Zadání 6. série 30. ročníku

Na auto připevníme dopředu dva kulomety, které vystřelují kulky o hmotnosti $m = 25\,\mathrm{g}$ rychlostí $v_1 = 500\,\mathrm{m\!\cdot\! s^{-1}}$, každý s frekvencí 10 výstřelů za sekundu. Auto se rozjede po rovině rychlostí $v_2 = 80\,\mathrm{km\!\cdot\! h^{-1}}$ a poté začne střílet. Kolik nábojů vystřílíme, než auto zastaví? Během palby nepřidáváme plyn, odpor vzduchu a kol zanedbáváme. Tepelné ztráty uvnitř zbraní jsou taktéž zanedbatelné.

Z jaké výšky nad povrchem neutronové hvězdy bychom museli „upustit“ předmět, aby dopadl na její povrch v rychlosti $0{,}1\,c$ ($0{,}1$ rychlosti světla). Naše neutronová hvězda má hmotnost 1,5násobku hmotnosti Slunce a průměr $d = 10\,\mathrm{km}$. Zanedbejte atmosféru neutronové hvězdy a její rotaci. Zanedbejte relativistické korekce. Srovnejte ale, jakého výsledku byste dosáhli, pokud by pád probíhal v homogenním gravitačním poli (které má intenzitu stejnou jako na povrchu planety) s tím, kdy pád probíhá v radiálním gravitačním poli.

Bonus: Uvažujte korekci na speciální teorii relativity v případě pádu v homogenním poli.

Superman a Flash se rozhodli, že si dají závod. Závod se koná v hlubokém vesmíru, protože na Zemi není dostatečně dlouhá rovná pláž. Flash, protože je pomalejší, startuje s délkovým náskokem $l$ před Supermanem. Flash v jednu chvíli vyběhne s konstantní rychlostí $v_{\mathrm{F}}$ srovnatelnou s rychlostí světla. Ve chvíli, kdy si Superman všimne, že Flash vyběhl, vyběhne také, a to konstantní rychlostí $v_{\mathrm{S}} > v_{\mathrm{F}}$. Za jak dlouho Superman Flashe dožene (z pohledu Supermana)? A za jak dlouho Flashe dožene Superman (z pohledu Flashe)? A byl vůbec závod spravedlivě odstartován, resp. dokázali byste vymyslet spravedlivější způsob (přičemž náskok $l$ má být ponechán)?

Mirek by rád zastřelil potkana, kterého vídá na kolejích. Připravil si tedy jednoduchou vzduchovou pušku, kterou si můžeme modelovat jako trubku s konstantním průřezem $S = 15\,\mathrm{mm^2}$ a délkou $l = 30\,\mathrm{cm}$, která je na jedné straně uzavřená a na druhé otevřená. Do ní se chystá Mirek umístit náboj hmotnosti $m = 2\,\mathrm{g}$, který trubku akorát utěsní, a to ve vzdálenosti $d = 3\,\mathrm{cm}$ od uzavřeného konce. Náboj zde zatím nechá upevněný v klidu a natlakuje uzavřenou část trubky na určitý tlak $p_0$. Posléze náboj uvolní. Chce, aby na konci ústí byla rychlost náboje minimálně $v = 90\,\mathrm{m\!\cdot\! s^{-1}}$. Poraďte mu, na jaký tlak by musel vzduchovou pušku natlakovat, aby náboj vyšel s takovou rychlostí, pokud by plyn byl ideální, a diskutujte realističnost uspořádání. Předpokládejte, že náboj je uvolňován kvazistatickým adiabatickým dějem, kde $\kappa = 7/5$, protože se jedná o dvouatomový plyn. Uvažujte, že z vnějšku působí na náboj atmosférický tlak $p_{\mathrm{a}} = 10^5\,\mathrm{Pa}$. Zanedbejte energetické ztráty vyvolané třením, odporem vzduchu a stlačováním plynu před nábojem.

Máme homogenní tyč konstantního průřezu délky $l$ připevněnou na jednom konci k otočnému kloubu. Na počátku směřuje tyč přímo vzhůru a jsme v homogenním tíhovém poli velikosti $g$. Tyč se vlivem mírného závanu větru začne otáčet a „padat“ dolů, ale stále je držena otočným kloubem. S jakým zrychlením se bude pohybovat konec tyče v průběhu času?

Tato úloha má otevřené řešení, proto nezapomeňte uvést všechny použité zdroje.

Umístíme hodně velký kus ledu, dejme tomu o průměru $1\,\mathrm{km}$, do blízkosti hvězdy podobné Slunci na kruhovou dráhu. Blízkost je tak velká, že rovnovážná teplota černého tělesa by v této vzdálenosti byla zhruba $30\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$. Co se bude dít s takovým asteroidem a jeho dráhou? Asteroid nemá vázanou rotaci.

Sežeňte si skleničku na víno, ideálně tenkou se zabroušeným okrajem. Nejprve změřte vnitřní průměr skleničky v závislosti na výšce ode dna. Pak ji rozeznívejte, ideálně navlhčeným prstem pohybem po jejím okraji – někdy to chce trochu trpělivosti. Změřte závislost frekvence tónů, které sklenička vydává v  závislosti na výšce naplnění vody v ní (alespoň pro 5 hladin vody a dvě frekvence v každé výšce).

Nápověda: Pokud je sklenička tenkostěnná, můžete její vnitřní rozměry považovat za stejné jako vnější a díky tomu závislost jejího průměru na výšce určit z vhodné fotografie s měřítkem. Pro měření zvuku doporučujeme freeware program Audacity (Rozbor $\rightarrow$ Kreslit spektrum).

1. Zkuste vlastními slovy popsat, k čemu a jak se používá nelineární regrese (postačí vlastními slovy popsat následující: model nelineární regrese, způsob odhadu regresních koeficientů, vyjádření nejistot odhadů regresních koeficientů a hodnot prokládané funkce, statistické testy hodnot regresních koeficientů, identifikovatelnost parametrů a způsob volby prokládané funkce). Není potřeba uvádět přesná matematická odvození, stačí požadované pojmy a vlastnosti stručně popsat.

2. V přiloženém datovém souboru regrese1.csv naleznete dvojice hodnot $(x_i, y_i)$. Těmito daty chceme proložit teoretickou funkční závislost, kterou je v tomto případě sinusoida, tedy funkce tvaru \begin{equation*} f(x) = a+ b \cdot \sin (c x + d)\,. \end{equation*} Vykreslete graf naměřených hodnot a proložené funkce a stručně ho okomentujte (takovýto graf musí mít všechny náležitosti). Není potřeba dělat regresní diagnostiku.

   Nápověda: Dejte si pozor na identifikovatelnost parametrů v tomto modelu a vhodné omezující podmínky na parametr $c$.

3. V přiloženém datovém souboru regrese2.csv naleznete dvojice hodnot $(x_i, y_i)$. Těmito daty chceme proložit teoretickou funkční závislost, kterou je v tomto případě exponenciála, tedy funkce tvaru \begin{equation*} f(x) = a+ \mathrm{e}^{b x + c}\,. \end{equation*} Určete hodnoty odhadů všech regresních koeficientů včetně nejistot měření.

   Nápověda: Grafickou metodou ověřte předpoklad homoskedasticity a v případě potřeby pro určení nejistot měření regresních koeficientů použijte Whiteův (sendvičový) odhad kovarianční matice.

4. V přiloženém datovém souboru regrese3.csv naleznete dvojice hodnot $(x_i, y_i)$. Těmito daty chceme proložit teoretickou funkční závislost, kterou je v tomto případě hyperbola, tedy funkce tvaru \begin{equation*} f(x) = a+ \frac{1}{b x + c}\,. \end{equation*} Vykreslete graf naměřených dat v podobě průměrů a chybových úseček a proložené funkce a stručně ho okomentujte (takovýto graf musí mít všechny náležitosti). Proveďte regresní diagnostiku.

Bonus: V přiloženém datovém souboru regrese4.csv najdete dvojice hodnot $(x_i, y_i)$. Těmito daty chceme proložit teoretickou závislost, která je ovšem příliš složitá na analytické vyjádření. Proložte těmito daty regresní spliny (s vhodně zvolenými uzly a vhodně zvoleným stupněm).

Pro práci s daty použijte výpočetní prostředí R. Pro vyřešení těchto úkolů postačí drobně upravit přiložený skript, ve kterém je pomocí komentářů v kódu vysvětlena potřebná syntaxe jazyka R.