Zadání 1. série 30. ročníku

Do kuchyňského kastrolu, který prakticky nevede teplo, vložíme tři látky: vodu, ocel a rum. Voda má hmotnost $m_{\mathrm{v}} = 0{,}5\,\mathrm{kg}$, počáteční teplotu $t_{\mathrm{v}} = 90\,\mathrm{{}^{\circ}F}$ a měrnou tepelnou kapacitu $c_{\mathrm{v}} = 1\,\mathrm{kcal\!\cdot\! kg^{-1}\!\cdot\! K^{-1}}$. Ocelový váleček má hmotnost $m_{\mathrm{o}} = 200\,\mathrm{g}$, teplotu $t_{\mathrm{o}} = 60\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$ a měrnou tepelnou kapacitu $c_{\mathrm{o}} = 0{,}260\,\mathrm{kJ\!\cdot\! kg^{-1}\!\cdot\! {}^{\circ}F^{-1}}$. Rum má hmotnost $m_{\mathrm{r}} = 100\,000\,\mathrm{mg}$, teplotu $t_{\mathrm{r}} = 270\,\mathrm{K}$ a měrnou tepelnou kapacitu $c_{\mathrm{r}} = 3{,}5\,\mathrm{J\!\cdot\! g^{-1}\!\cdot\! ^\circ\mskip-2mu\mathup{C}^{-1}}$. Jakou teplotu (ve stupních Celsia) bude mít soustava po ustálení tepelné rovnováhy?

Petr rád jezdí po rovině na kole rychlostí $v = 10\,\mathrm{m\!\cdot\! s^{-1}}$ a jeho chytré kolo hlásí, že Petrův výkon je $P = 100\,\mathrm{W}$. Po nehodě se zkřivily ráfkové brzdy, které teď na kolo působí třecí silou $F_{\mathrm{t}} = 20\,\mathrm{N}$ u obvodu. Po jakou dobu $t'$ musí teď Petr jet na kole rychlostí $v$, aby vykonal stejnou práci jako předtím za čas $t$?

Mějme ideální hopík dokonalé odrazivosti a zanedbatelných rozměrů. Tento hopík hodíme z nekonečných schodů, kde jeden schod má výšku $h$ a délku $l$. Odrazy probíhají beze tření. Popište závislost nejvyšší dosažené výšky (měřeno od prvního schodu) hopíku po $n$-tém odrazu na počátečních parametrech.

Pozorovatel se nachází na lodi na otevřeném moři ve výšce $h$ nad hladinou. Je vzdálen $d$ od vodorovného zábradlí a to v takové poloze, že dívá-li se kolmo na zábradlí, splývá dolní okraj zábradlí s horizontem. Podívá-li se ale na zábradlí ve vzdálenosti $l$ na stranu od kolmice, vidí, že se obzor nachází o $s\pm s_s$ pod dolním koncem zábradlí. Určete poloměr Země.

Katka si vyšla ráno před přednáškou na procházku, aby vyvenčila svého potkana. Vyšla s ním na rovný palouk, a když byl potkan ve vzdálenosti $x_1 = 50\,\mathrm{m}$ od ní, hodila mu míček rychlostí $v_0 = 25\,\mathrm{m\!\cdot\! s^{-1}}$ pod úhlem $\alpha_0$. V okamžiku výhozu potkan vyběhl směrem ke Katce rychlostí $v_1 = 5\,\mathrm{m\!\cdot\! s^{-1}}$. Nalezněte obecnou závislost úhlu $\varphi$ na čase, kde $\varphi(t)$ označuje úhel mezi vodorovnou rovinou a spojnicí potkana a míčku, a vykreslete tuto závislost do grafu. Na základě grafu určete, zda je možné, aby míček zakryl potkanovi Slunce, jenž se nachází ve výšce $\varphi_0 = 50^\circ$ přímo před potkanem. Počítejte s tíhovým zrychlením $g = 9{,}81\,\mathrm{m\!\cdot\! s^{-2}}$ a pro zjednodušení uvažujte, že házíme z nulové výšky.

Tato úloha má otevřené řešení, proto nezapomeňte uvést všechny použité zdroje.

Už jste se někdy zamysleli nad tím, proč mraky nespadnou na zem, když jsou z vody, která má přece výrazně větší hustotu než vzduch? Dešťové kapky dopadnou na zem v řádech minut, tak proč ne i mraky? Zkuste tuto skutečnost fyzikálně objasnit. Veškerá svá tvrzení podložte výpočtem.

Padá krajíc namazanou stranou dolů? Zkoumejte experimentálně tento Murphyho zákon s důrazem na statistiku! Záleží na rozměrech krajíce, složení a typu vrstvy? K experimentálním výsledkům hledejte teoretická zdůvodnění. Pro vaše měření použijte toastový chléb.

1. Zkuste vlastními slovy popsat, co je to náhodná veličina a jaké má vlastnosti (postačí vlastními slovy objasnit následující pojmy: náhodná veličina, rozdělení náhodné veličiny, realizace náhodné veličiny, střední hodnota, rozptyl, histogram).

2. Vygenerujte grafy hustot pravděpodobnosti (případně pravděpodobností nabývání jednotlivých hodnot) všech v seriálu popsaných rozdělení náhodných veličin pro různé typy parametrů daného rozdělení a popište, jaký má změna parametru/ů vliv na tvar hustoty pravděpodobnosti (případně pravděpodobností nabývání jednotlivých hodnot).

3. Vygenerujte z přiložených dat histogramy a pokuste se určit, ze kterého rozdělení tato data pocházejí.

4. Definujme si náhodnou veličinu $X$ jako výsledek hodu „férovou“ šestistěnnou kostkou (všechna čísla padají se stejnou pravděpodobností). Určete rozdělení náhodné veličiny $X$ a dále spočítejte $\mathrm{E} X$ a $\mathrm{var} X$.

Bonus Uveďte příklad dvou náhodných veličin, které mají stejnou střední hodnotu i stejný rozptyl, ale mají různá rozdělení.

Pro práci s daty a vykreslování grafů použijte výpočetní prostředí R. Pro vyřešení těchto úkolů postačí drobně upravit přiložený skript, ve kterém je pomocí komentářů v kódu vysvětlena potřebná syntaxe jazyka R.