Zadání 4. série 31. ročníku

Odhadněte, kolik gramů zmrzliny dokážeme vyrobit, pokud máme k dispozici $5 \mathrm{l}$ kapalného dusíku o teplotě $-196 \mathrm{\C }$ a neomezené množství mléka a smetany o pokojové teplotě $22 \mathrm{\C }$? Předpokládejme, že požadovaná zmrzlina se skládá jen z mléka a smetany (hmotnostně půl na půl) a měla by mít teplotu $-5 \mathrm{\C }$. Protože se tepelné kapacity mléka a smetany v tomto intervalu teplot značně mění, počítejte s jejich průměrnými hodnotami $c\_m = 3{,}45 \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}$ pro mléko a $c\_s = 4{,}45 \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}$ pro smetanu. Zbylé potřebné údaje si dohledejte na internetu.

Kolik nejméně dětí by muselo roztočit svůj fidget spinner, aby se tak den na Zemi prodloužil o $1 \mathrm{ms}$? Všechny neznámé veličiny odhadněte.

Máme válcovou skleničku, která má zboku u dna malou díru o ploše $S$. Tato nádoba je naplněná vodou, která samovolně přetéká do druhé nádoby, která je tentokrát již bez díry. Jaký tvar by musela mít druhá nádoba, aby v ní hladina rostla rovnoměrně? Předpokládejte, že má být válcově symetrická.

Bonus: Dna obou nádob jsou ve stejné výšce a nádoby jsou dírou spojené.

Máme černou skříňku se třemi výstupy (A, B a C). Víme, že obsahuje $n$ rezistorů se stejným odporem, ale nevíme jak jsou zapojeny. Změříme tedy odpory mezi dvojicemi bodů AB, BC a CA a zjistíme, že $R\_{AB} = 3 \mathrm{\Omega }$, $R\_{BC} = 5 \mathrm{\Omega }$ a $R\_{CA} = 6 \mathrm{\Omega }$. Zjistěte, kolik nejméně rezistorů může skříňka obsahovat a určete příslušný odpor jednoho rezistoru.

Představme si, že roztlačíme nějakou bakterii obvyklé velikosti na rychlost $v = 50 \mathrm{km\cdot h^{-1}}$ ve vodorovném směru a necháme ji volně letět ve vzduchu. Jakou vzdálenost zhruba urazí, než se zastaví?

Výsledek vás možná překvapí. Jak je tedy možné se infikovat tímto způsobem bakteriální infekcí? Diskutujte, proč je to možné i přes takový výsledek.

Máme nějaký satelit, který chceme vypustit ven ze Sluneční soustavy. Vypouštíme ho z oběžné dráhy Země tak, že po nějakých korekcích dráhy získá rychlost, která je vyšší než úniková rychlost ze Sluneční soustavy. Jaká je pravděpodobnost, že dojde ke kolizi sondy s nějakým kosmickým materiálem s průměrem větším než $d = 1 \mathrm{m}$ před opuštěním Sluneční soustavy?

Změřte délkovou hustotu struny, která vám měla přijít poštou společně se zadáním. Strunu ale nesmíte vážit.

Nápověda: Zkuste strunu rozkmitat.

****

1. Nalezněte všechny (tři) reálné kořeny funkce $\exp (x)-5x^2$. Výběr metody je na vás. Nezapomeňte okomentovat, jak a proč jste zvolili daný postup.
2. Newtonova metoda tak, jak jsme si ji představili funguje i pro funkce komplexní proměnné. Vaším úkolem je vykreslit tzv. Newtonovy fraktály, tedy oblasti v komplexní rovině takové, že když v nich zvolíme počáteční odhad kořenu pro Newtonovu metodu, tak dokonvergujeme k určitému kořenu. Fraktál vykreslete pro funkce $z^3-1$ a $z^6+z^3-1$, kde $z$ je komplexní číslo. Derivace těchto funkcí jsou $3z^2$, resp. $6z^5+3z^2$. Pro výpočet a vykreslení můžete použít Pythonní kód přiložený k zadání.
   Poznámka: Komplexní derivaci, pokud existuje, lze technicky spočítat stejně, jako reálnou derivaci, tedy pro ni platí stejné vzorce pro derivaci součtu, součinu a složené funkce.
   Bonus: Nalezněte co nejzajímavější nebo nejhezčí Newtonův fraktál.
3. Simulujte na počítači (nebo napočítejte ručně) elementární buněčný automat s pravidlem 54 na mřížce délky 20 s periodickými podmínkami alespoň na 10 časových kroků (víc určitě neuškodí). Na počátku má jedna buňka hodnotu 1 a zbylé 0, uvažujte periodické podmínky. Výsledek zobrazte v časoprostorovém diagramu.
4. Simulujte hrubnutí 1D povrchu pomocí modelu náhodné depozice popsaném v seriálu. Povrch má rozměr $L = 100$, na počátku je zcela hladký. Nakreslete graf závislosti hrubosti $W$ na čase pro alespoň $10^8$ kroků (jeden krok $=$ jedna nová částice), výsledek diskutujte.