Zadání 5. série 32. ročníku

Matěj jde podél silnice konstantní rychlostí a každých 7 minut potká tramvaj, která jede proti němu. Jednou za 10 minut ho mine tramvaj jedoucí opačným směrem. Tramvaje jezdí v obou směrech se stejnou frekvencí. S jakou?

Představte si, že máte podchlazenou plnou kovovou homogenní kouli, kterou vytáhnete z mrazáku, který máte nastavený na opravdu nízkou teplotu. Zajímalo by vás, jak rychle se bude zvyšovat její teplota, když ji umístíte do zahřáté místnosti. Protože by to jinak byl vysokoškolský problém, tak jsme pro vás úlohu zjednodušili. Ptáme se na odhad hloubky vniku (v metrech) „teplé oblasti“ do koule, který můžete získat rozměrovou analýzou. Přičemž známe relevantní parametry koule, konkrétně hustotu $\left [ \rho \right ] = \jd {kg.m^{-3}}$, měrnou tepelnou kapacitu $\left [c\right ] = \jd {J.kg^{-1}.K^{-1}}$ a její součinitel tepelné vodivosti $\left [ \lambda \right ] = \jd {W.m^{-1}.K^{-1}}$ a zajímá nás závislost na čase $\left [t\right ] = \jd {s}$.

Představme si akvárium tvaru krychle o straně $a = 1\;\mathrm{m}$, které je vertikální přepážkou kolmou na stěny akvária rozděleno na dvě části. Dále uvažujme, že se tato přepážka může volně pohybovat ve směru kolmém na rovinu přepážky, ale ve zbylých dvou směrech se pohybovat nemůže. Také nemůže rotovat. Do jedné části akvária nalijeme $V_1 = 200 \mathrm{\ell }$ vody o hustotě $\rho \_v = 1 000 \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ a do druhé části nalijeme $V_2 = 230 \mathrm{\ell }$ oleje o hustotě $\rho \_o = 900 \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$. Jaká bude rovnovážná pozice přepážky? Jaké budou výšky hladin kapalin v jednotlivých částech akvária v rovnovážném stavu?

Bonus: Najděte frekvenci malých kmitů kolem rovnovážné polohy. Předpokládejte, že přepážka má hmotnost $m = 10 \mathrm{oz}$ a že přesun vody probíhá bez jakéhokoli tření a odporu.

Uvažujte volnou kapku vody s poloměrem $R$, kterou pomalu nabíjíte elektrickým nábojem. Najděte velikost náboje $Q$ potřebného na to, aby sa kapka rozstříkla.

Tuhou kouli ve vzduchu roztočíme dostatečně velkou úhlovou rychlostí $\omega $ rovnoběžnou se zemí. Poté hopík pustíme z výšky $h_0$ na vodorovnou podložku. Od ní se odrazí do výšky $h_1$ a dopadne nedaleko původního místa dopadu. Určete vzdálenost těchto dvou bodů dopadu, jestliže je třecí koeficient mezi koulí a zemí $f$ dostatečně malý.

Navrhněte způsoby jak zpomalit zeměkouli tak, abychom k některým rokům nemuseli přidávat přestupnou sekundu. Spočítejte, kolik by to stálo.

Každý někdy z nudy zkusil brnkat na dlouhé pravítko vystrčené přes okraj lavice. Zvolte vhodný model závislosti frekvence na délce vysunutí za okraj lavice a experimentálně jej ověřte. Popište i další parametry pravítka.

Poznámka: Pravítko ke stolu přitlačte tak, aby kmitala jen jeho vysunutá část.

// //

1. Mějme nějaké kosmické těleso s hmotností pěti Sluncí, okolo kterého se nachází sféricky symetrický homogenní oblak plynu a prachu s hmotností dvou Sluncí a s průměrem $1 \mathrm{ly}$. Oblak začne kolabovat do centrálního kosmického tělesa. Zanedbejte vzájemnou interakci částic oblaku (kromě gravitace). Určete, jak dlouho bude trvat, než celý oblak zkolabuje do centrálního tělesa. Úlohu neřešte numericky.
2. V úvodu seriálu jsme řešili diferenciální rovnici pro pohyb částic v centrálním poli, při jejímž řešení jsme použili takzvaný Binetův vzorec. Ukažte, že tento vzorec skutečně řeší zadanou diferenciální rovnici.
3. Sestavte lagrangián pro soustavu Slunce-Země-Měsíc. Předpokládejte, že Slunce je nehybné. Země i Měsíc se pohybují jak pod vlivem Slunce, tak pod vlivem sebe navzájem. Při sestavování lagrangiánu se zamyslete nad tím, jestli používáte správný počet zobecněných souřadnic.