Zadání 5. série 36. ročníku

Vojta hraje na violoncello. Na strunu naladěnou na frekvenci $f$ zlehka přiloží prst do vzdálenosti $1/n$ její délky od hlavy nástroje a rozezní ji, přičemž slyší tón o základní frekvenci $f_1$. Následně strunu na stejném místě úplně přimáčkne ke hmatníku a rozezní ji znovu. Tentokrát nástroj vydává tón o základní frekvenci $f_2$. Určete poměr frekvencí $f_1/f_2$ v závislosti na přirozeném čísle $n$.

Na pohybující se vodorovný dopravní pás každou sekundu svisle dopadá materiál o hmotnosti $\mu$, který na jeho konci padá pryč. Na pás působí odporová síla $F_{\mathrm{odp}}=kv$, která je přímo úměrná rychlosti pásu $v$ přes konstantu $k$. Jak velkou rychlostí se bude pás pohybovat, pokud

• na něj působí konstantní pohonná síla $F$?
• je poháněn motorem s konstantním výkonem $P$?

Karel jezdí výtahem v budově, která má přízemí a nad ním dalších $12$ pater, přičemž výška jednoho patra je $h=3{,}0\,\mathrm{m}$. Uvažujte, že výtah během své jízdy polovinu doby zrychluje a druhou polovinu doby zpomaluje konstantním zrychlením $a=1{,}0\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}$. S $50\%$ pravděpodobností výtah stojí v přízemí a zbytek pravděpodobnosti je rovnoměrně rozdělený mezi ostatní patra. Jaká je očekávaná doba čekání na výtah v jednotlivých patrech budovy? Zanedbejte čas otevírání dveří.

Bonus Mějme $2$ výtahy opět v dvanáctipatrové budově. Jeden výtah bude odvolávaný do přízemí. Do jakého patra bychom měli posílat druhý, abychom minimalizovali průměrnou dobu čekání? Předpokládejte analogicky, že polovina jízd bude začínat v přízemí a druhá polovina s rovnoměrnou pravděpodobností v libovolném z dalších pater.

FYKOS plánuje vyslat do vesmíru vlastní družici. Ta bude poháněna solárními články, potřebujeme proto, aby se ve stínu Země nenacházela příliš dlouho. V jaké výšce nad povrchem bude doba průletu stínem Země nejmenší? Při svých výpočtech uvažujte (stejně jako organizátoři), že Země je dokonale kulatá, sluneční paprsky jsou v jejím okolí paralelní a Slunce, Země a trajektorie družice se nachází v jedné rovině.

Bonus Během řešení narazíte na analyticky neřešitelnou rovnici. Nepoužívejte online řešiče, ale naprogramujte vlastní řešení.

Jednou kladně ionizovaný atom xenonu vyletěl rychlostí $v=7\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ ze středu velké válcové cívky a začal se pohybovat homogenním magnetickým polem v rovině kolmé na magnetické siločáry. V tu chvíli cívku odpojíme od zdroje, takže její indukce začne exponenciálně klesat podle vztahu $B\!\left(t\right)=B_0\mathrm{e}^{-\Omega t}$, kde $B_0=1{,}1\cdot 10^{-4}\,\mathrm{T}$ a $\Omega =600 s^{-1}$. S jakou odchylkou od původního směru se atom bude pohybovat po ustálení?

Nápověda: V úloze se nebojte použít vhodnou aproximaci, nebo ji zkuste řešit numericky.

Popište co nejvíc přírodních vlivů, které způsobí vyvrácení/silné poškození osamoceného stromu na louce. Jeden z nich zkuste co nejlépe kvalitativně rozebrat. Jaký je rozdíl mezi listnatým stromem a jehličnanem?

Bonus Některý z vlivů rozeberte i kvantitativně.

Pomocí difrakce na mřížce určete hustotu zápisu dat na CD. Zkuste porovnat výsledky s DVD.

Vazebná energie molekuly fluoru je přibližně $37\,\mathrm{kcal/mol}$. Pokud uvážíme dosah vazebných interakcí přibližně $3\,\mathrm{\AA}$ od optimální vzdálenosti, jakou (průměrnou) silou musíme působit, abychom molekulu roztrhli? Spočítejte „tuhost“ molekuly fluoru, pokud by uprostřed tohoto rozmezí působila síla o velikosti této průměrné síly. Jaká by byla vibrační frekvence této molekuly? Srovnejte s experimentální hodnotou $916{,}6\,\mathrm{cm^{-1}}$. ($4\,\mathrm{b}$)

Zkuste pomocí Psi4 spočítat disociační křivku $\mathrm{F_2}$ a proložit ji v okolí minima parabolou. Jaká vám z ní tentokrát vyjde energie vibračních přechodů? ($3\,\mathrm{b}$)

Máte dvě lahve alkoholu, které vám přišly přinejmenším podezřelé. Vzali jste je tedy do laboratoře a získali z nich následující Ramanova spektra. Pomocí programu Psi4 spočítejte, na jakých frekvencích jsou vibrační přechody molekul metanolu i etanolu, a na základě toho odhadněte, ve které lahvi je metanol a ve které etanol. Můžete využít přibližné geometrie etanolu a metanolu, které jsou součástí zadání na webu. ($3\,\mathrm{b}$)

\begin{figure}[htbp] \hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=0.95\linewidth]{problem5-8_raman1} Ramanovo spektrum lahve A \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=0.95\linewidth]{problem5-8_raman2} Ramanovo spektrum lahve B \end{minipage} \hfill \end{figure}