Text seriálu 3. série Brožurka s řešeními

1... pečící

3 body

Při pečení perníku se do těsta přidává jedlá soda – hydrogenuhličitan sodný ($\ce{NaHCO3}$). Uvažujte, že se při vyšší teplotě rozloží podle rovnice \begin{equation*} \ce{2NaHCO3 -> Na2CO3 + H2O + CO2} \end{equation*} na uhličitan sodný, oxid uhličitý a vodu. O kolik se díky bublinkám oxidu uhličitého a vodní páry zvětší objem buchty, když do ní přidáme $10\,\mathrm{g}$ hydrogenuhličitanu sodného? Počítejte, že oxid uhličitý a vodní pára se chovají jako ideální plyny a těsto v okolí bublinek tuhne při teplotě $200\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$ a tlaku $1~013\,\mathrm{hPa}$.

Káťa chtěla upéct buchtu.

2... bungee

3 body

Jirka s Káťou si chtějí vyzkoušet bungee-jumping. Na skok z výšky $h = 100\,\mathrm{m}$ mají dokonale pružné lano o délce $l=40\,\mathrm{m}$, které je kalibrované tak, že když s ním skočí Káťa o hmotnosti $m_{\mathrm{K}}=50\,\mathrm{kg}$, zastaví se ve výšce $h_{\mathrm{K}}=16\,\mathrm{m}$ nad zemí. Může toto lano bezpečně použít Jirka s hmotností $m_{\mathrm{J}}=80\,\mathrm{kg}$? Odpor vzduchu a výšku Káti a Jirky zanedbejte.

Jirkův pokoj na kolejích se nachází inspirativně vysoko.

3... bum-bác, bum-bác

6 bodů

Představme si, že na geosynchronní oběžnou dráhu umístíme velké množství satelitů. Shodou okolností dojde ke srážce, která se vymkne kontrole a vytvoří tenkou sférickou vrstvu homogenně posetou deseti miliony úlomků o průměrné velikosti $x = 10\,\mathrm{cm}$. Předpokládejte, že směry rychlostí jednotlivých úlomků jsou v tečné rovině ke sféře orientované náhodně. Kolik času průměrně uplyne mezi dvěma srážkami?

Dodo se učil na státnice o transportních jevech v plynu.

4... větrníkový katapult

6 bodů

Malý myšák Joe se rád katapultuje z konce vrtule ventilátoru tak, že se jednoduše ve vhodnou dobu pustí a odletí. Kdy se má pustit, aby doletěl co nejdál? Vrtule má délku $l$ a otáčí se s úhlovou rychlostí $\omega$, přičemž rovina otáčení je kolmá na vodorovnou rovinu. Dodejme, že střed otáčení je ve výšce $h$ nad zemí.

Honza má rád každého, kdo má rád katapulty.

5... pašování ve vesmíru

9 bodů

Dvě vesmírné lodě letí v jedné přímce proti sobě. Jejich počáteční vzdálenost je $d$. První se pohybuje rychlostí $v_1$, druhá $v_2$ (ve stejné vztažné soustavě). První dokáže vyvinout maximální zrychlení $a_1$, druhá $a_2$ (obě v libovolném směru). Posádky lodí si chtějí předat nějaké „zboží“, ale k tomu potřebují, aby se lodě potkaly ve stejný čas na stejném místě a přitom měly stejnou rychlost. Za jaký nejmenší čas je toho možné dosáhnout? Relativistické jevy neuvažujte.

Jáchym drze ukradl původní Štěpánův nápad.

P... vlnitý elektromagnetizmus

11 bodů

Co kdyby přírodní zákony nebyly v celém vesmíru stejné? Co kdyby se nějak měnily s polohou? Zaměřme se na elektromagnetickou interakci. Jak minimálně by se konstanta v Coulombově zákonu musela měnit se vzdáleností, abychom to mohli pozorovat? Jak bychom to pozorovali?

Karel se moc díval na YouTube.

E... difuze

12 bodů

Určitě jste ve škole slyšeli o tepelném pohybu molekul, jako je difuze či Brownův pohyb. Změřte časovou závislost velikosti barevné skvrny ve vodě a vypočtěte difuzní konstantu. Proveďte měření pro několik různých teplot a sestrojte graf teplotní závislosti difuzní konstanty. Jak byste mohli zařídit, aby byla teplota v průběhu každého měření konstantní?

Návod pro řešení experimentálních úloh
Káťa si užívá praktika i v době karantény.

S... elektron v poli

10 bodů

Uvažujte částici s nábojem $q$ a hmotností $m$, která je přichycená k pružině o tuhosti $k$, jejíž druhý konec je ukotven v jednom bodě. Předpokládejte, že pohyb částice je omezen na pohyb v jedné rovině. Celý systém je v magnetickém poli o velikosti $B_0$, které je kolmé na rovinu pohybu částice. Pokusíme se popsat možné oscilace této částice. Začněte sestavením rovnic pohybu pro tuto částici – nezapomňte započítat vliv magnetického pole.

Poté předpokládejte oscilující pohyb pro obě kartézské souřadnice částice, a proveďte Fourierovskou substituci, tj. nahraďte derivace násobky $i \omega$, kde $\omega$ je frekvence oscilací. Vyřešte výslednou soustavu rovnic tak, abyste získali poměr amplitud oscilací a frekvenci oscilací. Takto získané řešení je poměrně složité, a abychom mu lépe porozuměli, je vhodné přiblížit si ho v jednoduším případě. Předpokládejte tedy dále, že magnetické pole je velmi silné, tj. $\frac{q^2 B_0^2}{m^2} \gg \frac{k}{m}$. Určete přibližnou hodnotu (hodnoty) $\omega$ v této aproximaci, hledejte vždy nejvyšší nenulový řád přiblížení. Dále načrtněte pohyb (pohyby) částice v reálném prostoru při této aproximaci.

Štěpán chtěl vytvořit klasický diamagnet.
Pokud hledáte starou webovou stránku, najdete ji na https://old.fykos.cz