Zadání 5. série 28. ročníku

Možná jste někdy slyšeli o takzvaných Planckových jednotkách, tj. jednotkách vyjádřených na základě fundamentálních fyzikálních konstant – rychlosti světla $c≈3.00\cdot 10^{8}\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{−1}$, gravitační konstanty $G=6.67\cdot 10^{-11}\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{kg}^{−1}\cdot \mathrm{s}^{−2}$ a redukované Planckovy konstanty $ħ=1.05\cdot 10^{-34}\;\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{−1}$. Takto bývá často zmiňován Planckův čas, Planckova délka a Planckova hmotnost. Co kdyby nás ale zajímala „Planckova tuhost pružiny“? Sestavte na základě rozměrové analýzy z $c$, $G$ a $ħ$ vzorec jednotky odpovídající tuhosti pružiny $[k]=\;\mathrm{kg}\cdot \mathrm{s}^{−2}$. Pro určení vzorce uvažujte, že neznámá a z rozměrové analýzy neurčitelná multiplikativní bezrozměrná konstanta je rovna 1.

Ve vzdálenosti $d=5\;\mathrm{m}$ od bodového zdroje zvuku slyšíme zvuk o hladině intenzity $L_{1}=90 \jd{dB}$. V jaké vzdálenosti od zdroje je hladina intenzity tohoto zvuku $L_{2}=50\jd{dB}$?

$N$ lidí se rozhodne hrát na honěnou, ale ne jen tak ledajakou. Na začátku se rozmístí do vrcholů pravidelného $N$-úhelníku o straně délky $a$. Hra poté probíhá tak, že každý honí (to znamená běží přímo za ním) svého souseda po pravé ruce (proti směru hodinových ručiček). Každý se přitom pohybuje rychlostí o konstantní velikosti $v$. Popište průběh hry (trajektorie, po kterých se hráči pohybují) a zjistěte, za jak dlouho hra skončí v závislosti na parametrech $N$, $a$, $v$.

Podzimní počasí je občas stejně rozmařilé, jako to jarní, a tak nás nezřídka může na cestě zastihnout nečekaný liják. Někteří šťastlivci s sebou nosí deštník. Odhadněte, jak velkým tlakem dokáže hustý déšť na deštník působit a porovnejte tíhovou sílu deštníku s tlakovou silou deště. Parametry deštníku vhodně zvolte.

Na hladině vody plove tenká bikonkávní (dvojvypuklá) čočka z lehkého materiálu. Poloměry křivosti obou povrchů jsou $R=20\;\mathrm{cm}$. Určete vzdálenost mezi obrazovým a předmětovým ohniskem čočky, jestliže index lomu vzduchu nad čočkou je $n_{a}=1$, index lomu materiálu čočky je $n_{l}=1.5$ a index lomu vody je $n_{w}=1.3$.

Bonus: Předpokládejte, že se jedná o čočku tloušťky $T=3\;\mathrm{cm}$, uvnitř níž je symetricky umístěna vzduchová dutina tvaru bikonkávní čočky s poloměry křivosti $r=50\;\mathrm{cm}$ a tloušťkou $t=1\;\mathrm{cm}$.

Bylo by možné plavat v bazénu, kdyby se voda v něm chovala jako dokonale nestlačitelná kapalina, jejíž viskozita se limitně blíží nule? Jak by se pohyb plavce odlišoval od plavání v běžné vodě? Co by se dělo s energií soustavy plavec a bazén v případě, že voda z bazénu může vytékat přes okraj? Na počátku je hladina vody zarovnaná s okrajem.

Změřte závislost teploty tuhnutí vodného roztoku sacharózy na koncentraci za atmosférického tlaku.

• Ukažte, že pro libovolné hodnoty parametrů $K$ a $T$ můžete Standardní mapu ze seriálu vyjádřit jako

$$x_{n} = x_{n-1} y_{n-1},$$

$$
y_n = y_{n-1} K \sin(x),$$

kde $x$, $y$ jsou nějak přeškálovaná $dφ⁄dt$, $φ$. Určete fyzikální rozměr $K$, $x$, $y$.

• Podívejte se znova na model nakopávaného rotoru ze seriálu a vezměte tentokrát předávaný impuls $I(φ)=I_{0}$, po periodě $T$ pak $I(φ)=−I_{0}$, po další zase $I_{0}$ a takto dokola kopejte rotor tam a zpátky.
• Napište mapu $φ_{n},dφ⁄dt_{n}$ na základě hodnot $φ_{n−1},dφ⁄dt_{n−1}$ před dvojkopem ± $I_{0}$.
• Bude zkonstruovaná mapa chaotická? Proč ne?
• Vyřešte $φ_{n},dφ⁄dt_{n}$ na základě nějakých počátečních podmínek $φ_{0},dφ⁄dt_{0}$ pro libovolné $n$.

Bonus: Zkuste podle ingrediencí ze seriálu navrhnout kopání, které bude dávat chaotickou dynamiku. Dávejte ale pozor na to, že $φ$ je 2π-periodické a že by se vám $dφ⁄dt$ nemělo vyšroubovat kopáním do nekonečna.