Zadání 3. série 29. ročníku

V akváriu ve tvaru koule s poloměrem $r=10\,\mathrm{cm}$ plně naplněném vodou plavou v opačných směrech dvě stejné rybičky. Rybička má průřez $S=5\,\mathrm{cm^2}$, Newtonův odporový koeficient $C=0{,}2$ a plave rychlostí $v=5\,\mathrm{km\!\cdot\! h^{-1}}$ vůči vodě. Jak dlouho musí rybičky v akváriu plavat, aby ohřály vodu o 1 stupeň Celsia? Tepelné ztráty a biologické procesy v rybičkách zanedbejte.

Náš nejmenovaný mladý alchymista, říkejme mu Jirka N., se naučil používat elektrolýzu a měřit elektrochemický ekvivalent látky. Dokonce se mu podařilo naměřit u jednoho vzorku hodnotu elektrochemického ekvivalentu relativně přesně, a to $A = (6{,}74\pm\,\mathrm{0\!\cdot\! 01)e-7 kg\!\cdot\! C^{-1}}$. Ale sám si neví rady, jak určit, o jakou látku se jedná. Poraďte mu!

Mějme nehmotnou pružinu o tuhosti $k$. Na jednom jejím konci je připevněno závaží o hmotnosti $m$, na jejím druhém konci je připevněno druhé závaží o hmotnosti $M$. Tuto sestavu položíme na vodorovnou desku tak, že závaží o hmotnosti $M$ bude ležet na desce a závaží o hmotnosti $m$ bude trčet na pružině přímo nad prvním závažím. Soustava je v rovnovážném stavu (tj. první závaží nekmitá) a délka pružiny v tomto stavu je $l$. Určete jak moc musíme pružinu stlačit, aby po jejím uvolnění závaží o hmotnosti $M$ nadskočilo. Uvažujte pouze vertikální pohyb.

Po sebeprudším sešlápnutí brzdového pedálu nezačne auto brzdit okamžitě, ale brzdná síla po dobu $t_{\mathrm{r}}$ lineárně narůstá až na hodnotu $F_{\mathrm{m}}$. Koeficient statického třetí mezi pneumatikou a vozovkou je $f$. Jakou maximální rychlostí se může tento automobil pohybovat, aby ani při nouzovém brzdění nedošlo ke smyku?

Na lavici se sklonem $\alpha = 5^\circ$ leží sešit formátu A4 o hmotnosti $m$, mezi lavicí a sešitem působí statická třecí síla s koeficientem $f_0 = 0{,}52$. Poté kdosi do lavice strčí a ta začne kmitat ve směru sklonu desky s frekvencí $\nu = 10\,\mathrm{Hz}$ a amplitudou $A = 1\,\mathrm{mm}$.

1. Určete, jakou dodatečnou silou musíme na sešit tlačit (kolmo na lavici), aby se sešit nezačal pohybovat.

2. Určete, za jak dlouho sešit spadne z lavice, jestliže je na počátku jeho spodní hrana (ta kratší) na dolním okraji lavice. Dynamický koeficient tření je $f$, sešit považujte za tuhou desku.

Tato úloha má otevřené řešení, proto nezapomeňte uvést všechny použité zdroje.

Lukáš posiloval a povedlo se mu vyrobit černou díru o hmotnosti $1\,\mathrm{kg}$. Protože nemá úplně v lásce kvantovou teorii pole na křivém pozadí, tak jeho díra nic nevyzařuje. Lukáš tuto díru upustí a ona začne kmitat uvnitř Země. Zkuste odhadnout, za jak dlouho se hmotnost díry zdvojnásobí. Je nebezpečné si doma pokoutně vyrábět černé díry?

Změřte závislost hmotnosti hydrogelové kuličky na době ponoření do vody a na koncentraci soli rozpuštěné ve vodě. Poznámka: Hydrogel vám má přijít společně se zadáním série. Pokud jste v tomto ročníku ještě žádnou úlohu neřešili, ale chcete hydrogel také dostat, ozvěte se nám.

1. Všechny stavy ideálního plynu umíme nakreslit do různých diagramů: $pV$ diagram, $pT$ diagram a tak dále. Na svislou osu se vynáší první veličina, na vodorovnou osu se vynáší druhá veličina. Každý bod tedy určuje dva parametry.

   Načrtněte do $pV$ diagramu čtyři děje s ideálním plynem, které znáte. Udělejte to samé pro $Tp$ diagram. Jak by vypadal $UT$ diagram? Vysvětlete, jak se nevhodnost těchto dvou proměnných projeví na tomto obrázku.

2. Jaké jednotky má entropie? Jaké jiné veličiny s těmito jednotkami znáte?

3. V seriálu jsme rozebrali případ nárůstu entropie, když plyn přijímal teplo. Proveďte obdobnou úvahu pro plyn odevzdávající teplo.

4. Víte, že při adiabatickém ději se entropie nemění. Proto entropie jako funkce objemu a tlaku $S(p, V)$ může obsahovat jen takovou kombinaci objemu a tlaku, která se též nemění při adiabatickém procesu. Jaký je to výraz? Nakreslete do $pV$ diagramu (svislá osa je $p$, vodorovná $V$) křivky, na nichž je entropie konstantní. Souhlasí výsledek této úvahy se vzorcem, který jsme pro entropii odvodili?

5. Vyjádřete entropii ideálního plynu jako funkci $S(p, V)$, $S(T, V)$, a $S(U, V)$.