Zadání 6. série 28. ročníku

Želva A'Tuin, na jejímž krunýři stojí čtyři sloni nesoucí na svých hřbetech Zeměplochu, není žádný drobeček. Předpokládejme, že bychom byli znudění kulatostí naší Země a chtěli ji vyměnit za kruhovou placku se stejnou hmotností a hustotou a s tloušťkou $h=1\;\mathrm{km}$ nesenou vlastní želvo-sloní partou. V případě, že by naše želva cestou vesmírem vrazila špičkou ocasu do planetky, za jak dlouho by si uvědomila bolestivý podnět, jestliže její ocas s centrální nervovou soustavou spojuje jediný dlouhý neuron a délka tohoto neuronu je přibližně stejná jako průměr naší placky? O kolik dříve/později by si bolest ve stejném případě uvědomila A'Tuin (délku neuronu považujte za ekvivalentní její délce, která činí 18 000 km)? Pro číselný odhad předpokládejme, že rychlost šíření vzruchu v nervové soustavě poněkud nadměrných tvorů je stejná jako u pozemských živočichů, u nichž činí $v≈120\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{−1}$.

Mág Šedomil oslavil sté narozeniny již před drahnou dobou a začíná se pomalu obávat, že ho Smrť poctí svou dlouho odkládanou návštěvou. Rozhodne se proto, že se nechá zatlouct do kouzelné truhly, kam se k němu Smrť nedostane. Bohužel zapomněl řemeslníkům říci, aby přidali dýchací otvory. Vzduch v truhle zaujímá objem $V_{0}=400\,\jd{l}$, objemový zlomek kyslíku je $φ_{0}=0,21$. Při každém nádechu a výdechu se zužitkuje pouze $k=20\,\jd{\%}$ objemových kyslíku v dechovém objemu $V_{d}=0,5\,\jd{l}$. Dechová frekvence mága po uzavření truhly postupně roste podle vztahu

$$\\f(t)=f_0 \cdot \frac{\varphi_0}{\varphi (t)}\,,$$

kde $f_{0}=15\,\jd{dech\cdot min^{−1}}$ je počáteční dechová frekvence a $φ(t)$ objemový zlomek kyslíku v čase $t$. Určete, za jak dlouho si pro Šedomila přijde Smrť, jestliže minimální obsah kyslíku ve vzduchu potřebný pro přežití je $φ_{s}=0,06$.

Jedna z pracoven lorda Vetinariho má kruhový půdorys o poloměru $R$ a je umístěna na ložiscích, díky nimž se může otáčet kolem své osy. Pro zajištění otáčení se používá motor, který může působit libovolným momentem síly. Při otáčení působí na podlahu místnosti třecí moment $M_{0}$, nezávislý na rychlosti, který je shodný se statickým třecím momentem. Židle pro návštěvy je umístěna tak, že člověk na ní sedící pocítí účinky rotace pouze tehdy, přesáhne-li úhlové zrychlení hodnotu $ε_{0}$. Určete, za jakou nejkratší dobu se může místnost otočit o 180°, aby návštěva nic nepoznala, a jaká práce je k tomuto otočení potřeba. Celková hmotnost místnosti, kterou můžete považovat za homogenní disk, je $m$.

Bonus: Předpokládejte, že návštěvník pocítí vliv rotace tehdy, přesáhne-li úhlový ryv (změna zrychlení) hodnotu $j_{0}$.

Předtím, než byl dosažen a překročen okraj Zeměplochy a začaly být podnikány vědecké výpravy za potvrzením existence čtyř slonů, želvy a určení jejího pohlaví, si některé primitivní kmeny myslely, že síla, která je drží na Zeměploše, je dána superhustou deskou z koncentrovaného bylonebylia. Byla to opravdu velice primitivní představa, protože jak dnes již víme, například výprava, která potvrdila existenci želvy, neslavně dopadla tak, že se jejich člun utrhl a upadl. Tedy vlastně nedopadl... Nicméně by nás zajímalo – jakou plošnou hustotu by bývala byla musela taková deska mít, aby na povrchu Zeměplochy blízko jejímu středu byl obyčejný předmět, při zanedbání magie, přitahován stejnou silou, jakou je gravitační síla na povrchu Zemneplochy? Uvažujte, že superhustá deska je opravdu velice tenká, a jak tvrdí pověsti, je umístěna $H=8^{4}\;\mathrm{m}=4\,096\;\mathrm{m}$ pod povrchem Zeměplochy. Deska má být dle bájí homogenní a hmotnosti jiných těles zanedbatelné. Zanedbejte pohyby želvy a slonů. Za Zemneplochu si dosaďte slovo Země, pokud jste nečetli dílo autora, pro kterého si přišel Smrť. Zeměplocha má pro účely této úlohy průměr přibližně přesně $d=10\,000\;\mathrm{km}$.

Při svém pobytu v Ankh-Morporku Dvoukvítek navštívil také hospodu. Nebyla by to dobrá hospoda, kdyby se tam nestrhla všeobecná rvačka, při které létají židle, flašky a další věci z jedné strany hospody na druhou. Dvoukvítek musí samozřejmě všechno pořádně zdokumentovat svým fotoaparátem. Teď zrovna fotí kuličku o poloměru $R$, která letí rychlostí $v$ blízkou rychlosti světla $c$. I v takových hospodách platí teorie relativity, ze které vyplývá, že Dvoukvítek by ve své klidové soustavě změřil kontrakci kuličky ve směru pohybu o faktor

$$
\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}$$

Jaký poloměr kuličky ve směru pohybu zaznamená na fotografii se zanedbatelně krátkou expozicí? Fotoaparát zaujímá vůči kuličce obecnou polohu.

Všichni moc dobře víme, že je dobře zařízeno zásobování Zeměplochy vodou. A nikdo z nás nepotřebuje vědět jak. Co kdyby se ale stalo něco závažného a magie by přestala dobře fungovat? Za jak dlouho by se ocitla Zeměplocha bez vody? Pro jednoduchost můžete uvažovat pesimistickou situaci, kdy by nikdo vodu nijak nezadržoval. Dobře víte, že Zeměplocha má průměr $d=10000\;\mathrm{km}$, panuje na ní homogenní tíhové zrychlení $g≈10\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{−2}$ a je dokonale kruhová. Opravdový celkový objem a rozložení vody na Zeměploše ve skutečnosti nikdo stejně nezná, takže můžete uvažovat, že voda homogenně pokrývá Zeměplochu, která je rovná a voda má výšku $H=5\;\mathrm{m}$ (to je hodně pesimistické, protože by pak všechno muselo stát pod vodou, nebo na kůlech nad vodou). Cílem úlohy je nalézt uspokojivě přibližný model, který dává dobrý odhad hledaného času – nečekáme přesné řešení.

Na Zeměploše je regulérním povoláním alchymie. Proto jsme se rozhodli, že byste si to měli také zkusit. Představte si, že skládáte zkoušku, abyste mohli vstoupit do Cechu alchymistů. Společně s brožurkou zadání série vám přišly tři zabalené vzorky kovů. Jedná se o tenké plátkové kovy – dávejte si pozor, abyste je neponičili a ideálně na ně přímo nesahejte. Vaším úkolem je zjistit, jaké (drahé?) kovy jsme vám zaslali. Kovy po vás nechceme zpátky – můžete tedy používat libovolné, i destruktivní postupy, ale uznáme pouze ty dostatečně vědecké. Vaším řešením tedy bude popis postupu a co nejpřesnější určení každého vzorku s tím, že je nutné, abyste uvedli u každého z nich jeho označení, které je na jeho přebalu. Nezapomínejte, že je cenné i určit, o které kovy se nejedná.

Poznámka: Pokud by se někdo chtěl stát novým řešitelem a řešit tuto úlohu, nechť co nejdříve napíše na email alchymie@fykos.cz s tím, že zásilku může očekávat zhruba za týden až 10 dnů.

Opište si funkci iterace_stanMap ze seriálu a pomocí následujících příkazů si vyberte deset velmi blízkých počátečních podmínek pro nějaké K.
K=...; X01=...; Y01=...; Iter1 = iterace_stanMap(X01,Y01,1000,K); ... X10=...; Y10=...; Iter10 = iterace_stanMap(X10,Y10,1000,K); V Iter1 až Iter10 je tedy schováno tisíc iterací daných počátečních podmínek pomocí Standardní mapy. K tomu, abyste viděli, jak vypadá všech deset bodů po n-té iteraci, musíte napsat

 n=...;
 plot(Iterace1(n,1),Iterace1(n,2),"o",...,Iterace10(n,1),Iterace10(n,2),"o")
 xlabel ("x");
 ylabel ("y");
 axis([0,2*pi,-pi,pi],"square");
 refresh;

"o" do příkazu plot píšeme, aby se body pro přehlednost vykreslily jako kroužky. Zbytek příkazů je pak zahrnut kvůli tomu, aby graf zahrnoval celý čtverec a měl ty správné popisky.

1. Nastavte nějaké silné kopání, K alespoň tak -0,6, a umístěte svých deset počátečních podmínek velmi blízko sebe někam doprostřed chaotické oblasti (tj. třeba "na špičku propisky"). Jak se s iteracemi těchto deset počátečních podmínek oddaluje či přibližuje? Zdokumentujte na grafech. Jak vypadá deset původně velmi blízkých počátečních podmínek po 1 000 iteracích? Co z toho můžeme vyvodit o "míchavosti" počátečních podmínek v dané oblasti?
2. Vezměte opět nějaké poměrně silné kopání a umístěte svých deset počátečních podmínek poblíž svislé rovnováhy rotoru, tj. x = 0, y = 0. Jak se těchto deset počátečních podmínek oddaluje/přibližuje v čase? Co o jejich vzdálenosti lze říci po velkém počtu kopnutí?

Bonus: Zkuste naprogramovat a vykreslit i chování nějaké jiné nakopávané mapy. (Pro inspiraci se můžete podívat do vzorového řešení minulé série.)