Zadání 3. série 35. ročníku

Můžeme se setkat s neoficiálním výkladem, že červená, modrá a bílá barva na české vlajce symbolizují krev, oblohu (tedy vzduch) a čistotu. Najděte polohu těžiště takto doslovně interpretované vlajky, přičemž uvažujte, že čistota je nehmotná. Poměr stran je $3:2$ a rozhraní všech tří částí se nachází přesně ve středu. Hustoty krve a vzduchu si vyhledejte.

Bonus Pokúste sa čo najpresnejšie spočítať polohu ťažiska slovenskej vlajky. Môžete použiť rôzne aproximácie.

Vašek si rád hraje s klíči tak, že je roztočí na šňůrce a pak si je nechá namotat na ruku. Pro názornost si tuto situaci zjednodušme modelem, kdy máme ve stavu beztíže hmotný bod o hmotnosti $m$ uchycený na konci nehmotného vlákna délky $l_0$. To je druhým koncem připevněno na pevný válec o poloměru $r$. Vlákno napneme tak, že v bodě uchycení představuje kolmici k povrchu válce, a hmotnému bodu udělíme rychlost $\mathbf{v_0}$ ve směru kolmém jak na osu válce, tak na napnuté vlákno. To se díky tomu začne na válec namotávat. Jak bude záviset velikost rychlosti hmotného bodu na délce nenamotané části vlákna $l$?

Nápověda Najděte veličinu, která je od začátku do konce namotávání konstantní.

Bonus Za jak dlouho se vlákno namotá celé?

Mějme dvě cívky navinuté na stejné papírové ruličce. První má hustotu vinutí $10\,\mathrm{cm^{-1}}$ a druhá $20\,\mathrm{cm^{-1}}$. Rulička měří $40\,\mathrm{cm}$ na délku a $1\,\mathrm{cm}$ v průměru. Obě cívky jsou navinuté po celé její délce, přičemž druhá je navinutá přes první. Vzhledem k rozměrům ruličky můžeme zanedbat okrajové efekty a pracovat s cívkami jako s ideálními solenoidy. Uvažujme, že je zapojíme do obvodu sériově za sebou. Toto uspořádání můžeme pomyslně nahradit jedinou cívkou. Jaká by byla její indukčnost?

Blízko pobřeží je rychlost mořských vln ovlivněna přítomností dna. Předpokládejte, že rychlost vln $v$ je funkcí tíhového zrychlení $g$ a hloubky moře $h$. Platí $v = C g^\alpha h^\beta$. Pomocí rozměrové analýzy určete rychlost vln v závislosti na hloubce vody. Číslo $C$ je bezrozměrná konstanta, kterou touto metodou určit nedokážeme.

Kromě rychlosti vln ale koupajícího se Jindru ještě zajímá, z jakého směru k němu vlny dorazí. Definujme souřadnicovou soustavu, ve které hladina vody leží v rovině $xy$. Linie pobřeží má rovnici $y = 0$, oceán leží v polorovině $y > 0$. Hloubka vody $h$ je funkcí vzdálenosti od pobřeží $h = \gamma y$, kde $\gamma = \mathrm{konst}$. Na širém oceánu, kde je rychlost vln $c$ konstantní (není ovlivněna hloubkou), postupují rovinné vlny, jejichž čela svírají s osou $x$ úhel $\theta_0$. Najděte diferenciální rovnici \begin{equation*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f\!\left(y\right) \end{equation*} popisující tvar čela vlny v blízkosti pobřeží, ale nepokoušejte se ji řešit, není vůbec triviální. Spočítejte, pod jakým úhlem narážejí čela vln na pobřeží.

Bonus Vyřešte diferenciální rovnici a najděte tvar čel vln v blízkosti pobřeží.

Skřítci se rozhodli ukovat další magický meč. Vyrábějí jej z tenké kovové tyče o poloměru $R=1\,\mathrm{cm}$, na jejímž jednom konci udržují teplotu $T_1 = 400\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$. Tyč je obklopena obrovským množstvím vzduchu o teplotě $T_0 = 20\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$. Součinitel přestupu tepla onoho bájného kovu je $\alpha = 12\,\mathrm{W\!\cdot\! m^{-2}\!\cdot\! K^{-1}}$ a koeficient tepelné vodivosti má hodnotu $\lambda = 50\,\mathrm{W\!\cdot\! m^{-1}\!\cdot\! K^{-1}}$. Tyč na výrobu meče je velmi dlouhá. Kde nejblíže zahřívanému konci mohou skřítci tyč chytit holýma rukama, nemá-li teplota v místě doteku překročit $T_2 = 40\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$? Proudění vzduchu a tepelné záření neuvažujte.

Tato úloha má otevřené řešení, proto nezapomeňte uvést všechny použité zdroje.

Jak by mohla být na vesmírné lodi realizována umělá gravitace? Jaké by to mělo výhody a nevýhody v závislosti na různých charakteristikách vesmírného plavidla? Je realistická představa, že by v různých patrech vesmírné lodi měla různý směr či že by se rychle měnila, jak někdy můžeme vidět ve sci-fi filmech při „selhání umělé gravitace“?

Změřte stáčení polarizační roviny v závislosti na koncentraci cukru v roztoku.

1. Určete (s pomocí obrázku 1) dosah jader helia v centrální horké skvrně.

2. Jaká energie se musí uvolnit fúzními reakcemi, aby se hoření paliva rozšířilo do nejbližší slupky peletky? Jak tlustá je tato slupka?

3. Odhadněte, jaká je nejpravděpodobnější přenesená energie z jádra helia na deuterium. Kolik srážek průměrně podstoupí jádro helia v centrální horké skvrně předtím, než se zastaví?