Zadání 3. série 31. ročníku

Představme si, že na kameru se snímkovou frekvencí 24 snímků za sekundu (uvažujme časově rovnoměrně rozložené a dokonale ostré snímky) natočíme let vrtulníku s otáčkami hlavního rotoru $2\,900\,\mathrm{ot./min}$. Následně si záznam přehrajeme. Jaká bude zdánlivá frekvence otáček rotoru na záznamu?

Na obrázku vidíte náčrt elipsy s ohnisky $F_1$ a $F_2$ a několika vyznačenými body na ní. Uvažujte, že elipsa znázorňuje trajektorii nějakého hmotného bodu. Znázorněte do obrázku zrychlení, která působí na hmotný bod v  jednotlivých vyznačených bodech dráhy pro dvě situace (jde o směry a vzájemné poměry zrychlení (které je větší/menší) v různých bodech v rámci jednoho náčrtu).

1. V ohnisku $F_1$ je umístěno hmotné těleso, kolem kterého hmotný bod\hfil\break obíhá. Uvažujeme, že platí 2. Keplerův zákon.

2. Těleso má konstantní velikost rychlosti, pouze se pohybuje po elipse.

Vypálili jste na impa z plazmové pušky, která střílí stabilní shluk částic s rovnoměrným rozdělením podélné rychlostí v intervalu $\left\langle v_0,v_0+\delta v\right\rangle$ (příčná rychlost je nulová) a s celkovou energií $E_0$. Hlaveň pušky má průřez $S$ a pulz trvá nekonečně krátký čas. Jak daleko musí imp stát, aby se mu nic nestalo? Předpokládejte, že jeho kůže bez problémů uchladí na malém prostoru tepelný tok $q$.

Propisku (tuhou tyč) upustíme na stůl tak, že během svého letu svírá úhel $\alpha$ s vodorovnou rovinou. Jakou rychlostí dopadne její druhý konec (ten, co se stolu dotkne jako druhý), jestliže jsme těžiště upustili z výšky $h$? Všechny srážky jsou nepružné a tření mezi stolem a koncem propisky dostatečně velké.

Bonus Spočítejte, jaký musíme zvolit úhel $\alpha$, aby druhý konec dopadl s co nejvyšší rychlostí. Pro jaké výšky se vyplatí propisku naklonit?

Máme $A_0$ částic typu $A$, které se s rozpadovou konstantou $\lambda_{\mathrm{A}}$ rozpadají na částice typu $B$. Ty se zase s rozpadovou konstantou $\lambda_{\mathrm{B}}$ rozpadají na částice typu $A$ a na začátku jich je $B_0$. Najděte funkci udávající poměr počtů částic typů $A$ a $B$ v čase.

Tato úloha má otevřené řešení, proto nezapomeňte uvést všechny použité zdroje.

Každý to jistě někdy slyšel a určitě i zkusil: „List papíru nelze na půlku přeložit více než sedmkrát.“ Je to ale skutečně pravda? Najděte hraniční podmínky.

Společně se zadáním této série jsme vám rozeslali poštou plošný magnet (magnetickou fólii). Tento magnet je trochu jiný než tyčové magnety – v ploše se střídavě střídají severní a jižní pól. Díky tomu se při přiblížení k feromagnetickému povrchu uzavře skrz kov „magnetický obvod“ a magnet drží (např. na ledničce) a unese na sobě třeba i obrázek. Vašimi úkoly jsou:

• Změřit plochu a tloušťku fólie, kterou využijete k experimentům.

• Změřit střední vzdálenost mezi dvěma nejbližšími stejnými magnetickými póly (dvojnásobek opačných).

• Změřit maximální užitečnou hmotnost (tedy hmotnost bez hmotnosti magnetu), kterou unese $1\,\mathrm{cm^2}$ magnetu, je-li zatížení magnetu rovnoměrné, pokud magnet přichytíte zespoda k vodorovně umístěnému cca. $1\,\mathrm{mm}$ tlustému plechu z magneticky měkké oceli.

Nezapomeňte určit i chyby měření. Fólie, kterou jsme vám dodali, může být samolepící (je přes ni bílá fólie a pod ní lepidlo). V tom případě bílou fólii nahraďte něčím, na co budete upevňovat užitečnou hmotnost.

1. Vymyslete tři odlišné příklady markovovského procesu, z toho alespoň jeden fyzikální. Je procházka bez návratu markovovská? A co procházka bez křížení?

2. Mějme 2D náhodnou procházku bez návratu na čtvercové síti s počátkem v bodě $(x,y) = (0,0)$, která je omezena absorpčními bariérami $b_1\colon y = -5$, $b_2\colon y = 10$. Nalezněte pravděpodobnost, že v bariéře $b_1$ skončíme dříve než v $b_2$.

3. Proveďte simulaci pohybu brownovské částice ve 2D a vykreslete graf závislosti střední vzdálenosti od počátku na čase. Uvažujeme diskrétní čas a konstantní délku kroku (jeden krok simulace trvá $\Delta t = \mathrm{konst}$, délka kroku je $\Delta l = \mathrm{konst}$) a umožňujeme pohyb do libovolného směru, tj. každý krok je specifikován délkou a úhlem $\theta \in \left\langle 0,2\pi\right)$, přičemž všechny směry jsou stejně pravděpodobné. Zajímá nás především asymptotické chování, tedy vývoj střední vzdálenosti pro $t \gg \Delta t$.

4. Chybová funkce je definována vztahem \begin{equation*} \mathup{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x \mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d} t\,. \end{equation*} Tabelujte tuto funkci, tedy vypočtěte integrál pro mnoho různých $x$. Do řešení nevkládejte tabulku hodnot, ale graf funkce. Zkuste tuto funkci opět numericky zderivovat. Co dostanete?

5. Najděte si definici hustoty pravděpodobnosti Maxwellova-Boltzmannova rozdělení $f(v)$, tedy rozdělení rychlostí molekul ideálního plynu. Spočítejte pak pomocí MC integrace střední hodnotu rychlosti definovanou \begin{equation*} \langle v\rangle = \int_0^{\infty} vf(v)\,\mathrm{d} v\,, \end{equation*} přičemž pro vzorkování použijte náhodná čísla dle Maxwellova-Boltzmannova rozdělení získaná Metropolisovým-Hastingsovým algoritmem. Hodnotu pro konkrétní zvolené parametry srovnejte s hodnotou z literatury.