Zadání 6. série 36. ročníku

Za slunečného letního počasí pozorujeme na řece během dne zajímavý průběh chování větru. Ráno při východu slunce je zima a někdy i ranní mlha. Ta se následně rychle rozplyne a teplota vzduchu roste. Poté se rozfouká slabý vítr proti proudu řeky. Večer se situace uklidní a po sklonění slunce k obzoru se směr větru obrátí po proudu řeky. Čím je tento úkaz způsobený? Vysvětli proces, který v těchto dvou případech probíhá.

Jarda našel po FYKOSím soustředění ve svém batohu jablko, které už nebylo v dobrém stavu. Hodil ho do nízkého koše na kuchyňský odpad vzdáleného $1{,}0\,\mathrm{m}$ a samozřejmě se trefil. Jablko házel vodorovně z výšky $0{,}5\,\mathrm{m}$, dopadlo na rozmezí stěny a dna koše, kde se rozpláclo. Koš o hmotnosti $910\,\mathrm{g}$ se po dopadu jablka posunul o vzdálenost $5\,\mathrm{cm}$. Jaký je koeficient tření mezi podlahou a košem? Jablko má hmotnost $230\,\mathrm{g}$.

V drátěném modelu pravidelného $2N$-stěnného dvojjehlanu jsou vodivá spojení v rovině symetrie tvořena odpory $R_2$, zatímco spojení jdoucí z jednoho z vrcholů do bodu v pravidelném $N$-úhelníku mají odpor $R_1$. Určete odpor mezi

1. hlavními vrcholy (nad a pod rovinou základny),
2. sousedními vrcholy v rovině základny,
3. protějšími vrcholy v rovině základny (ty nejvzdálenější) pro $N$ sudé.

Ve vzdálenosti $L$ od rozlehlého stínítka se nachází laser. Ten až do času $t=0\,\mathrm{s}$ svítí na stínítko tak, že vzdálenost skvrny od laseru je $R > L$. Náhle začneme laserem otáčet rovnoměrnou úhlovou rychlostí $\omega$, přičemž vzdálenost skvrny na stínítku od laseru se zmenšuje na $L$ a následně zpět na $R$. Vyjádřete rychlost této skvrny vzhledem na stínítko. Může překročit rychlost světla ve vakuu $c$ nebo být dokonce nekonečná? Jak (kvalitativně) tato rychlost závisí na poloze skvrny na stínítku? Celá aparatura se nachází ve vakuu.

Jaké nejmenší množství gadolinia $148$ je nutné dát k sobě dohromady, aby se svým jaderným rozpadem zahřívalo tak, že by došlo k lokálnímu tavení? Uvažujte, že probíhají pouze rozpady $\alpha$ a že materiál je ve vzduchu pokojové teploty.

Tato úloha má otevřené řešení, proto nezapomeňte uvést všechny použité zdroje.

Odhadněte horní limit práce za čas, kterou je možné na Zemi dlouhodobě vykonávat. Planeta musí zůstat obyvatelná a pokud možno se stejným klimatem i pro další generace.

Sestavte aparaturu, která bude schopná měřit co nejmenší vlnky na povrchu kapaliny. Nádobu si můžete sami určit – může to být hrnek, láhev či něco jiného. Aparaturu celou řádně popište a vyfoťte. Určete, jakou minimální amplitudu jste schopni naměřit.

Nejnižší excitovaný singletní stav beta karotenu má energii o $1{,}8\,\mathrm{eV}$ vyšší než je energie základního stavu. Přechod mezi tímto stavem a základním stavem je ale zakázaný, takže molekula na této energii fotony neabsorbuje. Naopak přechod na druhý nejnižší singletní stav o energii $2{,}4\,\mathrm{eV}$ je povolený a zodpovědný za zářivě oranžovou barvu molekuly. Nejnižší tripletní hladina pak je na energii $0{,}9\,\mathrm{eV}$. Načrtněte Jablonského diagram a pomocí něj vysvětlete, proč beta karoten nefluoreskuje, přestože silně absorbuje viditelné světlo. $\left(3\,\mathrm{b}\right)$

Bonus: Proč je pro život na zemi tak zásadní, že kyslík je v základním stavu triplet? $\left(+1\,\mathrm{b}\right)$

Zkuste spočítat, jaký je přibližně limit pro počet orbitalů v aktivním prostoru u metody CASSCF. Uvažujte, že v aktivním prostoru máte stejně elektronů jako orbitalů (což odpovídá tomu, že v $\ce{HF}$ by právě polovina byla obsazená) a že většina dnešních superpočítačů na výpočty má maximálně $1\,\mathrm{TB}$ operační paměti, do které se vám potřebuje vejít hamiltonián. $\left(3\,\mathrm{b}\right)$

Pro litografickou výrobu moderních polovodičových čipů se používají takzvané excimerové lasery, které září v daleké UV oblasti. Jsou založené na takzvaných excimerech, což jsou molekuly, které jsou stabilní pouze v excitovaném stavu, zatímco v základním stavu se rozpadnou. Díky tomu se molekula po vyzáření fotonu rozpadne a máme zajišťené splnění podmínky pro fungování laseru, tedy to, že ve vyšším stavu je větší část molekul než v tom nižším. Zkuste pomocí Psi4 pro dimer helia $\left(\ce{He_2^*}\right)$ spočítat a vykreslit disociační křivky základního a nejnižšího excitovaného stavu. ($\ce{He_2^*}$ se pro lasery zatím nevyužívá, ale například $\ce{Ar_2^*}$ či $\ce{Kr_2^*}$ ano.) Na jaké vlnové délce vám vyjde, že by laser pracoval? Srovnejte s experimentální vlnovou délkou $66\,\mathrm{nm}$. $\left(4\,\mathrm{b}\right)$

Poznámka: U úlohy na webu najdete připravený vstupní soubor pro jednu geometrii. Nelekněte se, že v něm jsou nastavené celkově tři stavy, je to proto, že máme dva excitované stavy blízko sebe, a pokud bychom počítali jen s jedním z nich, pro některé mezijaderné vzdálenosti by to vedlo k problémům s konvergencí.