Zadání 3. série 28. ročníku

Jakou hmotnost má zemská atmosféra? Jakou část hmotnosti Země tvoří? Pro potřeby výpočtu znáte pouze hmotnost Země $M_{\mathrm{Z}}$ a poloměr Země $R_{\mathrm{Z}}$, gravitační zrychlení $a_{\mathrm{g}}$ na povrchu Země, hustotu vody $\rho$ a víte, že blízko povrchu Země v hloubce $h_1=10\,\mathrm{m}$ má hydrostatický tlak vody hodnotu zhruba jedné atmosféry $p_{\mathrm{a}} = 10^{5}\,\mathrm{Pa}$. Nápověda Jedná se o jednoduchou úlohu. Nejde nám o dokonale přesné řešení, ale o kvalifikovaný odhad podložený výpočtem.

Určete rozdíl potenciální povrchové energie blány kulaté bubliny a bubliny ve tvaru pravidelného čtyřstěnu. Oba útvary mají stejný vnitřní objem $V$.

Jak známo, vlaky nemají diferenciál, tedy při průjezdu zatáčkou se obě kola musí otáčet stejnou úhlovou rychlostí. Předpokládejte nyní, že kola mají válcový tvar. Proto při jízdě zatáčkou pojede jedno kolo po delší trajektorii než druhé. Osička bude namáhána na krut a v jistý okamžik již třecí síla mezi kolem a kolejnicí nebude dostatečně velká a dojde k prokluzu jednoho z kol, čímž napětí v osičce klesne na nulu. Určete vzdálenost mezi jednotlivými prokluzy v závislosti na poloměru zatáčky $R_{\mathrm{z}}$. Kolo má poloměr $R$, osa má poloměr $r$, délka osy je $L$, modul pružnosti materiálu osy ve smyku je $G$ (ocel), vagon s $N$ koly má hmotnost $M$ a koeficient statického tření mezi kolem a kolejnicí je $f$. Nakonec můžete dosadit realistické hodnoty. Nápověda Pro zkrut $\varphi$ válce o poloměru $R$, délce $l$ a modulu pružnosti ve smyku $G$, na který působíme momentem $\mathcal{M}$, platí \begin{equation*} \varphi = \frac{2\mathcal{M}l}{G \pi R^4}\,. \end{equation*}

Terka se ve svém autě blíží relativistickou rychlostí $v$ k rovinnému zrcadlu. Blíží se kolmo na rovinu zrcadla v kolizním kurzu. Přitom se samozřejmě dívá na sebe, jak se k zrcadlu blíží. Jaká je rychlost, kterou se Terka blíží ke svému neskutečnému obrazu, a jakou rychlost ona pozoruje svým zrakem? Bonus Zrcadlo není rovinné, ale kulové.

Do nádoby o objemu $V=1\,\mathrm{m^3}$, ve které je velmi nízký tlak (prakticky dokonalé vakuum), umístíme $V_0=1\,\mathrm{l}$ vody o pokojové teplotě $t_0$. Jaký bude konečný stav, ve kterém se bude nacházet nádoba a voda v ní? Pro účely výpočtu předpokládejte, že nádoba je dokonale tepelně izolovaná od okolního prostředí a má zanedbatelnou tepelnou kapacitu.

Tato úloha má otevřené řešení, proto nezapomeňte uvést všechny použité zdroje.

Vysvětlete, na jakém principu funguje hvízdání pomocí úst. Uvažujte přitom nejprve jednoduché modely a postupně přejděte ke složitějším. Pak vyberte nejlepší z nich a na základě něj odhadněte, v jakém rozsahu se může pohybovat základní frekvence hvizdu. (Pokud umíte hvízdat, můžete zkusit posoudit přesnost vašeho odhadu pomocí experimentu.)

Změřte koeficient statického a dynamického tření mezi teniskou (botou) a vodorovným hladkým povrchem v situacích, kdy je povrch suchý a kdy je mokrý. Výsledky srovnejte a interpretujte.

1. Podívejte se na rovnice Lorenzova modelu a sepište skript na jeho simulaci v Octave (na to si případně osvěžte i druhý díl seriálu). Spolu s vykreslujícím příkazem by váš skript měl vypadat zhruba takto:
   ...
   function xidot = f(t,xi)
   ...
   xdot=...;
   ydot=...;
   zdot= ...;
   xidot = [xdot;ydot;zdot];
   endfunction
   nastaveni = odeset('InitialStep', 0.01,'MaxStep',0.1);
   pocPodminka=[0.2,0.3,0.4];
   reseni=ode45(@f,[0,300],pocPodminka,nastaveni);
   plot3(reseni.y(:,1),reseni.y(:,2),reseni.y(:,3));
   Jen místo tří teček doplňte zbytek programu podobně jako v druhém dílu seriálu a použijte $\sigma=9{,}5$, $b=8/3$. Pak zjistěte alespoň s přesností na jednotky, pro jaké kladné $r$ přechází systém z asymptotického zastavování se na chaotickou oscilaci (na počátečních podmínkách nezáleží).

2. Zde je plný text octavovského skriptu pro simulaci a vizualizaci pohybu částice v gravitačním poli hmotného tělesa v rovině $xy$, kde všechny parametry a konstanty jsou rovny jedné:
   clear all
   pkg load odepkg
   function xidot = f(t,xi)
   alfa=0.1;
   vx=xi(3);
   vy=xi(4);
   r=sqrt(xi(1)\^2+xi(2)\^2);
   ax=-xi(1)/r\^3;
   ay=-xi(2)/r\^3;
   xidot = [vx;vy;ax;ay];
   endfunction
   nastaveni = odeset('InitialStep', 0.01,'MaxStep',0.1);
   x0=0;
   y0=1;
   vx0=...;
   vy0=0;
   pocPodminka=[x0,y0,vx0,vy0];
   reseni=ode45(@f,[0,100],pocPodminka,nastaveni)
   plot(reseni.y(:,1),reseni.y(:,2));
   pause()

   1. Zvolte počáteční podmínky x0=0,y0=1,vy0=0 a počáteční rychlost ve směru $x$ nenulovou tak, aby byla částice vázaná, tj. neulétla z dosahu centra.

   2. Přidejte ke gravitační síle ve skriptu sílu $-\alpha\mathbf{r}/r^4$, kde $\alpha$ je malé kladné číslo. Volte postupně několik zvětšujících se $\alpha$ počínaje $\alpha=10^{-3}$ a ukažte, že způsobují kvaziperiodický pohyb.