Zadání 4. série 33. ročníku

Máme kosmonauta s hmotností $M$, který se v beztížném stavu vznáší ve vzdálenosti $l$ od stěny vesmírné stanice. Najednou se rozhodne, že těžké nářadí s hmotností $m$, které dosud držel v ruce, hodí po stanici ve směru kolmém na její stěnu. V jaké vzdálenosti od stěny kosmonaut bude, až do ní nářadí narazí?

Letadla jsou ve vysokých hladinách letu řízena pomocí Machova čísla. Tato veličina vyjadřuje rychlost v násobku rychlosti zvuku v daném prostředí. Rychlost zvuku ve vzduchu se ovšem s výškou mění. Jaký je rozdíl mezi rychlostí letu letadla letícího při Machově čísle $0{,}85$ ve dvou různých letových hladinách FL 250 ($7~600\,\mathrm{m}$) a FL 430 ($13~100\,\mathrm{m}$)? V jaké hladině je rychlost vyšší a o kolik kilometrů za hodinu? Závislost rychlosti zvuku ve vzduchu na teplotě můžeme s dostatečnou přesností popsat vztahem $c =\left(331{,}57+0{,}607\left\lbrace t \right\rbrace \right) \mathrm{m\cdot s^{-1}}$, kde $t$ je teplota ve stupních Celsia. Uvažujte standardní atmosféru, ve které klesá teplota s výškou od $0$ do $11\,\mathrm{km}$ od $15\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$ o $0{,}65\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$ na každých $100\,\mathrm{m}$ až k teplotě $-56{,}5\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$, která je pak konstantní až do $20\,\mathrm{km}$ nad střední hladinou moře.

Pták Fykosák našel na Matfyzu nehlídanou optickou lavici, která umožňuje rozmístit různé pomůcky podél optické osy, a začal si s ní hrát. Na osu umístil postupně bodový zdroj světla, první čočku, druhou čočku a stínítko se stejnými rozestupy (vzdálenost stínítka od zdroje je tedy třikrát větší než vzdálenost jakýchkoli dvou sousedních pomůcek). Na stínítku se vytvořil ostrý obraz zdroje. Fykosák potom celou soustavu ponořil do neznámé kapaliny, kterou našel v podivném kanystru. K jeho úžasu zůstal obraz na stínítku stále ostrý. Určete index lomu této kapaliny, jenž je určitě jiný než index lomu vzduchu, který můžete považovat za jednotkový. Jedna z čoček má desetkrát větší ohniskovou vzdálenost než druhá a obě jsou tenké a vyrobené z materiálu o indexu lomu $2$.

Jáchym se nachází v dvoudimenzionálním kartézském prostoru v bodě $J = (-2a, 0)$. Chce se co nejrychleji dostat do bodu $T = (2a, 0)$, který se (naštěstí) nachází ve stejném prostoru. Jáchym se zásadně pohybuje rychlostí o velikosti $v$. Aby to nebylo tak jednoduché, prostorem vede pojízdný pás ve tvaru přímky, procházející body $(-3a, 0)$ a $(0, a)$, po kterém se Jáchym pohybuje celkovou rychlostí $kv$. Pro jaké minimální $k \ge 1$ se Jáchymovi vyplatí jít po pásu?

Létání letadlem ovlivňuje atmosféru nejen dobře známými emisemi uhlíku. Diskutujte, jaký vliv má letecký průmysl na oteplování atmosféry Země.

1. Jak velký je odpor mezi sousedními vrcholy $n$-dimenzionálního drátěného „čtyřstěnu“? Každá hrana má odpor $R$. Začněte výpočtem pro $n = 1$ (úsečka), $n = 2$ (trojúhelník) a $n = 3$ (čtyřstěn) a následně najděte obecný vztah.
2. Jaké umístění a velikost bude mít zrcadlový elektrický náboj k přímce s homogenní délkovou hustotou náboje $\lambda$, která je umístěna ve vzdálenosti $r > R$ od středu uzemněného dutého nekonečně dlouhého válcového vodiče o poloměru $R$? Válcový vodič a přímka jsou rovnoběžné.
3. Mějme nekonečnou rovinu s plošnou hustotou náboje $\sigma_1$. Té se téměř dotýká kulová slupka s poloměrem $R$ a s plošnou hustotou náboje $\sigma_2$. Jaký musí být vztah mezi uvedenými veličinami, aby v místě, kde jsou k sobě deska se slupkou nejblíže, byla intenzita elektrického pole nulová?

Bonus Jaká je intenzita gravitačního pole uvnitř a vně planety o poloměru $R$, jejíž hustota záleží pouze na vzdálenosti od středu $r$ podle vztahu $\rho = \rho_{\mathrm{max}} \left(1 - \left(\frac{r}{R}\right)^2\right)$?