Zadání 4. série 32. ročníku

Mějme dutou kostku s hranou délky $a=20\,\mathrm{cm}$ naplněnou vzduchem s teplotou $t_0 =20\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$, což je zároveň teplota okolí kostky. Vzduch uvnitř kostky ochladíme na $t_1=5\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$. Jaká síla bude působit na každou stěnu kostky? Kostka při ochlazení vzduchu v ní nemění svůj objem. Tlak v okolí kostky je $p_0 = 101{,}3\,\mathrm{kPa}$.

Máme (nehmotný) provázek délky $l$ a na jeho konci kuličku (hmotný bod) s hmotností $m$. Víme, že maximální tíha, co unese, je síla $F = mg$, kde $g$ je místní tíhové zrychlení, ale už nic víc. Provázek upevníme a kuličku budeme držet ve stejné výšce, jako je místo upevnění, ve vzdálenosti délky provázku od druhého konce provázku, ale tak, abychom ho nenapínali. Kuličku uvolníme a ta se začne vlivem tíhového zrychlení pohybovat. Pod jakým úhlem provázku vůči svislé rovině se provázek přetrhne?

Matěj má rád levitující věci, a tak si pořídil nekonečnou nevodivou nabitou vodorovnou rovinu s plošnou nábojovou hustotou $\sigma$. Poté nad ní umístil míček o hmotnosti $m$ nabitý nábojem $q$. Vypočítejte, pro jaké hodnoty $\sigma$ může míček vůbec nad deskou levitovat. V jaké výšce $h$ se pak může vznášet? Uvažujte konstantní tíhové zrychlení $g$.

Dva hmotné body skákaly na trampolíně do výšky $h_0 = 2\,\mathrm{m}$. Ve chvíli, kdy oba byly v nejnižším možném místě trajektorie (výchylka $y = 160\,\mathrm{cm}$), jeden z nich záhadně zmizel. Do jaké nejvyšší výšky byl druhý vymrštěn? Kruhová trampolína má obvod $o = 10\,\mathrm{m}$ a pruží díky $N = 42$ pružinám s tuhostí $k = 1720\,\mathrm{N\!\cdot\! m^{-1}}$. Trampolínu modelujme $N$ pružinami rozmístěnými rovnoměrně a spojenými ve středu. Hmotnost zmizelého hmotného bodu je $M = 400\,\mathrm{kg}$.

Tenký homogenní disk obíhá na vodorovné podložce po kružnici s poloměrem $R$. Velikost rychlosti těžiště disku je $v$. Určete úhel $\alpha$ mezi rovinou disku a svislým směrem. Tření mezi diskem a podložkou je dostatečné. Poloměr disku je řádově menší než $R$.

Tato úloha má otevřené řešení, proto nezapomeňte uvést všechny použité zdroje.

Mezihvězdný prostor není prázdný, nýbrž obsahuje nepatrné množství hmoty. Uvažujte jen vodík, potřebnou hustotu si vyhledejte. Mohla by existovat kosmická loď, jež by „nasávala“ vodík před sebou a využívala energii z něj? Jak rychlá a velká by musela být, aby udržela termojadernou fúzi jen z přijatého vodíku? Jaké jiné překážky realizace je rozumné uvažovat?

Změřte, jak moc dokáže papír stínit zvuk. K měření stačí použít např. mobilní telefon jako generátor zvuku a mikrofon v počítači jako detektor (Audacity). Použijte papíry různých druhů a tvarů.

V závere seriálu ste si určite všimli Lagrangián a diferenciálnu rovnicu, ktoré akoby „spadli z neba“. To nie je vôbec náhoda, veľkou časťou tejto seriálovej úlohy bude tieto dve rovnice odvodiť.

1. Ukážte, že ak máme pohyb častice v ľubovoľnom centrálnom poli, teda v poli, kde potenciál závisí len na vzdialenosti, bude sa častica zaručene pohybovať len v rovine.

   Návod Zostavte Lagrangeove rovnice II. druhu pre túto situáciu, použite pri tom vhodné zovšeobecnené súranice. Následne bez ujmy na všeobecnosti položte súradnicu $\theta = \pi/2$ a počiatočnú rýchlosť v smere tejto súradnice nulovú. Zamyslite sa a vysvetlite, prečo je takáto voľba v poriadku a nestratíme pri nej žiadne riešenie.

2. Zostavte Lagrangián pre hmotný bod pohybujúci sa v rovine v centrálnom poli. Mali by ste dostať ten istý, ako je uvedený v závere seriálu. Pre tento Lagrangián následne nájdite všetky intergály pohybu a pomocou nich nájdite diferenciálnu rovnicu prvého rádu pre premennú $r$. Pre vašu kontrolu, mala by vám vyjsť rovnako ako na konci seriálu.

3. Zamyslite sa, ako určiť uhlovú vzdialenosť medzi dvoma bodmi na sfére, ak máte zadané ich sférické súradnice. Ukážte to napríklad pre hviezdy Betelgeuze a Sírius, ktorých súradnice si nájdite.

   Pomôcka Táto úloha sa dá jednoducho vyriešiť aj bez znalosti sférickej trigonometrie.