Zadání 6. série 34. ročníku

Uvažujme krasobruslařku s rozpaženýma rukama, točící se úhlovou rychlostí $\omega$ kolem své osy. Jakou úhlovou rychlostí $\omega'$ se bude točit, pokud připaží? Jakou práci musí vykonat, aby připažila? Tvar krasobruslařky aproximujte dle svého uvážení.

Mějme matematické kyvadlo délky $l$ se závažím o hmotnosti $m$ v tíhovém poli se zrychlením $g$. Kyvadélko uvedeme do rotačního pohybu okolo svislé osy s konstantní úhlovou rychlostí $\omega$. Určete stabilní polohy kyvadla. Výsledek vyjádřete pomocí úhlu od svislice.

Úsek silnice o délce $a = 2{,}8\,\mathrm{km}$ začíná semaforem s periodou $T$, na kterém signál zeleného světla trvá po dobu $t_1 = 79\,\mathrm{s}$. Na konci tohoto úseku je druhý semafor se stejnou periodou, ale délka trvání téhož signálu je pro něj $t_2 = 53\,\mathrm{s}$. Na obou semaforech se zelené světlo rozsvítí vždy ve stejný okamžik. Spočítejte, za jak dlouho průměrně přejedete celý úsek silnice (včetně čekání na semaforech), pokud se při jízdě pohybujete rychlostí $v = 60\,\mathrm{km\!\cdot\! h^{-1}}$. Čas potřebný na rozjezdy a brzdění zanedbejte.

Dlouhoperiodické a neperiodické komety začnou vyvrhovat plyn zpravidla při překročení dráhy Saturnu. Do té doby se pro pozorovatele na Zemi jeví jen jako malé kusy skal, a jsou tedy téměř nepozorovatelné. Uvažujte kometu se vzdáleností v přísluní rovnou $q = 0{,}5\,\mathrm{au}$ a odhadněte, za jak dlouho od okamžiku, kdy překoná dráhu Saturnu, poprvé překročí dráhu Země. Trajektorie komety má excentricitu velmi blízko jedné.

Mějme homogenní pružinu s tuhostí $k$ a hmotností $m$, jejíž šířka je zanedbatelná vůči její délce. Pružinu uchytíme na jednom konci tak, aby kolem něj mohla rotovat, a následně ji roztočíme úhlovou rychlostí $\omega$. Kolikrát se tato pružina při rotaci prodlouží? Vliv tíhového pole neuvažujte.

Tato úloha má otevřené řešení, proto nezapomeňte uvést všechny použité zdroje.

Dojde-li k výronu koronální hmoty ze Slunce, začne se tato hmota velkou rychlostí šířit prostorem. Někdy může zasáhnout Zemi a ovlivnit její magnetické pole. Odhadněte, jak velké elektrické proudy by mohl takový výron generovat na Zemi v síti elektrického vedení. Na jakých parametrech to závisí? Okomentujte, jaké by měla taková událost dopady na lidskou civilizaci.

Vezměte si skleničku, plechovku či jinou válcově symetrickou nádobu a změřte závislost úhlu náklonu, při kterém se převrhne, na množství vody uvnitř. Doporučujeme použít nádobu s větším poměrem výšky ku průměru podstavy.

Uvažujte napnutou strunu o délkové hustotě $\rho$, která je navíc rovnoměrně nabitá s délkovou nábojovou hustotou $\lambda$. Napětí ve struně je $T$. Struna se nachází v magnetickém poli o konstantní velikosti $B$, jež je ve směru struny v rovnovážné poloze. Vaším úkolem bude popsat několik aspektů kmitání této struny. Nejprve bude třeba sestrojit vlnovou rovnici. Zanedbejte indukční efekty (předpokládejte, že struna je perfektně izolující, a tedy nábojová hustota zůstává konstantní) a určete Lorentzovu sílu na jednotku délky pro malé oscilace struny v obou směrech kolmých na směr jejího napnutí. Tuto sílu použijte pro sestavení vlnové rovnice (ta dále obsahuje sílu plynoucí z napětí struny). Proveďte fourierovskou substituci a určete disperzní vztah v aproximaci malého pole $B$; konkrétně uvažujte členy do prvního řádu v $\beta = \frac{\lambda B}{k \sqrt{\rho T}} \ll 1$, kde $k$ je vlnové číslo. Určete dva polarizační vektory, tentokrát pouze do nultého řádu v $\beta$.

Nyní předpokládejte, že v určitém místě struny vytvoříme vlnu, která bude oscilovat pouze v jednom směru. V jaké vzdálenosti od původního bodu bude vlna stočená o devadesát stupňů?