Zadání 5. série 28. ročníku

Možná jste už někdy slyšeli o takzvaných Planckových jednotkách, tj. jednotkách vyjádřených na základě fundamentálních fyzikálních konstant – rychlosti světla $c = 3{,}00\cdot 10^{8}\,\mathrm{m\!\cdot\! s^{-1}}$, gravitační konstanty $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\mathrm{m^3\!\cdot\! kg^{-1}\!\cdot\! s^{-2}}$ a redukované Planckovy konstanty $\hbar = 1{,}05\cdot 10^{-34}\,\mathrm{kg\!\cdot\! m^2\!\cdot\! s^{-1}}$. Takto bývá často zmiňován Planckův čas, Planckova délka a Planckova hmotnost. Co kdyby nás ale zajímala „Planckova tuhost pružiny“? Sestavte na základě rozměrové analýzy z $c$, $G$ a $\hbar$ vzorec jednotky odpovídající tuhosti pružiny $\left[k\right] = \mathrm{kg\!\cdot\! s^{-2}}$. Pro určení vzorce uvažujte, že neznámá a z rozměrové analýzy neurčitelná multiplikativní bezrozměrná konstanta je rovna 1.

Ve vzdálenosti $d = 5\,\mathrm{m}$ od bodového zdroje zvuku slyšíme zvuk o hladině intenzity $L_1 = 90\,\mathrm{dB}$. V jaké vzdálenosti od zdroje je hladina intenzity tohoto zvuku $L_2 = 50\,\mathrm{dB}$?

$N$ lidí se rozhodne hrát na honěnou, ale ne jen tak ledajakou. Na začátku se rozmístí do vrcholů pravidelného $N$-úhelníku o straně délky $a$. Hra poté probíhá tak, že každý honí (to znamená běží přímo za ním) svého souseda po pravé ruce (proti směru hodinových ručiček). Každý se přitom pohybuje rychlostí o konstantní velikosti $v$. Popište průběh hry (trajektorie, po kterých se hráči pohybují) a zjistěte, za jak dlouho hra skončí v závislosti na parametrech $N$, $a$, $v$.

Podzimní počasí je občas stejně rozmařilé, jako to jarní, a tak nás nezřídka může na cestě zastihnout nečekaný liják. Někteří šťastlivci s sebou nosí deštník. Odhadněte, jak velkým tlakem dokáže hustý déšť na deštník působit a porovnejte tíhovou sílu deštníku s tlakovou silou deště. Parametry deštníku vhodně zvolte.

Na hladině vody plove tenká bikonvexní (dvojvypuklá) čočka z lehkého materiálu. Poloměry křivosti obou povrchů jsou $R = 20\,\mathrm{cm}$. Určete vzdálenost mezi obrazovým a předmětovým ohniskem čočky, jestliže index lomu vzduchu nad čočkou je $n_{\mathrm{a}} = 1$, index lomu materiálu čočky je $n_{\mathrm{l}} = 1{,}5$ a index lomu vody je $n_{\mathrm{w}} = 1{,}3$.

Bonus Předpokládejte, že se jedná o čočku tloušťky $T = 3\,\mathrm{cm}$, uvnitř níž je symetricky umístěna vzduchová dutina tvaru bikonkávní čočky s poloměry křivosti $r = 50\,\mathrm{cm}$ a tloušťkou $t = 1\,\mathrm{cm}$.

Tato úloha má otevřené řešení, proto nezapomeňte uvést všechny použité zdroje.

Bylo by možné plavat v bazénu, kdyby se voda v něm chovala jako dokonale nestlačitelná kapalina, jejíž viskozita se limitně blíží nule? Jak by se pohyb plavce odlišoval od plavání v běžné vodě? Co by se dělo s energií soustavy plavec a bazén v případě, že voda z bazénu může vytékat přes okraj? Na počátku je hladina vody zarovnaná s okrajem.

Změřte závislost teploty tuhnutí vodného roztoku sacharózy na koncentraci za atmosférického tlaku.

1. Ukažte, že pro libovolné hodnoty parametrů $\tilde{K}$ a $T$ můžete standardní mapu ze seriálu vyjádřit jako \begin{align*} x_n &= x_{n-1}+y_{n-1}\,,\\ y_n &= y_{n-1}+K\sin{x_n}\,, \end{align*} kde $x,y$ jsou nějak přeškálovaná $\dot{\varphi},\varphi$. Určete fyzikální rozměr $K$, $x$, $y$.

2. Podívejte se znova na model nakopávaného rotoru ze seriálu a vezměte tentokrát předávaný impuls $I(\varphi)=I_0$, po periodě $T$ pak $I(\varphi)=-I_0$, po další zase $I_0$ a takto dokola kopejte rotor tam a zpátky.

   1. Napište mapu $\varphi_n, \dot{\varphi}_n$ na základě hodnot $\varphi_{n-1}, \dot{\varphi}_{n-1}$ před dvojkopem $\pm I_0$.

   2. Bude zkonstruovaná mapa chaotická? Proč ne?

   3. Vyřešte $\varphi_n, \dot{\varphi}_n$ na základě nějakých počátečních podmínek $\varphi_{0}, \dot{\varphi}_{0}$ pro libovolné $n$.

   Bonus Zkuste podle ingrediencí ze seriálu navrhnout kopání, které bude dávat chaotickou dynamiku. Dávejte ale pozor na to, že $\varphi$ je $2 \pi$-periodické a že by se vám $\dot{\varphi}$ nemělo vyšroubovat kopáním donekonečna.