Zadání 1. série 34. ročníku

Jaký index lomu by musela mít průhledná planparalelní deska tloušťky $d=1\,\mathrm{cm}$, abychom při pohledu na ni viděli světlo, které do ní vniklo z druhé strany před rokem? A jak moc je daná situace reálná?

Karlovo auto, jedoucí rychlostí $v_0$, zastaví na vzdálenosti $s_0$ při použití konstantní brzdné síly $F_0$. Kolikrát delší bude brzdná dráha při stejné síle, ale dvojnásobné počáteční rychlosti? Kolikrát větší musí být brzdná síla, aby auto zastavilo na stejné dráze při dvojnásobné počáteční rychlosti?

Vašek jede za větrného počasí na kole. Jede-li rovně rychlostí $v = 10\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}$, naměří, že proti němu fouká vítr vodorovně pod úhlem $25^\circ$ od směru jízdy. Při vyšší rychlosti $v' = 20\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}$ je tento úhel už jenom $15^\circ$. Určete rychlost a směr větru vzhledem k nehybnému pozorovateli.

Ve vzdálenosti $0{,}8\,\mathrm{au}$ od Slunce se vznáší solární plachetnice ve tvaru tenké desky o ploše $S = 500\,\mathrm{m^2}$ s plošnou hustotou $\sigma =1{,}4\,\mathrm{kg\cdot m^{-2}}$. Jakou silou na ni působí záření dopadající ze Slunce v okamžiku, kdy se plachetnice právě začíná pohybovat? Jaké bude v mít tu chvíli zrychlení? Zářivý výkon Slunce je $L_{\odot} =3{,}826\cdot 10^{26}\,\mathrm{W}$. Předpokládejte, že záření dopadá na plachetnici kolmo a odráží se pružně.

Nápověda Doporučujeme najít zrychlení při malé počáteční rychlosti $v_0$ a poté dosadit $v_0 = 0$.

Pro jednoduchost uvažujte, že gumička je pružná pouze v tečném směru (takže vždy leží v jedné rovině).

Různé filmy dávají vzniknout různým představám o tom, co a jak rychle se stane, pokud astronautovi praskne skafandr. Některé z nich jsou dokonce protichůdné. Odůvodněte, co by se s největší pravděpodobností ve skutečnosti stalo, pokud by se dosud zdravý člověk ocitl nijak nechráněný uprostřed vakua. Co by bylo nejrychlejší příčinou smrti?

Změřte závislost průměru kráteru, vzniklého dopadem kamene do vhodného pískoviště, na hmotnosti kamene a na výšce vypuštění. Závisí velikost kráteru jenom na energii dopadu? Doporučujeme měřit, když je písek suchý.

1. Uvažujme dutý nehmotný kužel, do jehož špičky vložíme kámen o hmotnosti $M$. Kužel ponoříme špičkou dolů do vody o hustotě $\rho$, ve které bude plovat. Určete rovnovážnou hloubku ponoru kužele měřenou od špičky $h$, pokud je celková výška kužele $H$ a poloměr základny $R$. Dále nalezněte úhlovou frekvenci malých vertikálních kmitů kuželu.
2. Představme si závaží o hmotnosti $m$ přidělané na nehmotné pružině o tuhosti $k$ a klidové délce $L$. Pokud pružinu na druhém konci upevníme, dostaneme kyvadlo. Spočítejte přirozenou úhlovou frekvenci jeho oscilací, přičemž předpokládejte, že délka pružiny se během pohybu nemění. Následně určete malý rozdíl v úhlové frekvenci $\Delta \omega$, o který se úhlová rychlost tohoto kyvadla liší od případu, ve kterém je pružina nahrazena nedeformovatelnou tyčí se stejnou klidovou délkou. Přitom předpokládejte $k L \gg m g$.
3. V terénu, který se skládá z periodicky se opakujících parabol s výškou $H$ a šířkou $L$, se nachází kostka cukru s hmotností $m$. Popište její potenciální energii jako funkci souřadnice v horizontálním směru a následně načrtněte možné trajektorie jejího pohybu ve fázovém prostoru v závislosti na rychlosti $v_0$, kterou má při průchodu vrcholem paraboly. Na náčrtku označte všechny významné vzdálenosti. Pro výchylku použijte horizontální souřadnici, vhodně přizpůsobte jednotky hybnosti v horizontálním směru. Při výpočtech zanedbejte kinetickou energii pohybu kostky ve vertikálním směru a předpokládejte, že stále zůstává v kontaktu s terénem.