Zadání 3. série 25. ročníku

Mějme dvě těžké kuličky. Každá z nich je připojena tyčkou do kloubu (z opačných stran). Obě koule se mohou vychylovat pouze v jedné svislé rovině. Celou soustavou začneme otáčet okolo svislé osy procházející kloubkem. Jak závisí odchylka tyček na úhlové rychlosti?

Představme si řeku přehrazenou hrází. Aby mohly lodě překonávat celý splavný vodní tok, jsou v rámci hráze umístěna zdymadla. Uvažujte, že na řece, která má průtok $Q = 200\,\mathrm{m^3/s}$, je umístěné zdymadlo, které funguje mezi dvěma vodními hladinami před a za hrází s výškovým rozdílem $H = 4\,\mathrm{m}$ a má rozměry $s = 100\,\mathrm{m}$ a $d = 20\,\mathrm{m}$. Kolik lodí denně může zdymadlo přepravit z nižší nádrže do vyšší (pokud je bere vždy po jedné), pokud maximální průtok vody do a ze zdymadla je $Q_{\mathrm{Z}} = 250\,\mathrm{m^3/s}$?

Trať má poloměr oblouku $R$, vlak má těžiště ve výšce $H$ nad kolejemi s rozchodem $D$. Jakou maximální rychlostí může po takovéto trati jet vlak, pokud požadujeme, aby se mohl kdykoli zastavit, aniž by spadl na bok? Za jakých podmínek je maximální rychlost neomezená?
Poznámka Zanedbejte síly působící mezi jednotlivými vagony a šířku vagonu vzhledem k poloměru oblouku.

Při řezání stromů musí zahradník počítat s lecjakými problémy. Uvažujme větev připojenou k nepružnému lanu (tj. tuhost roste nade všechny meze) přes kladku. Dole stojí dva brigádníci, kteří jistí větev, aby nespadla do bazénu. Větev spadne volným pádem z výšky $h$, než se provaz napne. Za určitých okolností brigádníci držící druhý konec lana vyjedou tak vysoko, že narazí do kladky. Stanovte podmínky, za jakých bude řezání bezpečné.
Nápověda Uvažujte nejprve chování dvou hmotností na ledě, které jsou spojeny nepružným lanem a mají různé rychlosti.

Mějme dvě nekonečně velké vodivé roviny, které jsou obě uzemněné a vzdálené od sebe $l$. Mezi nimi je umístěn bodový náboj velikosti $q$ ve vzdálenosti $x$ od horní roviny. Určete náboj indukovaný na spodní rovině.

Tato úloha má otevřené řešení, proto nezapomeňte uvést všechny použité zdroje.

Navrhněte způsob, jak přeměnit rotační energii Země na elektrickou energii. Fantazii se meze nekladou, konstruktéři jsou schopní a postaví všechno.

Kutálejte hopík po vodorovné podlaze kolmo proti stěně. Při odrazu od stěny hopík vyskočí. Jak závisí vzdálenost bodu dopadu od stěny na počáteční rychlosti hopíku, případně dalších parametrech?

Poznámka Užitečné informace k úloze naleznete ve studijním textu na internetu ¹.

1. Proč je třeba, aby byl molekulární mrak, ze kterého jsou tvořeny hvězdy, chladný? Zkuste odhadnout a zdůvodnit rozumnou teplotu.

2. Podíváme-li se na HR diagram některé z hvězdokup, najdeme velký rozptyl okolo hlavní posloupnosti. Jaké jsou způsoby, jak takový rozptyl může vzniknout? Ilustrační obrázek pro hvězdokupu Plejády – M45 – najdete třeba tady ¹ .

3. Jak dlouho by žila hvězda, kdyby nebyla živena termonukleárními reakcemi, ale jen energií ze smršťování se?

4. Planetární mlhovina Helix má průměr $16\,\mathrm{'}$ a nachází se ve vzdálenosti cca $213\,\mathrm{pc}$ od Země. Jaký je její skutečný poloměr a jak je stará, pokud se její obálka rozpíná s rychlostí $20\,\mathrm{km/s}$?