.

   Uvažujte, že zdrojem nejistoty jsou pouze fluktuace počtu vytvořených volných nosičů náboje nebo fotonů. Také předpokládejte, že detektor posbírá všechny nosiče náboje (nebo všechny fotony v případě scintilátoru). Pro scintilátor uvažujte Fanův faktor $F=1$. – 2 body

3. Vezměme si experiment AMS-02 na palubě Mezinárodní vesmírné stanice (ISS). Jeho součástí jsou kromě dalších detektorů i detektor přechodového záření, RICH detektor a magnetický spektrometr se 7 vrstvami křemíkových detektorů. RICH detektor obsahuje $\ce{NaF}$ s indexem lomu $1{,}33$ a aerogel s indexem lomu $1{,}05$.

   Křemíkové detektory v magnetickém spektrometru kromě měření polohy s přesností $10\,\mathrm{\upmu{}m}$ zvládají měřit i ztrátu energie na jednotku délky $\mathrm{d} E/\mathrm{d} x$. Kvalitativně popište, jak s pomocí těchto tří detektorů dokážeme navzájem rozlišit tyto 4 částice: elektron, proton, antiproton, jádro hélia $\ce{^4He}$. Každá z částic má stejnou kinetickou energii $3\,\mathrm{GeV}$. – 2 body

4. Z Betheho–Blochovy rovnice odvoďte $\beta$ faktor, při kterém je ztráta energie na jednotku délky $\mathrm{d} E/\mathrm{d} x$ nejnižší (minimálně ionizující částice). Zanedbejte korekční členy $\delta\!\left(\beta\right)$ a $C\!\left(\beta\right)$ a taktéž předpokládejte, že rovnice v tomto tvaru platí i pro elektrony. Nezalekněte se numerického řešení. Průměrnou excitační energii můžete použít $I = 92{,}2\,\mathrm{eV}$, kterou jsme spočítali pro dusík pomocí vztahu z textu seriálu. Takto můžeme aproximovat průlet vzduchem. Jakou kinetickou energii má MIP elektron, MIP mion a MIP proton? – 3 body