Zadání 6. série 35. ročníku

Lex Luthor zajal Lois Lane a vyhodil ji z letadla ve výšce $h$. Superman se za ní rozletí a v nějaké výšce ji chytí. Předpokládejme, že Lois dokáže přežít zrychlení maximálně $10\,g$. V jaké nejnižší výšce ji může Superman chytit, aby ji stihl zachránit?

Představte si, že by existovala kometa, která by ohrožovala Zemi jednou za generaci, přičemž by v tomto okamžiku byla ve svém perihelu. V jaké vzdálenosti od Země bude taková kometa v afelu a jaká bude délka hlavní poloosy a relativní excentricita její dráhy? Neuvažujte jiné gravitační vlivy než od Slunce a předpokládejte, že jedna generace má $g = 20\,\mathrm{let}$.

Bublifukem vytvoříme malou mýdlovou bublinku. Jakou rychlostí bude padat k zemi? Bublinka má vnější poloměr $R$ a plošnou hustotu $s$.

Jaká je pravděpodobnost, že se z jednoho molu radioaktivní látky během jednoho poločasu rozpadu rozpadnou tři čtvrtiny původního počtu atomů? Obvykle by se to mělo stát až za dva poločasy rozpadu. Kvůli čemu bychom mohli takovou situaci pozorovat?

Postavili jsme malou raketu s hmotností $m_0 = 3\,\mathrm{kg}$, z níž $70\,\mathrm{\%}$ tvoří palivo. Výtoková rychlost spalin je $u = 200\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ a jejich hmotnostní tok je $R = 0{,}1\,\mathrm{kg\cdot s^{-1}}$. Raketa je vybavena stabilizačními prvky, takže se nevychyluje z dráhy a startuje z klidu kolmo vzhůru. Předpokládejte, že odporová síla vzduchu je přímo úměrná rychlosti, $F_{\mathrm{o}} = -bv$, kde $b = 0{,}05\,\mathrm{kg\cdot s^{-1}}$, $v$ je rychlost rakety a znaménko minus znamená, že síla působí proti směru pohybu. V jaké výšce nad povrchem se bude raketa nacházet v čase $T = 25\,\mathrm{s}$ od zažehnutí motoru?

Je dobré schovávat se před deštěm v lese? Vytvořte vhodný model popisující tuto problematiku. Uvažte například hustotu olistění a intenzitu a délku deště. Popište, za jak dlouho od začátku deště začnou kapky z listů dopadat na zem, za jak dlouho po skončení deště v lese přestane pršet a podobně.

Sestavte zařízení, které dokáže co nejpřesněji odměřit jednu minutu. Při konstruování nesmíte pro kalibraci používat žádné měřidlo času. Po sestavení použijte stopky na změření toho, jak je vaše minuta přesná.

Bonus Odměřte deset minut.

1. Jak velká musí být apertura prostorového filtru, jestliže jsme pro jeho sestavení použili čočku o průměru $40\,\mathrm{cm}$ a ohniskové vzdálenosti $4\,\mathrm{m}$? Laserový svazek s gaussovským profilem má na vstupu průměr $30\,\mathrm{cm}$ a vlnovou délku $1~053\,\mathrm{nm}$. Poloměr ohniska (tedy parametr $\sigma$) gaussovského svazku můžeme vypočítat podle vzorce \begin{equation*} r = \frac{2}{\pi}\lambda \frac{f}{D}\,, \end{equation*} kde $D$ je průměr svazku, $f$ je ohnisková vzdálenost čočky a $\lambda$ je vlnová délka laseru.

2. Jakou energii musí mít laserový svazek, který je fokusován na povrch palivové peletky o poloměru $1\,\mathrm{mm}$, aby byla dosažena intenzita v ohnisku $10^{14}\,\mathrm{W\cdot cm^{-2}}$? Poloměr ohniska je $25\,\mathrm{\upmu{}m}$ a délka pulzu $10\,\mathrm{ns}$. Kolik svazků celkem potřebujeme, abychom rovnoměrně pokryli povrch peletky? Jaká je jejich celková energie?

3. Jakou energii musí mít laserový, fokusovaný tak, že na povrchu peletky nemá ohnisko, ale průměr svazku odpovídá průměru peletky? Chceme s ním dosáhnout stejné intenzity, jako v předchozím případě. Předpokládejte, že takový svazek máme jeden a že je schopný homogenně ozářit celou peletku „ze všech stran“.