Zadání 4. série 27. ročníku

Čerstvě ořezaná tužka 6B má hrot tvaru kužele s poloměrem podstavy $r=1\;\mathrm{mm}$ a výškou $h=5\;\mathrm{mm}$. Jak dlouhou čáru s ní dokážeme udělat, jestliže vzdálenost dvou grafitových vrstev je $d=3,4\, Å$ a stopa tuhy obsahuje takovýchto vrstev v průměru $n=100?$

Zkumavky o objemu $3\, \jd{ml}$ a $5\, \jd{ml}$ jsou spojeny krátkou tenkou trubičkou, v níž je pórovitá tepelně nevodivá přepážka, která umožňuje dosažení tlakové rovnováhy v systému. Obě zkumavky původně obsahují kyslík při tlaku $101,25\, \jd{kPa}$ a teplotě $20\, \jd{°C}$. První zkumavku ($3\, \jd{ml}$) ponoříme do nádoby s rovnovážnou soustavou ledu a vody a druhou ($5\, \jd{ml}$) do nádoby s párou. Jaký bude tlak v soustavě obou zkumavek po dosáhnutí mechanické rovnováhy? Jakého tlaku by se dosáhlo, pokud by ve zkumavkách byl za stejných podmínek dusík místo kyslíku?

Naproti sobě plují dvě lodě, první rychlostí $u_{1}=4\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{−1}$ a druhá rychlostí $u_{2}=6\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{−1}$. Ve chvíli, kdy jsou od sebe vzdáleny $s_{0}=50\;\mathrm{km}$, vzlétne z první lodi racek a letí směrem ke druhé. Letí proti větru, jeho rychlost je $v_{1}=20\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{−1}$. Když dorazí k druhé lodi, obrátí se a letí zpět, nyní po větru rychlostí $v_{2}=30\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{−1}$. Takto létá tak dlouho, dokud se obě lodi nesetkají. Jakou celkovou dráhu racek urazí?

Modelů atomu vodíku bylo nespočetné množství a mnohé z nich už jsou překonané, ale my máme rádi puding a tak se vrátíme k tzv. pudinkovému modelu vodíku. Atom tvoří koule o poloměru $R$ s rovnoměrně rozloženým kladným nábojem („puding“), v kterém se nachází jeden elektron („rozinka“). Samozřejmě nejlépe je elektronu v místě s nejnižší energií, tak sedí ve středu pudingu. Celkově je soustava elektricky neutrální. Jakou energii musíme dodat elektronu, abychom ho dostali do nekonečna? Jaký by musel být poloměr pudingu, aby se tato energie rovnala Rydbergově energii (excitační energie elektronu v atomu vodíku)? Poloměr vyjádřete v násobcích Bohrova poloměru.

O kolik se zvýší teplota stejných ocelových kulek po jejich vzájemné srážce? Pohybují se stejným směrem rychlostmi $v_{1}=0,7c$ a $v_{2}=0,9c$, kde $c$ je rychlost světla. Uvažujte konstantní tepelnou kapacitu a uvažujte, že kulky jsou stále v pevném skupenství.

Faleš chtěl v Praze (V Holešovičkách 2 v přízemí) určit hodnotu gravitačního zrychlení z experimentu, kdy pouštěl kulatý míček z výšky pár metrů na Zemi. Rozmyslete si, jaké korekce musel při zpracování měření zahrnout. Poté navrhněte vlastní experiment na stanovení gravitačního zrychlení a diskutujte jeho přesnost.

Změřte závislost teploty na čase v uvařeném šálku čaje. Proměřte klidný případ i čaj míchaný lžičkou. Dále ověřte, že doba vychladnutí na pitnou teplotu nezávisí na tom, zda se s čajem míchá či nikoli.

• Podívejte se do textu, jak působí operátor polohy $

$$\hat X$$ $ na složky stavového vektoru v $x$-reprezentaci (vlnovou funkci) a spočítejte jejich komutátor, tj.

$$(\hat {X})_x \left((\hat {P})_x {\psi} (x)\right) - (\hat {P})_x \left((\hat {X})_x {\psi} (x)\right) $$

Tip Zjistěte si, co se stane při derivaci součinu dvou funkcí.

• Problém energetických hladin pro volnou kvantovou částici, tj. pro $V(x)=0$, vypadá následovně:

$$-\frac {\hbar ^2}{2m} \dfrac{\partial^2 {\psi} (x)}{\partial x^2}= E {\psi} (x)$$

• Zkuste jako řešení dosadit $ψ(x)=e^{αx}$ a zjistěte, pro jaká $α$ (obecně komplexní) je $E$ kladná (nadále používejte pouze taková $α$).
• Je toto řešení periodické? Pokud ano, tak s jakou prostorovou periodou (vlnovou délkou)?
• Je získaná vlnová funkce vlastním vektorem operátoru hybnosti (v $x$-reprezentaci)? Pokud ano, najděte souvislost mezi vlnovou délkou a hybností (tj. odpovídajícím vlastním číslem operátoru hybnosti) daného stavu.
• Zkuste formálně spočítat hustotu pravděpodobnosti výskytu částice v prostoru naší vlnové funkci podle vzorce uvedeného v textu. Pravděpodobnost, že se částice vyskytuje v celém prostoru by měla být pro fyzikální hustotu pravděpodobnosti 1, tj.

$$\int_\mathbb{R} \rho(x) \;\mathrm{d} x=1.$$

Ukažte, že nelze naší vlnovou funkci $nanormovat$ (tj. přenásobit nějakou konstantou) tak, aby její formální hustota pravděpodobnosti podle vzorce z textu byla opravdovou, fyzikální hustotou pravděpodobnosti.

Bonus: Jaká si myslíte, že je limitně neurčitost polohy částice, jejíž vlnová funkce je hodně blízká té naší? (Tj. blíží se ve všech vlastnostech, ale má vždy normovanou hustotu pravděpodobnosti a je to tudíž fyzikální stav.) Lze odhadnout pomocí Heisenbergových relací neurčitosti jaká přitom bude nejméně neurčitost hybnosti?

Tip Dávejte pozor na komplexní čísla, například kvadrát komplexního čísla je něco jiného než kvadrát velikosti komplexního čísla.

• V druhém díle jsme si odvodili energetické hladiny elektronu ve vodíku pomocí redukované akce. Zvláštní shodou by řešení spektra hamiltoniánu v coulombickém potenciálu protonu vedlo na úplně samé energie, tj.

$$E_n = -{\;\mathrm{Ry}} \frac {1}{n^2}$$

kde $\mathrm{Ry} = 13,6\, \jd{eV}$ je energetická konstanta známá jako Rydbergova konstanta. Elektron, který spadne z libovolné hladiny na $n=2$, vyzáří energii ve formě jediného fotonu úměrnou rozdílu energie daných hladin. Ze kterých hladin musí elektron na druhou hladinu spadnout, aby bylo vyzářené světlo viditelné? Jakou budou mít odpovídající spektrální čáry barvu?

Tip Vzpomeňte si na fotoelektrický jev a na vztah mezi frekvencí světla a jeho vlnovou délkou.