Zadání 2. série 29. ročníku

Na ledě běží potkan rychlostí $v$. Najednou se rozhodne, že se chce otočit o  $90^\circ$ tak, aby po otočení běžel pořád rychlostí o velikosti $v$, ale v novém směru. Jaký nejmenší čas na to potřebuje? Předpokládejte, že potkaní nožičky se mohou po ledě pohybovat nezávisle; koeficient tření mezi nožičkami a ledem je $f$.

Občas nastane stav, kdy je nominální hodnota mincí nižší, než jejich výrobní náklady. Mějme dvě mince vyrobené ze slitiny zlata a stříbra. První má průměr  $d_1 = 1\,\mathrm{cm}$, druhá $d_2 = 2\,\mathrm{cm}$, obě mají tloušťku $h = 2\,\mathrm{mm}$. Menší mince při ponoření do nádoby se rtutí klesne ke dnu, zatímco větší mince se začne vynořovat. Ponoříme-li do rtuti obě mince, menší na větší, budou se v  kapalině vznášet. Určete, kolik hmotnostních procent stříbra obsahuje větší mince, jestliže menší je celá zlatá. Bonus Jak se změní výsledek úlohy, pokud menší mince může obsahovat i stříbro?

Z rakety obíhající po kružnici ve výšce $h = 2\,000\,\mathrm{km}$ nad Zemí hodíme směrem k Zemi nebohý šroubovák rychlostí $v = 5\,\mathrm{km\!\cdot\! h^{-1}}$ vůči lodi. Za jak dlouho dopadne?

Máme optickou soustavu tvořenou třemi polopropustnými zrcadly v jedné ose za sebou. Každé zrcadlo by samo o sobě polovinu dopadajícího záření propustilo a polovinu odrazilo. Jaká část světla celkově projde naší optickou soustavou? Bonus Vyřešte úlohu pro $n$ zrcadel.

Mirkovi během zimních měsíců přišlo, že má doma na čtení příliš šero. Usmyslel si proto, že nechá do zdi pokoje vybourat otvor pro další okno. Nejdřív se ale vydal do sklářství koupit okenní tabulku. Moc se mu líbila jedna kruhová, ale ještě než ji koupil, potřeboval prozkoumat, jestli není sklo příliš křivé (vypuklé). Položil tabulku na dokonale rovnou skleněnou desku na pultě obchodu a pozoroval duhové kroužky, které vznikly kolem středu tabulky interferencí kolmo dopadajícího bílého světla na vzduchové mezeře mezi skly. Mirek náhodně vybral dva sousední červené kroužky ($\lambda \approx 700\,\mathrm{nm}$) a pravítkem změřil jejich průměry $d_{\mathrm{k}} = (10{,}5\pm\,\mathrm{0\!\cdot\! 5) mm}$ a $d_{\mathrm{k+1}} = (13{,}0\pm\,\mathrm{0\!\cdot\! 5) mm}$. Na základě těchto údajů už dokázal určit poloměr křivosti kruhového skla. Určete ho i vy a zamyslete se nad tím, s jakou přesností byl stanoven.

Tato úloha má otevřené řešení, proto nezapomeňte uvést všechny použité zdroje.

Představte si, že za vámi přijde inteligentní sedmileté dítě a zeptá se: „A co je to ta supravodivost?“ Co všechno byste ho museli naučit a co vše mu postupně vysvětlit, abyste mu tento jev teoreticky mohli objasnit bez užití „lží dětem“¹ na odborné úrovni? Řešení zkuste rozpracovat co nejvíce.

Kupte si v lékárně šumivý celaskon nebo cokoliv, co se podává v tabletách určených k rozpuštění ve vodě. Změřte, jak dlouho trvá rozpuštění jedné tablety v závislosti na teplotě vody, do které ji hodíte. Diskutujte příčiny a vymyslete, proč je pozorovaná závislost taková.

1. Které ze skupiny 4 procesů (izobarický, izochorický, izotermický a adiabatický) mohou být vratné?

2. Vezměte vztah $T = pV/(nR)$ s $n = 1\,\mathrm{mol}$, $p= 100\,\mathrm{kPa}$ a $V = 22\,\mathrm{l}$. O kolik se změní $T$, pokud $p$ i $V$ zvětšíme o $10\,\mathrm{\%}$, $1\,\mathrm{\%}$ a $0{,}1\,\mathrm{\%}$? Spočítejte to dvěma způsoby: přesně a pomocí vztahu $\mathrm{d} T = T_{,p} \,\mathrm{d} p + T_{,V} \,\mathrm{d} V$. Jak se liší tyto výsledky?

3. $\mathrm{d}$ gymnastika:

   • Ukažte, že $\mathrm{d} [Cf(x)] = C\,\mathrm{d} [f(x)]$, kde $C$ je konstanta.

   • Vypočítejte $\mathrm{d} (x^2)$ a $\mathrm{d} (x^3)$.

   • Ukažte, že $\mathrm{d} (1/x) = -\mathrm{d} x/x^2$ z definice, tedy \begin{equation*} \mathrm{d} \left(\frac 1x\right) = \frac{1}{x+\mathrm{d} x} - \frac 1x\,. \end{equation*} Může se vám hodit $(x+\mathrm{d} x)(x-\mathrm{d} x) = x^2 - (\mathrm{d} x)^2 = x^2$ .

   • Bonus: Platí $\sin{(\mathrm{d} \vartheta)} = \mathrm{d} \vartheta$ a $\cos{(\mathrm{d} \vartheta)} = 1$. Taktéž máme součtový vzorec $\sin{(\alpha+\beta)} = \sin\alpha \cos\theta + \cos\alpha \sin\beta$. Dokažte $\mathrm{d} (\sin{\vartheta}) = \cos{\vartheta}\,\mathrm{d} \vartheta$.

   • Bonus: Podobně ukažte $\mathrm{d} (\ln{x}) = \mathrm dx /x$ s pomocí $\ln (1+\mathrm{d} x) = \mathrm{d} x$.

4. Vysvětlete fyzikálně, proč je izobarická tepelná kapacita větší než izochorická.