Zadání 2. série 38. ročníku

Jistý student Matfyzu těžil bitcoiny. Jeho grafické karty vytěží $0,2\mathrm{BTC}$ za rok a mají spotřebu $3000\mathrm{W}$. Student si ale uvědomil, jakou spoustu oxidu uhličitého vypustil do atmosféry. Za svůj zisk z bitcoinů tedy koupil stromy, které oxid uhličitý z atmosféry zase vysají. Jaká by musela být cena bitcoinu, aby se mu takové počínání vyplatilo? Předpokládejte, že cena jednoho stromu je $1000\text{Kč}$ a každý strom přijme průměrně $25\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{rok}}^{-1}$ $\mathrm{CO}{\phantom{A}}_2$. Uvažujte dva zdroje energie – uhlí s cenou $5,32\text{Kč}\cdot {\mathrm{kWh}}^{-1}$ a emisemi $0,82\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{kWh}}^{-1}$ versus vodní elektrárna s cenou $4,00\text{Kč}\cdot {\mathrm{kWh}}^{-1}$ a emisemi $\mathrm{0,012}\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{kWh}}^{-1}$.

Monča se rozhodla postavit si vlastní strom. Nicméně vzhledem k tomu, že je fyzik, vynechala všechny biologické aspekty. Vzala tedy dostatečně dlouhou kapiláru s průměrem $d=0,1\mathrm{mm}$. Jak vysoko voda v tomto fyzikálním stromě vystoupala? Pro kterou kapalinu by byly takovéto stromy nejvyšší? A zanedbáním kterého fyzikálního principu se výška tohoto „stromu“ o tolik liší od stromů reálných?

Mějme homogenní jehlan s hustotou ${\rho }_{\mathrm{j}}=250\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^{-3}$, který plave ve vodě s hustotou $\rho =1000\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^{-3}$. Plave tak, že je jeho osa svisle. Otázka ale je, zda je stabilnější poloha, když je hlavním vrcholem vzhůru, či když směřuje dolů? Jehlan má výšku $h=20\mathrm{cm}$ a plocha jeho podstavy je $S=49{\mathrm{cm}}^2$.

Máme prázdnou nádobu vysokou $H$ se čtvercovou podstavou o straně $a$. Těsně nad nádobou se nachází vodovodní kohoutek, ze kterého v čase $t=0\mathrm{s}$ začne rychlostí $v_0$ vytékat voda. Vypočtěte závislost výšky hladiny v nádobě na čase $t$. Objemový tok vody z kohoutku je konstantní a je roven $Q$. Řešte za předpokladu, že $Q$ je tak malé, že se hladina vždy ihned ustálí v jedné rovině. Nezapomeňte však na dobu pádu kapaliny.

Uvažujte válcový kondenzátor s vnitřním poloměrem $r_1$ a vnějším $r_2$, který je nabit tak, aby mezi elektrodami bylo napětí $V$. Nechť ve vzdálenosti $r$ ($r_1<r<r_2$) v tečném směru vůči poloměru válce vyletují elektrony s úzkým úhlovým rozdělením $\mathrm{\Delta }\alpha$ takovou rychlostí, aby byla jejich vzdálenost od středu válce přibližně konstantní. Určete, kde se nachází první bod, ve kterém se elektrony znovu fokusují. Situace je rovinná a prostorový náboj elektronů neuvažujte.

Definujme kvalitu otužování podle tepelného výkonu, který musí člověk vydávat. Je lepší otužovat se pod tekoucí vodou, anebo ponořením se do vany studené vody? Uvažujte přinejmenším různou teplotu vody, průtok a okolní teplotu.

Naměřte křivku deformace pro klasické kuchyňské gumičky.

1. Určete napětí následujících elektrochemických reakcí za standardních podmínek. Probíhá daná reakce samovolně? (2 body)
   1. $\mathrm{CaCl}{\phantom{A}}_2(\mathrm{l})⟶\mathrm{Ca}(\mathrm{s})+\mathrm{Cl}{\phantom{A}}_2(\mathrm{g})$,
   2. $\mathrm{Pb}(\mathrm{s})+\mathrm{PbO}{\phantom{A}}_2(\mathrm{s})+2\mathrm{H}{\phantom{A}}_2\mathrm{SO}{\phantom{A}}_4(\mathrm{aq})⟶2\mathrm{PbSO}{\phantom{A}}_4(\mathrm{s})+2\mathrm{H}{\phantom{A}}_2\mathrm{O}(\mathrm{l})$.
2. Pro následující elektrochemické polocely určete, která se bude redukovat a jaké bude napětí po jejich spojení. (2 body)
   1. $\mathrm{Ni}{\phantom{A}}^{2+}(\mathrm{aq})|\mathrm{Ni}(\mathrm{s})$ a $\mathrm{Au}{\phantom{A}}^{3+}(\mathrm{aq})|\mathrm{Au}(\mathrm{s})$,
   2. $(\mathrm{NO}{\phantom{A}}_3){\phantom{A}}^{-}(\mathrm{aq})|\mathrm{NO}(\mathrm{g})|\mathrm{Pt}(\mathrm{s})$ v kyselém roztoku a $\mathrm{Fe}{\phantom{A}}^{2+},\mathrm{Fe}{\phantom{A}}^{3+}|\mathrm{Pt}$
3. Uvažujme palivový článek, kde při reakci vzniku vody $2\mathrm{H}{\phantom{A}}_2(\mathrm{g})+\mathrm{O}{\phantom{A}}_2(\mathrm{g})⟶2\mathrm{H}{\phantom{A}}_2\mathrm{O}(\mathrm{g})$ za standardních podmínek získáváme elektrickou energii. Určete hustotu elektrické energie vztaženou na hmotnost vodíku (v $\mathrm{J}\cdot {\mathrm{kg}}_{\mathrm{H}{\phantom{\mathrm{A}}}_2}^{-1}$), která je uvolněna v této situaci. Určete také rovnovážnou konstantu $K$ pro tuto reakci a diskutujte její hodnotu. (2 body)
4. Uvažujme elektrochemickou celu $\mathrm{Cu}|\mathrm{Cu}{\phantom{A}}^{2+}(\mathrm{aq})||\mathrm{Ag}{\phantom{A}}^{+}(\mathrm{aq})|\mathrm{Ag}$. Počáteční koncentrace mědi v roztoku je $\left[\mathrm{Cu}{\phantom{A}}^{2+}\right]=0,40\mathrm{M}$, u stříbra je to $\left[\mathrm{Ag}{\phantom{A}}^{+}\right]=0,50\mathrm{M}$. Jaká je koncentrace stříbra v okamžiku, kdy je na cele napětí $0,40\mathrm{V}$? (4 body)

   Speciální motivace: Takový příklad můžete dostat u zkoušky z elektrochemie v magisterském studiu na MFF. Dokážete jej vyřešit už na střední?